\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 18}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Calcul de  PGCD}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vspace{1cm}

\begin{exoi}
Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant ;

\og Etant donnés deux entiers naturels $a$ et $b$ non nuls, si $PGCD(a;b)=1$ alors $PGCD(a^2;b^2)=1$\fg{}.

Une suite $(S_n)_{n\in \N}$ est définie pour $n>0$ par :
$$ S_n=\sum_{i=1}^n p^3$$
On se propose de calculer, pour tout entier naturel $n$ le plus grand diviseur commun entre $S_n$ et $S_{n+1}$.

 \begin{enumerate}
 \item Démontrer, par récurrence, que pour tout $n>0$, on a : $$ S_n=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$$
 \item Etude du cas où $n$ est pair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n=2k$.
 \begin{enumerate}
 \item Démontrer que $PGCD(S_{2k};S_{2k+1})=(2k+1)^2PGCD(k^2;(k+1)^2)$.
 \item Calculer $PGCD(k;k+1)$.
 \item Calculer $PGCD(S_{2k};S_{2k+1})$.
 \end{enumerate}
 \item Etude du cas où $n$ est impair. Soit $k$ l'entier naturel non nul tel que $n=2k+1$.
 \item \begin{enumerate}
 \item Démontrer que les entiers $2k+1$ et $2k+3$ sont premiers entre eux.
 \item Calculer $PGCD(S_{2k+1};S_{2k+2})$
 \end{enumerate}
 \item Déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de $n$, que l'on déterminera, pour laquelle $S_n$ et $S_{n+1}$ sont premiers entre eux.
 \end{enumerate}
 \end{exoi}
 
\begin{exoi}
\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier  naturel $x$ :

\[(x-1)\left(1 +x + x^2 + \cdots + x^{k-1}\right) = x^k - 1.\]

Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier $a$ supérieur ou égal à 2.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif de $n~:~n = dk$.

Montrer que $a^d- 1$ est un diviseur de $a^n - 1$.
		\item Déduire de la question précédente que $2^{{2004}} - 1$ est divisible par 7, par 63 puis par 9. 
	\end{enumerate} 
\item Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $d$ leur pgcd.
	\begin{enumerate} 
		\item On définit $m'$ et $n'$ par $m = dm'$ et $n = dn'$. En appliquant le théorème  de Bezout à $m'$ et $n'$, montrer qu'il existe des entiers relatifs $u$  et $v$ tels que : $mu - nv = d$.
		\item On suppose $u$ et $v$ strictement positifs.

Montrer que : $\left(a^{mu} - 1 \right) - \left(a^{nv} - 1 \right) a^d =  
a^d - 1$.

Montrer ensuite que $a^d - 1$ est le pgcd de $a^{mu} - 1$ et de $a^{nv} - 1$.
		\item Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de $2^{63} - 1$ et de $2^{60} - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}