\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 12}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - Calculatoire...}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}

\textbf{Tout élève traitera au moins un exercice.}

  
 \begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit \spadesuit$
 \begin{enumerate}
 \item On considère  les matrices $M=\begin{pmatrix}
 1 & 0\\
 -2 & 2
 \end{pmatrix}$ et $N=\begin{pmatrix}
 -1 & 1\\
 3 & -1
 \end{pmatrix}$.
 \\
 Calculer $M\times N$ et $N\times M$.
 \item On considère les matrices :
 $$A=\begin{pmatrix}
 -3 & 1 & 1 \\
 1 & -3 & 1\\
 1 & 1 & -3
 \end{pmatrix}\qquad \text{et}\qquad J=\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1\\
 1 & 1 & 1\\
 1 & 1 & 1\\
 \end{pmatrix}$$ 
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $ A=aI_3+bJ$
 \item Vérifier que $J\times J=3J$ et en déduire que $ A\times A+5A+4I_3=0_3$
 \item Déterminer une matrice $B$ telle que $ A\times B=I_3$
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit$\\
On considère un mobile se déplaçant sur les trois sommets d'un graphe avec les probabilités indiquées ci-dessous  :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  & B \\ 
 &  & C 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,93}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,3}^{0,07}
\ncarc[arcangle=15]{1,3}{1,1}^{0,03}
\nccircle[angleA=-90]{1,3}{0.7cm}^{0,97}
\ncline{2,3}{1,3}^{0,4}
\nccircle[angleA=90]{2,3}{0.7cm}^{0,6}
\end{center}
On note $X_n=\begin{pmatrix}
a_n\\
b_n\\
c_n
\end{pmatrix}$ le vecteur colonne donnant les probabilités que le mobile occupe les sommets $A$, $B$ et $C$ $n$ instants après son départ.
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe.
\item S'il part du sommet $A$ :
\begin{enumerate}
\item Calculer $X_1$ et $X_2$.
\item Démontrer par récurrence que $X_n=T^nX_0$.
\item Donner à l'aide de la calculatrice $X_{30}$.
\end{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item S'il part du sommet $B$ :
\begin{enumerate}
\item Calculer $X_1$ et $X_2$.
\item Démontrer par récurrence que $X_n=T^nX_0$.
\item Donner à l'aide de la calculatrice $X_{30}$.
\end{enumerate}
\item S'il part du sommet $C$ :
\begin{enumerate}
\item Calculer $X_1$ et $X_2$.
\item Démontrer par récurrence que $X_n=T^nX_0$.
\item Donner à l'aide de la calculatrice $X_{30}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exoi}


  
\end{document}