\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 11}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - Etudier un processus \'evolutif al\'eatoire}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}



  
  \begin{exoi}
  Dans une grande ville (dont on suppose que la population reste globalement constante), on cherche à étudier les mouvements de population entre la banlieue et le centre-ville. On considère pour cela que, si on choisit au hasard un habitant de la banlieu, il a une probabilité de $0,03$ de déménager en centre-ville l'année suivante ; de même si on choisit au hasard un habitant du centre-ville, il a une probabilité de $0,07$ de déménager en banlieue l'année suivante. On note $A$ l'état \og habiter en centre-ville\fg et $B$ l'état \og habiter en banlieue \fg. On identifiera l'ensemble des états $\{A;B\}$ à l'ensemble $\{1;2\}$.
  Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant l'état d'un habitant pris au hasard à l'année $n$. On suppose que la loi de probabilité de $X_0$ (ce qu'on l'on appelera la loi de probabilité initiale) est donnée par le vecteur-colonne $U_0=\begin{pmatrix}
  x_0 \\ y_0
  \end{pmatrix}$ (on a notamment $x_0+y_0=1$)
  \begin{enumerate}
  \item Dessiner un graphe et écrire la matrice de transition $T$ relative à ce processus.
  \item On choisit $x_0=0,3$. Calculer les matrices-colonnes $U_1$ et $U_2$ associées aux lois de probabilités des variables aléatoires $X_1$ et $X_2$. Que constate-t-on ?
  \item Dans cette question on choisit $x_0=0,2$. Grâce à une calculatrice, calculer les lois de probabilités $U_3$, $U_5$, $U_{10}$  et $U_{30}$ (arrondir les résultats au millième. Que peut-on dire de l'évolution de la répartition de la population entre centre ville et banlieue au cours des années ?
  \end{enumerate}
  \end{exoi}




  
\end{document}