\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 16}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Objectif Bac}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\Cadre{Ce devoir maison est facultatif et \og à la carte\fg. C'est à dire que chaque élève traitera les exercices de son choix.\\Le dernier délai pour me rendre votre travail est le vendredi 7 février car sinon je n'aurai pas le temps de corriger.\\Il est bien évident que je ne peux pas en un seul devoir mettre toutes les notions donc il faut aussi réviser par vous même...}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Exponentielle et suite (vous en avez rêvé...)}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{-x}.\] 

%On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un 
%repère orthonormal \Oij~(unité graphique : 10 cm). 

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 
%		\item Construire $\Gamma$ dans le repère \Oij. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $m$ de 
$\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$, l'équation $f(x) = m$ admet deux solutions. 
		\item Dans le cas où $m = \dfrac{1}{4}$, on nomme $\alpha$ et $\beta$ les solutions (avec $\alpha < \beta$). 

Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = m$ dans le cas où $m = 0$ et $m = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\begin{center}	 	 
\textbf{Partie B}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par 

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
u_0 & = & \alpha\\ 
u_{n+1} & = & u_n\text{e}^{-u_n},~\text{pour tout entier naturel}~n\\ 
\end{array}\right.\] 

où $\alpha $ est le réel défini à la question \textbf{A. 2. b.} 

	\begin{enumerate}
 		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier 
naturel $n$,$$u_n > 0$$ 
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. 
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite. 
	\end{enumerate} 
%\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie sur $\N$ par $w_n = \ln u_n$. 
%	\begin{enumerate}
%		 \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel, on a 
%$u_n = w_n - w_{n+1}$. 
%		\item On pose $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. 

%Montrer que $S_n = w_0 - w_{n+1}$. 
%		\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_n$. 
%	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par son 
premier terme $v_0~(v_0 > 0)$ et, pour tout entier naturel $n$,$$v_{n+1} = 
v_n\text{e}^{-v_n}$$ 

Existe-t-il une valeur de $v_0$ différente de $\alpha$ telle que, pour 
tout $n \geqslant 1$, on ait $u_n = v_n$ ? 

Si oui, préciser laquelle. 
\end{enumerate}
 \end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{Des complexes}\\
Pour tout point $P$, on convient de noter son affixe $z_P$.

 \begin{enumerate}
  \item On considère dans $\C$ l'équation $$(E) : z^3+8=0$$
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $$z^3+8=(z+2)(z^2+az+b)$$
   \item Résoudre alors l'équation $(E)$ (on donnera les solutions sous leur forme algébrique).
   \item Ecrire ces solutions sous leur forme exponentielle.
  \end{enumerate}
 \item On considère les points $A(-2)$, $B(1-i\sqrt{3})$, $C(1+i\sqrt{3})$ et $D$ le milieu du segment $[OB]$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure.
  \item Montrer que $ABC$ est un triangle équilatéral.
 \item Déterminer l'affixe $z_L$ du point $L$ tel que $AODL$ soit un parallélogramme.
 \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{OL}$ et $\overrightarrow{AL}$ sont orthogonaux. 
 \item En déduire que $L$ appartient au cercle de diamètre $[OA]$.
 \item Placer alors $L$ sur la figure.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}\end{exoi}
 
 
\begin{exoi}\hfill\textbf{Des probabilités}\\\textsl{Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.}
 
Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.
 
On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement A et 
$p_B$(A ) la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On interroge un élève de la classe pris au 
hasard.
 
On appelle P l'évènement : \og L'élève fait partie du club photo \fg, et T l'événement : \og L'élève fait partie du club théâtre \fg.
 
Montrer que les évènements P et T sont indépendants.

\item Lors d'une séance du club photo, les 10 
membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre 
la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort. 
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle T$_1$ l'évènement : \og Le premier élève appartient au club théâtre \fg. Calculer $p (\text{T}_1)$. 
		\item On appelle T$_2$ l'évènement \og L'élève pris en photo appartient au club 
théâtre \fg. Calculer $p_{T_1}(\text{T}_2 )$, puis $p_{\overline{T_1}}\left(\text{T}_2 \right)$. En déduire $p\left(T_2~ \cap~ \text{T}_1\right)$ et 
$p\left(\text{T}_2~ \cap~ \overline{\text{T}_1}\right)$.\\ 
(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)
		\item Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club 
théâtre est 0,2. 
	\end{enumerate} 
\item Toutes les semaines, on recommence de façon 
indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et 
du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de 
suite.
 
Calculer la probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n'ait été photographié. 
\end{enumerate} 
\end{exoi}

%\begin{exoi}[Exponentielle et suite (vous en avez rêvé...)]
%\begin{center}	 	 
%\textbf{Partie A}
%\end{center}
%On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
%
%\[g(x) = \text{e}^x - x - 1.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
%\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
%\item En déduire que pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[,\: e^x - x > 0$. 
%\end{enumerate}
%
%\begin{center}	 	 
%\textbf{Partie B }
%\end{center}
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = \dfrac{e^x}{e^x - x}.\] 
% 
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
%\item Interpréter graphiquement ces résultats.
%\end{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la dérivée de la fonction $f$ et vérifier que $$f'(x)=\dfrac{(1-x)e^x}{\left (e^x - x\right)^2}$$
%\item En déduire le tableau de variations de $f$
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Déterminer une équation de la tangente $\mathscr T$ à la courbe $(\mathscr C_f)$  au point d’abscisse $0$.
%\item Montrer que $$f(x)-(x+1)=\dfrac{-xg(x)}{e^x-x}$$
%\item En déduire la position relative de la droite $\mathscr T$ et de la courbe $(\mathscr C_f)$ sur $\R$.
%\end{enumerate}
%	\end{enumerate} 
%
%\begin{center}	 	 
%\textbf{Partie C}
%\end{center}
%On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~1] par 
%
%\[h(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x - x}.\] 
% 
%La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $h$ dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci-dessous
%
%On admet que $h$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$\\
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}&=&\dfrac{1}{2}\\
%u_{n+1}&=&h\left(u_{n}\right), \quad \text{pour tout entier naturel}\,n.
%\end{array}\right.\]
% 
%\begin{enumerate}
%\item Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction. 
%\begin{center}
% \psset{unit=10cm}
% \begin{pspicture}(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
% \uput[dl](0,0){O}
% \uput[d](1.2,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
% \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x exp 1 sub 2.71828 x exp x sub div}
% \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(1.25,1.15)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.05,-0.05)(1.25,1.15)
% \end{pspicture}
% \end{center}
%\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\, 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 1$. 
%\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite. \\(On pourra montrer que $h(x) - x = \dfrac{(1 - x)g(x)}{e^x - x}$ et faire le lien avec la fonction $g$ de la partie A)
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%

\end{document}
