\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 20}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Int\'egration}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Dans ce devoir maison, les élèves désirant intégrer une classe préparatoire scientifique traiteront l'exercice 2, les autres traiteront l'exercice 1.}

\begin{exoi}
\partieBac{}
\medskip
 
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty [$ par $f(x) = x\ln (x).$
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
 Montrer que 
 
 $f'(x) = \ln(x) + 1$. 
\item Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\partieBac{}

\medskip
 
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
 
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.
 
On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-après). 

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.4)(2.2,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.1}{x x ln mul}
\psframe[fillstyle=hlines](1,0)(1.25,0.279)
\psframe[fillstyle=hlines](1.25,0)(1.5,0.608)
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,0)(1.75,0.979)
\psframe[fillstyle=hlines](1.75,0)(2,1.386)
\psframe[fillstyle=vlines](1.25,0)(1.5,0.279)
\psframe[fillstyle=vlines](1.5,0)(1.75,0.608)
\psframe[fillstyle=vlines](1.75,0)(2,0.979)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.7,-0.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Algorithme :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,8cm}$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
\hspace{0,8cm}$U, V$ sont des nombres réels\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,8cm} $U$ et $V$ prennent la valeur 0, $n$ prend la valeur $4$\\
\textbf{Traitement}\\ 
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,8cm}  $U:= U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$\\ 
\hspace{0,8cm} $V:=V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$\\ 
Fin pour\\ 
\textbf{Affichage}\\ 
\hspace{0,8cm} Afficher $U$ et $V$
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ? 
		\item Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ? 
		\item En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\item Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\begin{array}{l c l}
U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots  + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\
 V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]
\end{array}.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
  
On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant  V_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$. 
		\item Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	 
\partieBac{}

\medskip
 
Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x -  \dfrac{x^2}{4}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. 
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
\hfill \textbf{Intégrale de Wallis et Intégration par parties}\\
\partieBac{Intégration par parties.}
\begin{theo}
On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $[a;b]$, alors on a :
$$ \int_a^b u(t)v'(t) dt= \left[ u(t) v(t)\right]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) dt$$
\end{theo}
\begin{enumerate}
\item Rappeler la formule permettant de dériver le produit $u(t)\times v(t)$ puis à partir de cette égalité, par passage à l'intégrale démontrer le théorème.
\item En utilisant le théorème, calculer $I=\int_a^b te^t dt$ puis $\int_1^x \ln(t) dt$. 
\end{enumerate}
\partieBac{Intégrales de Wallis}
On considère pour $n\in \N$ les intégrales suivantes :
$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos t\right)^n dt$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$ puis $I_1$.
\item En posant $u(t)=\left(\cos t\right)^{n+1}$ et $v'(t)=\cos t$ et appliquant le théorème $1$, montrer que :
$$ I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n$$
\item En déduire $I_3$ et $I_4$.
\item Montrer que  :
$$ I_{2p}=\dfrac{\left(2p\right)! \pi}{2^{2p+1} \left(p!\right)^2}\qquad \text{et}\qquad I_{2p+1}=\dfrac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
