\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 14}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Retour de l'arithm\'etique}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav
\vspace{1cm}

\textbf{\textbf{Tout élève en fera au moins pour 3 $\spadesuit$.}
}

  
 \begin{exoi}\textbf{Nombres premiers}\hfill $\spadesuit \spadesuit $
\begin{enumerate}
\item Démontrer l'égalité dite \og égalité de Sophie Germain \fg{} :
$$ n^4+4m^4=(n^2+2m^2+2mn)(n^2+2m^2-2mn)$$
\item En utilisant cette égalité, répondre aux questions (indépendantes) suivantes :
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le nombre $p=2^{1794}+723^4$ n'est pas un nombre premier.
\item Pour quelles valeurs de l'entier relatif $n$, $n^4+4$ est-il premier ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\textbf{Nombre parfaits}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
\emph{Définition : Dire qu'un entier naturel $n$ est parfait signifie que la somme de tous ses diviseurs positifs est égale à $2n$.}
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
$$ \forall x\neq 1, \qquad \sum_{i=0}^{n} x^i=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
\textit{Indication} : On pourra calculer $(1-x)\sum_{i=0}^{n} x^i$.
\item Démontrer que $28$ est un nombre parfait.
\item $p$ désigne un nombre premier tel que $q=2^p-1$ soit premier.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les diviseurs positifs de $2^{p-1}$.
\item Déterminer les diviseurs positifs de $2^p-1$.
\item Calculer la somme des diviseurs positifs de l'entier $E^p=2^{p-1}(2^p-1)$.\\
\textit{Remarque} : Les nombres $E_p$ sont appelés \textit{nombres d'Euclide}.
\item En déduire que $2^{p-1}(2^p-1)$ est un nombre parfait.
\item Déterminer alors trois nombres parfaits.
\end{enumerate}
\item \hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
 $p$ et $q$ désignent des nombres premiers distincts supérieurs ou égaux à $3$ et $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers naturels non nuls ; on note $n=p^\alpha q^\beta$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les diviseurs positifs de $p^\alpha$ et de $q^\beta$.
\item Démontrer que la somme $S$ des diviseurs positifs de $n$ est donnée par :
$$ S=\dfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}\times \dfrac{q^{\beta+1}-1}{q-1}$$
\item Démontrer que $n$ est parfait, si et seulement si $p^\alpha q^\beta\left((p-2)(q-2)-\right)=1-p^{\alpha+1}-q^{\beta+1}$.
\item En étudiant le signe de chaque membre, démontrer qu'il ne peut pas exister de nombres parfaits impairs dont la décomposition en produit de facteurs premiers ne contienne que deux facteurs premiers distincts.
\item Démontrer que s'il existe un nombre parfait impair, il est supérieur à $105$.
\\
\textit{Remarque} : On ignore, à l'heure actuelle, s'il existe des nombres parfaits impairs.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

  
\end{document}