\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suite arithm\'etico-g\'eom\'etrique}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\textbf{\underline{Problème}} :  Comme vous le savez tous, le Schblurb commun à aillette mouchetée est l’animal emblématique de la Syldavie. Aussi 
paisible que les habitants de ce bucolique pays, le Schblurb se nourrit exclusivement des baies du bleurtschzrn, arbre 
qui pousse en abondance dans les verts sous-bois syldaves. 
\\
On suppose que la population $u$ lors de l'année $n$ de  Schblrurbs suit la loi suivante :
$$ u_{n+1}=au_n+b$$
 L’effectif des Schblurbs, 
exprimé en millions d’individus, est approché pour l’année $n$ par un nombre réel $u_n$. Par 
exemple, si pour l’année zéro il y a $300 000$ Schblurbs, on prendra $u_0= 0,3$.\\
Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la suite $u$ pour différentes valeurs de la population initiale $u_0$ 
et des paramètres $a$ et $b$.\\
On cherche à estimer la population de Schblurbs dans l'avenir lointain, par deux techniques différentes dont l'une utilise la suite auxiliaire suivante :\\
la suite $v$ est définie, pour $n\in\N$, par :
$$ v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}$$
On se place dans le cas où $$u_0=0,3\qquad a=-0,5\qquad \text{et}\qquad b=7$$
\begin{enumerate}
\item Calculer la population de Schblurbs présent aux années $1$ ; $2$ et $3$.
\item \begin{enumerate}
\item Préciser la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item A l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ représenter les $5$ premiers termes de la suite $u$.
\item Que pouvez-vous conjecturer sur la limite de la suite $u$.
\item Déterminer cette limite par le calcul.
\end{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier $n$, on a :
$$ v_{n}=u_n-\dfrac{14}{3}$$
\item Montrer que $v$ est une suite géométrique ; on précisera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que $$ u_n=-\dfrac{131}{30}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{14}{3}$$
\item En déduire la limite $\ell$ de la suite $u$. Conclure.
\end{enumerate}



\end{document}