\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 17}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Logairthme N\'ep\'erien}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Dans ce devoir maison, il est obligatoire de traiter un exercice. Les élèves qui ont obtenu au bac blanc une note inférieure ou égale à 7 traiteront l'exercice 1, ce qui ont obtenu une note supérieure ou égale à 12 traiteront l'exercice 2, les autres ont le choix de l'exercice.}

\begin{exoi}
%Amérique du Nord mai 2013
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme ? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. \\
		\textit{Indication : On pourra raisonner par récurrence.}
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\\
		\textit{Indication : On pourra raisonner par récurrence.}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite\index{suite} $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
%		\item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
%		
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
%Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
%				& $u$ est un réel\\
%Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
%				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
%Traitement :	&\\
%				&\\ 
%Sortie :		&\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}
%Antilles guyane juin 2012
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\ 
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose: $v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}$
  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} = \dfrac{n}{2^n}$

	\end{enumerate}
\item  Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x - x \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
	\item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} < 0,001$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
				& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $1$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 0.5\\ 
Traitement :	&\\
				&\\ 
				&\\
				&\\
Sortie :		&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
