\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 15}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Nombres Complexes-Equations}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Tout élève traitera  au moins deux exercices.}


\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit$\\
  On pose $P(z)=z^3-(6+i)z^2+\alpha z - 13i$ , où $\alpha$ est un nombre complexe.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer $\alpha$ pour que $P(i)=0$.
   \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout complexe $z$, $P(z)=(z-i)(z^2+az+b)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$.
  \end{enumerate}
 \end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
 Résoudre dans $\C$ les systèmes suivants :
 \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 2 \\ zz'=17
                 \end{array}\right.$
   \item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 5 \\ zz'=6.5
                 \end{array}\right.$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{exoi}
 
 \begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit\spadesuit$\\
  On considère dans l'ensemble des nombes complexes, l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ :
  $$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=0$$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $(E)$ a une solution imaginaire pure.
   \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
   $$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=(z+i)(z^2+az+b)$$
   \item Résoudre l'équation $(E)$ dans $\C$.
  \end{enumerate}
 \end{exoi}

 \begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit\spadesuit$\\
  On définit la fonction polynôme $f$ de $\C$ dans $\C$ par :
  $$f(z)=z^4-6z^3+14z^2-24z+40$$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que l'équation $f(z)=0$ a deux solutions imaginaires pures.\\
   \textit{On pourra poser $z=iy$ avec $y\in\R$, puis mettre $f(iy)$ sous forme algébrique et enfin traduire la nullité de $f(iy)$ par un système.}
 \item Trouver deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z\in\C$, on ait :
 $$f(z)=(z^2+az+b)(z^2+4)$$
 \item En déduire l'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $f(z)=0$.
   \end{enumerate}

 \end{exoi}

\end{document}
