\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 23}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Fonctions}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav



\begin{exoi}
\textbf{Partie A}
  
$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.
 
Le point A de coordonnées (0~;~2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
 
Le point B de coordonnées (0~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\textbf{\small Situation 1}
\end{center}

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.9)(5,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,8)(-2,4.4)(-1.5,2.5)(-1,1.7)(-0.75,1.6)(-0.5,1.65)(0,2)(1,3.3)(2,5.15)(3,7)(4,9) 
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1.5,-2.2)(-1,-0.8)(0,1)(1,1.6)(2,1.85)(3,1.95)(4,2)(4.5,1.98)
\uput[d](3,2){\red $\mathcal{C}_{2}$}
%\rput(1,10.5){Situation 1 }
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{center}
\textbf{\small Situation 2 ($\mathcal{C}_{2}$ est une droite)}
\end{center}
 
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.9)(5,11)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-2.9)(5,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,8)(-2,4.4)(-1.5,2.5)(-1,1.7)(-0.75,1.6)(-0.5,1.65)(0,2)(1,3.3)(2,5.15)(3,7)(4,9) 
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4.5}{x 1 add}
\uput[dr](4,5){\red $\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

 \end{multicols}



\begin{center}
\textbf{\small Situation 3}\\
\ 

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(4.5,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-0.9)(4.5,10)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-3,-0.9)(4.5,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(5,10)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{x 2 mul   2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-2.5,7)(-2,3.4)(-1.5,1.5)(-1,0.7)(-0.75,0.6)(-0.5,0.65)(0,1)(1,2.3)(2,4.15)(3,6)(4,8) 
\uput[dr](3,6){\red $\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A. 

\item On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé. 
		\item Prouver que $a = 2$.
	\end{enumerate}	 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\R$. 
		\item En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		 
La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.

\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5,6)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389)
\rput(1,10.5){figure 2}
\psline(-2,0)(2,0)(2,4)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\psline(2,4)(-2,0)}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-2.5,-1)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\uput[ur](-1.8,3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[dr](1.3,3.5){$\Delta$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(-2,0)(2,0)(2,4)
\uput[d](-2,0){D}\uput[d](2,0){E}\uput[ul](-2,4.389)G \uput[ur](2,5.135){F}
\pspolygon(-2,0)(2,4)(2,5.135)(-2,4.389)
\rput(1,10.5){figure 3}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{2}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
\psline(2,4)(-2,0)}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
\end{center}
 
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :
 
- D est le point de coordonnées $(-2~;~0)$,
 
- E est le point de coordonnées (2~;~0),
 
- F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$,
 
- G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$.
 
La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	 
\item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat). 

\end{enumerate} 

\end{exoi}

\end{document}
