\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 25}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Loi Normale et \'echantillonnage}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav



\begin{exoi}
 Une entreprise de confitures annonce sur ses emballages une teneur en fruits de $60$ grammes pour $100$ grammes de confitures.
 \\
 Le procédé de fabrication est soumis à quelques aléas. On considère que la teneur en fruits pour $100$ g de confitures fluctue selon la loi $\mathscr N(60; 9)$ (c'est-à-dire la loi normale d'espérance $\mu=60$ et $\sigma=3$.
 
 \partieBac{}
 \begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente de plus de $5$ grammes de la valeur annoncée sur l'emballage ?
 \item Dans quel intervalle fluctue la teneur en fruits avec une probabilité de $0,95$ ?\\
 \textit{Indication : On rappelle le résultat suivant :\\
 Soit une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathscr N(\mu , \sigma^2)$. On a  $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\simeq 0.683$ puis $P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)\simeq 0.954$
  et enfin $P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma)\simeq 0.997$
}

Ces résultats ne satisfont pas le service qualité de l'entreprise : en présence de trop peu de fruits, le client risque de dénoncer une publicité mensongère et à l'inverse, l'excès de fruits augmente le coût de fabrication d'un pot de confiture et diminue sa rentabilité. Le service qualité demande au service technique de modifier l'écart-type $\sigma$ pour rendre la teneur en fruits moins fluctuante.

\item Celui-ci doit-il pour cela augmenter ou diminuer la valeur de $\sigma$ ?

Plus précisément, le service qualité souhaite que la teneur en fruits fluctue désormais à $95\%$ dans l'intervalle $[58;62]$.

\item Quelle valeur de $\sigma$ le service technique doit-il atteindre ?
\item Avec cette nouvelle valeur de $\sigma$, quelle est la probabilité que la teneur en fruits soit différente de plus de $5$ grammes de la valeur annoncée ?
 \end{enumerate}
\end{exoi}

\partieBac{}
Afin de tester le service technique, le service prélève $300$ pots de confiture au hasard. 
Si le service technique a atteint son objectif alors la probabilité $p$ que la teneur en fruits d'un pot de confiture soit dans l'intervalle $[ 58;62]$ vaut $0,95$.

Le service qualité constate qu'il y a $10$ pots de confitures dont la teneur en fruits n'est pas dans l'intervalle $[58;62]$.

Peut-on affirmer que le service technique a atteint son objectif ?
\end{document}
