\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 16}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Pr\'eparation BB}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vspace{1cm}

\textbf{\textbf{Tout élève poursuivra ses efforts pour améliorer les résultats de son DM14 ou traitera l'exercice suivant.}
}

  
 

\begin{exoi}
On définit une suite $(u_n)_{n\in\N}$ par : $$ \left \{\begin{array}{l}
u_0=0
\\u_1=1 \qquad t \in \R
\\u_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(3u_{n+1}-u_n\right) \qquad \text{pour tout n }\geq 0
\end{array}
\right.$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
\item A l'aide d'un tableur, calculer les $30$ premiers termes de la suite. \\Quelle conjecture peut-on faire quant au comportement de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$?
\item On pose , pour tout entier $n$, $$U_n=\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}\text{ et } A=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}&-\dfrac{1}{2}\\&\\1&0\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que , pour tout $n\in N$, $$U_{n+1}=AU_n$$
\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in N$, $$U_{n}=A^nU_0$$
\end{enumerate}
\item On pose : $$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\text{ et } Q=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $PQ$ et $QP$.
\item Vérifier que la matrice $QAP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
\item Démontrer par récurrence, que pour tout $n\in N$, $$A^n=PD^nQ$$
\item En admettant que $D^n=\begin{pmatrix}1&0\\&\\0&\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{pmatrix}$, déterminer l'expression de $A^n$.
\end{enumerate}
\item Déduire des questions 3.b et 4.d., un expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Etudier la convergence de la suite $(u_n)$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}