  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Construction à la règle et au compas}
\newcommand{\Cl}{$2^\text{nde}$}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Le nombre d'or}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 1 : Le nombre d'or}

\Exoi{\hfill \textbf{Le nombre d'or}\\
On appelle \underline{nombre d'or} le nombre noté $\varphi$ défini par :
$$\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\varphi^2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
\item Montrer que $1+\varphi=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
\item En déduire que le nombre d'or est une solution de l'équation :
$$ x^2-x-1=0\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad (E)$$
\end{enumerate} }

\Exoi{\hfill\textbf{Le rectangle d'or}\\
On dit qu'un \underline{rectangle est d'or} si et seulement si le rapport de sa longueur sur sa largeur vaut $\varphi$, le nombre d'or i.e :
$$ \dfrac{L}{\ell}=\varphi$$
\textbf{Protocole de construction} : Sur une feuille blanche, effectuer les constructions suivantes :
\begin{itemize}
\item Tracer un carré $ABCD$ tel que $AB=2$ (l'unité est celle de votre choix).
\item Placer le milieu $I$ du segment $AB$.
\item Tracer le cercle $\mathscr C$ de centre $I$ passant par $D$.
\item Prolonger le côté $[AB]$ et noté $E$ le point d'intersection entre $[AB)$ et $\mathscr C$.
\item Tracer, en rouge, le rectangle dont la longueur est le côté $[AE]$ et la largeur le côté $[AD]$. 
\end{itemize}
\underline{Conjecture} : Nous prétendons que le rectangle ainsi construit est d'or.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ID=\sqrt{5}$.
\item En déduire la longueur $AE$, puis conclure que :
$$\dfrac{AE}{AD}=\varphi$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill \textbf{Le triangle d'or}\\
On dit qu'un \underline{triangle isocèle est d'or} si et seulement si le rapport de sa plus grande longueur sur sa plus petite longueur vaut $\varphi$ (le nombre d'or).\\
\textbf{Protocole de construction} : Sur une feuille blanche, effectuer les constructions suivantes :
\begin{itemize}
\item Tracer un triangle rectangle isocèle en $A$, $AEC$ avec $AE=AC=1$ (l'unité est celle de votre choix).
\item Construire le point $B$ symétrique de $A$ par rapport à $E$.
\item Tracer $[CB]$, puis reporter la longueur $CB$ sur la demi-droite $[AC)$ afin d'obtenir le point $D$. (on a ainsi $AD=AC+CB$.)
\item Tracer la médiatrice $\Delta$ du segment $[AB]$.
\item Tracer le cercle $\mathscr C$ de centre $A$ passant par $D$. $O$ est le point d'intersection entre $\Delta$ et $\mathscr C$. 
\item Tracer en jaune le triangle $ABO$, que nous prétendons être d'or.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $CB=\sqrt{5}$. En déduire que $AO=1+\sqrt{5}$.
\item En déduire que $\dfrac{AO}{AB}=\varphi$.
\item Dans le triangle $AEO$, en utilisant la trigonométrie et votre calculatrice, trouver la valeur de l'angle $\widehat{EAO}$, et en déduire la valeur de chacun des angles du triangles $ABO$.
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\Exoi{\hfill \textbf{Le pentagone régulier}\\
\textbf{Protocole de construction} : Sur une feuille blanche, effectuer les constructions suivantes :
\begin{itemize}
\item Reproduire la figure de l'exercice précédent i.e un triangle d'or, noté comme dans l'exercice précédent $ABO$.
\item Tracer le cercle $\Gamma$  de centre $O$ passant par $A$.
\item Tracer le cercle $\mathscr C_1$ de centre $B$ passant par $A$. Il coupe $\Gamma$ en $F$.
\item Tracer le segment $[AF]$, puis tracer le cercle de centre $F$ passant par $A$. Il coupe $\Gamma$ en $G$. Tracer le segment $[FG]$.
\item Tracer le cercle de centre $G$ passant par $F$ qui coupe $\Gamma$ en $H$. Tracer $[GH]$.
\item Enfin tracer le cercle de centre $H$ passant par $G$, il coupe $\Gamma$ en $I$. Tracer $[HI]$ et $[IA]$. Nous prétendons que AFGHI est un pentagone régulier inscrit dans $\Gamma$ i.e que tous ses côtés font la même longueur.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Donner la mesure des angles $\widehat{AOF}$, $\widehat{FOG}$, $\widehat{GOH}$, $\widehat{HOI}$ et enfin $\widehat{IOA}$.
\item Expliquer pourquoi AFGHI est un pentagone régulier. 
\end{enumerate}
}


\textbf{Aide} : On pourra s'inspirer de la figure (simplifiée) suivante pour construire les figures des exercices 3 et 4, mais vous n'effacerez aucun trait de construction.

\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.85,-1.68)(10.23,10.22)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,1.5)(0,0)
\psline[linecolor=yellow](0,0)(3,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](3,0)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1.5,-1.68)(1.5,10.22)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,0)(0,10.22)
\pscircle[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,0){4.85}
\psline[linecolor=yellow](0,0)(1.5,4.62)
\psline[linecolor=yellow](1.5,4.62)(3,0)
\pscircle(1.5,4.62){4.85}
\psline[linecolor=ccqqqq](0,0)(5.43,1.76)
\psline[linecolor=ccqqqq](5.43,1.76)(5.43,7.47)
\psline[linecolor=ccqqqq](5.43,7.47)(0,9.23)
\psline[linecolor=ccqqqq](0,9.23)(-3.35,4.62)
\psline[linecolor=ccqqqq](-3.35,4.62)(0,0)
\rput[tl](3.01,4.43){$\mathscr C$}
\rput[tl](6.62,5.2){$\Gamma$}
\rput[tl](1.74,7.18){$\Delta$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](-0.29,-0.32){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](3,0)
\rput[bl](3.15,-0.3){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0,1.5)
\rput[bl](0.09,1.55){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](1.5,0)
\rput[bl](1.58,0.05){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0,4.85)
\rput[bl](0.09,4.89){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](1.5,4.62)
\rput[bl](1.58,4.65){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](5.43,1.76)
\rput[bl](5.57,1.64){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](5.43,7.47)
\rput[bl](5.52,7.51){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0,9.23)
\rput[bl](0.04,9.45){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-3.35,4.62)
\rput[bl](-3.56,4.52){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Question{On trace la bissectrice de l'angle $\widehat{OAB}$. L'intersection entre cette bissectrice et $(OB)$ est noté $J$. Expliquer pourquoi $JAB$ est encore un triangle d'or.}
\end{document}