\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 13}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - vers le bac...}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}


  
 \begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
 On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1\up{er} janvier 2013, cette région comptait {250000}~habitants dont 70\,\% résidaient à  la campagne et 30\,\% en ville.
 
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à  choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'effectif de la population est globalement constant,
\item[$\bullet~~$] chaque année, 5\,\% de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à  la campagne et 1\,\% de ceux qui résident à  la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1\up{er}~janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à  la même date.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.  
\item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$. 

On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a,\: b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.
 
Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
 
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$. 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $B$  telle que $PB=I_2$ et $BP=I_2$. 
		\item Vérifier que la matrice $BAP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera. 
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  $1$, $A^n = P D^n B$.
		\item Calculer en fonction de $n$, la matrice $A^n$.
		\item Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à  long terme ? 
	\end{enumerate} 

\end{enumerate}

\end{exoi}


  
\end{document}