\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Divisibilit\'e et division euclidienne}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}

\textbf{\textbf{Vous traiterez au moins un exercice parmi les trois suivants.}
}



\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\ 
  \begin{enumerate}
  \item Le reste de la division euclidienne de l'entier naturel $a$ par $18$ est $13$.
  \\
  Quel est le reste de la division euclidienne de $a$ par $9$ ? Par $6$ ? Par $3$ ?
  \item \begin{enumerate}
  \item Montrer que tout entier naturel $n$ s'écrit nécessairement sous l'une des trois formes $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$ avec $k\in\N$.
  \item Montrer que dans la division euclidienne de $(n^2+n)$ par $3$ (où $n$ désigne un entier quelconque), le reste n'est jamais égal à $1$.
  \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  }
  
  

\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit \spadesuit$\\ 
Pour $n$ entier naturel non nul, on note $M_n$ l'entier :
$$ M_n=2^n-1$$
\begin{enumerate}
\item Pour $1\leq n\leq 15$, quels sont les nombres $M_n$ premiers ?
\item \begin{enumerate}
\item Soit $k$ un entier naturel non nul et $a$ un entier quelconque. Montrer que $a-1$ divise $a^k-1$ pour $a\neq 1$.\\
\textit{Indication} : On utilisera un résultat sur les suites géométriques.
\item En déduire que, si $d$ divise $n$, alors $2^d-1$ divise $M_n$.
\end{enumerate}
\item Déduire de la question $2.$ que, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier. La réciproque est-elle vraie ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit \spadesuit$\\ 
Ecrire un algorithme qui pour deux entiers données $a$ et $b$ affiche le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.}

  
\end{document}