\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 17}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Equation de Pell-Fermat}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vspace{1cm}


  
 Le but de l'exercice est de déterminer des couples $(a, b)$ d'entiers vérifiant l'égalité $$(1) : a^2 - 2b^2 = 1$$
 \begin{enumerate}
 \item On suppose que $(a,b)$ est solution.
 \begin{enumerate}
 \item Prouver que $a$ est impair.
 \item En déduire que $a^2-1$ est un multiple de $4$ puis que $b$ est pair.
 \item Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Déterminer une solution évidente de l'équation $(1)$.
 \item Montrer que si $(a,b)$ est solution de $(1)$, le couple $(3a+4b,2a+3b)$ l'est également.
 \item Déterminer $3$ autres solutions de $(1)$. 
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Ecrire un algorithme qui affiche un couple d'entiers supérieurs à $1000$ vérifiant $(1)$.
 \item Le programmer sur une calculatrice ou sur un logiciel de votre choix.
 \\
 Quel couple affiche-t-il ?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
   \Cadre[Infos Mathématiques]{L'équation $a^2-2b^2=1$ est dite de \og Pell-Fermat\fg{}. Plus généralement, on appelle ainsi une équation de la forme $x^2-dy^2=1$ où $x$ et $y$ sont des entiers inconnus et $d$ un entier naturel sans facteur carré.\\
  Fermat a montré qu'elle admet une infinité de solutions.}

\end{document}