\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 18}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Logairthme N\'ep\'erien}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Dans ce devoir maison, il est obligatoire de traiter un exercice. Les élèves qui ont obtenu au bac blanc une note inférieure ou égale à 7 traiteront l'exercice 1, ce qui ont obtenu une note supérieure ou égale à 12 traiteront l'exercice 2, les autres ont le choix de l'exercice.}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. 

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.
 
La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$ $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) =  \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$.

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. 
\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(2.1,1.501)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,1.5)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.28}{2}{1 1 x div add ln}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(1.5,1.5)
\uput[dr](1.5,1.5){$\mathcal{D}$}
\uput[u](2,0){$x$}\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.8,0.45){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ 
		\item Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. Aucune justification n'est demandée.
\begin{itemize}
\item[$\bigstar$ ] Conjecture n$^\circ$ 1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg 
\item[$\bigstar$] Conjecture n$^\circ$ 2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg 
\item[$\bigstar$] Conjecture n$^\circ$ 3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg 
\end{itemize}
		\item On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive.
		 
Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. 
		\item Montrer que $\ell = \alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak

\begin{exoi}
On d\'esigne par $a$ un r\'eel strictement positif et diff\'erent de 1.\\
On se propose de rechercher, dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, les solutions de l'\'equation \[E_{a} : ~x^a =  a^x.\]\\

\textbf{On rappelle que pour tout $\lambda>0$ et pour tout réel $x$ on a :
$$ \lambda^x=e^{\ln \lambda^x}=e^{x\ln \lambda}$$}

\noindent \textbf{I  \'Etude de quelques cas particuliers}\\
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que les nombres $2$ et $4$ sont solutions de l'\'equation $E_{2}$.
\item  V\'erifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'\'equation $E_{a}$.
\item  On se propose de d\'emontrer que e est la seule solution de l'\'equation $E_{\text{e}}$.\\
On note $h$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Question de cours :}
On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors	$\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$.\\
D\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\item  D\'eterminer les limites de $h$ en $0$ et $+ \infty$.
\item 	Etudier les variations de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item 	Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'\'equation $E_{\text{e}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\noindent \textbf{II R\'esolution de l'\'equation} \boldmath$E_{a}$ \unboldmath\\ 
\begin{enumerate}
\item  Soit $x$ un r\'eel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'\'equation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'\'equation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$.
\item On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$  par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Donner une interpr\'etation graphique de ces deux limites.
\item \"Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
%\item 	Tracer la courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal \Oij. (Unit\'e : 2~cm).
\end{enumerate}
\item Justifier \`a l'aide des r\'esultats pr\'ec\'edents les propositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes :
\begin{itemize}
\item[~]  $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$, alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ;
\item[~]  $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~; ~+ \infty[$, alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$, l'une appartenant \`a l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant \`a l'intervalle $]\text{e}~; ~+ \infty[$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi}
%
%\begin{enumerate}
%\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on consid\`ere la fonction $ f_{n}$ d\'efinie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
%\[f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1.\]
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer les limites de $ f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$ puis \'etudier le sens de variations de $ f_{n}$.
%\item Montrer que l'\'equation $ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient \`a l'intervalle [1 ; e].
%\end{enumerate}
%\item Le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal \Oij. On note ($\Gamma$) la courbe repr\'esentative de la fonction logarithme n\'ep\'erien.
%\begin{enumerate}
%\item Soit $n$ un entier naturel non nul. D\'eterminer une \'equation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point A de coordonn\'ees (0 ; 1) et le point $B_{n}$ de coordonn\'ees $(n ~;~0)$.
%\item  Faire un croquis repr\'esentant la courbe ($\Gamma$) et les droites $\Delta_{1}, ~\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$.
%\item  Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ($\Gamma$) avec $\Delta_{n}$. 
%\item  Pr\'eciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
%\end{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$.
%\item Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et v\'erifier que : \\
%$f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$.
%\item  D\'eduire de la question pr\'ec\'edente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
%\item Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite. \'Etablir que : $\ln \ell = 1$ et en d\'eduire la valeur de $\ell$.
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}
%
%\end{exoi}


\end{document}
