\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 13}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Etude de fonction - Exponentielle}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Tout élève traitera  au moins un exercice.}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$$
On appelle $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $-\infty$. En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera une équation.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$$
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et l'existence d'une deuxième asymptote à $\mathscr C_f$ en $+\infty$ dont on précisera une équation. 
\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(-x)=-f(x)$$
Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ et pour sa représentation graphique ?
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in \R$ puis étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=e^{x^2-2x}$$
On appelle $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $\pm \infty$. Que peut-on en déduire ?
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ et déterminer son signe.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=1$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
