\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Raisonnement par r\'ecurrence}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix deux exercices parmi les cinq suivants.}


\Exoi{\hfill $\spadesuit$\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1}=\sqrt{2u_n}$$
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N, \quad 0<u_n\leq 2$$}

\vfill

\Exoi{\hfill $\spadesuit$\\
On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$  par :
$$ v_0=0\quad \text{et} \quad v_{n+1}=v_n+2n+1$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les cinq premiers termes de la suite $v$, puis conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Démontrer par récurrence votre conjecture émise à la question $1$.
\end{enumerate}}

\vfill

\Exoi{\hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
On considère la suite  $(v_n )$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$$\left\{ \begin{array}{l} v_0=1 \\ v_{n+1}=\dfrac{9}{6-v_n}  \end{array} \right.$$
Démontrer par récurrence que :
$$ 0<v_n<3$$}
\vfill

\Exoi{\hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a \footnote{On rappelle que $ n!=1\times 2\times \dots \times n$}:
$$ n!\geq 2^{n-1}$$}

\vfill


\Exoi{\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n > 4$ on a :
$$ 2^n>n^2$$}
\end{document}