\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 10}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{R\'evisions : Suites, espaces, fonctions.}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS3 est facultatif. Il est cependant fortement conseillé de faire tous les exercices.}



%\begin{exoi}
%Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I=[0;1]$ telles que $f(0)=g(0)$ et $f'\leq g'$ sur $I$. Démontrer que $f\leq g$ sur $I$ (On pourra étudier les variations de $g-f$).
%\end{exoi}

%\begin{exoi}
%On considère la fonction $f$ définie pour $x\neq -1$ par :
%$$ f(x)=\dfrac{-x^2+2x+5}{x+1}$$
%On désigne par $\mathscr C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère $(O;\vec i, \vec j)$ %(avec $1cm=5$).
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
%\item Calculer $f'(x)$. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Montrer qu'il existe $3$ réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour $x\neq -1$ :
%$$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$$
%\item En déduire l'existence d'une asymptote oblique $T$ dont on donnera l'équation.
%\item Etudier la position de $T$ et $\mathscr C_f$.
%% En déduire l'existence d'une asymptote à la représentation graphique de $f$ que l'on notera $\mathscr C_f$.
%%\item Etudier les variations de la fonction $f$.
%\end{enumerate}
%\item Déterminer la limite de $f$ en $-1^+$ et en $-1^-$.
%%\item Déterminer les sol
%\item Démontrer que l'équation de la tangente $\Delta$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=-3x+5$.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%


%\begin{exoi}\hfill (points)\\
%On considère l'équation $(E)$ suivante : $ \sin x=x$
%\begin{enumerate}
%\item Trouver une solution évidente de $(E)$.
%\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin x-x$.
%\begin{enumerate}
%\item Etudier la parité de $f$. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$. Que peut-on en déduire quant au nombre de solution de l'équation $f(x)=0$.
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%\item Montrer qu'il existe un unique réel tel que $f(x)=0$.
%\end{enumerate}
%\item Donner l'ensemble des solutions de $(E)$.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}


%\begin{exoi}
%On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
%$$ f(x)=2x -\sin x$$
%et on appelle $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec i, \vec j)$. L'objet de cet exercice est une étude précise de la fonction $f$ et de sa représentation graphique $\mathscr C_f$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la fonction $f$ est impaire. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.
%\item Montrer que pour tout $x\in \R$ : 
%$$ 2x-1\leq f(x)\leq 2x+1$$
%En déduire les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
%\item Calculer la dérivée $f'$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
%\item \begin{enumerate}
%\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution  $\alpha$ sur $\R$.
%\item Déterminer $\alpha$.
%\end{enumerate}
%\item On appelle $d$ et $d'$ les droites d'équations respectives $y=2x-1$ et $y=2x+1$. Déterminer les points communs à $\mathscr C_f$ et $d$, d'une part, et à $\mathscr C_f$ et $d'$ d'autre part.
%\\
%Préciser les tangentes en ces points.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}


%\begin{exoi}
%Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  :
%$$\left\{ \begin{array}{l} u_0= \dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)  \end{array} \right.$$
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par :
%$$ f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
%Etudier le sens de variation de $f$.
%\item Utiliser le graphique en dernière page pour construire les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ de l'axe $(O; \vec i)$ d'abscisses respectives $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n\geq \sqrt{2}$.
%\item Montrer que pour tout $x\geq \sqrt{2}$, $f(x)\leq x$.
%\item En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$.
%\item Prouver qu'elle converge.
%\end{enumerate}
%\item Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'équation $$ x=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$$
%En déduire sa valeur.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}
%
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
%\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(8.1,10.1)
%\def\xmin{-1} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{10}
%\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-1.1)(10.1,10.1)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.5,0)(0.5,2.25)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.5,0)(0.5,2.25)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.5,2.25)(0,2.25)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.5,2.25)(0,2.25)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.25)(2.25,2.25)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,2.25)(2.25,2.25)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.25,2.25)(2.25,0)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.25,2.25)(2.25,0)
%\def\F{0.5 x 2 x div add mul}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0.001}{10}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.001}{10}{\F}
%\endpsclip
%\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
%\end{pspicture*}
%
%
%\end{center}

\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit $ à $ \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par :
$$ u_0=-1\qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;+\infty[$ par :
$$ f(x)=\sqrt{2+x}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $[-2;+\infty[$.
\item Calculer $f'(x)$ pour $x\in ]-2;+\infty[$ et dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\item Montrer, par récurrence et en utilisant la fonction $f$ que pour tout entier naturel $n$ :
$$ -1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$$
En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ et un majorant de $(u_n)$.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente vers un réel $\ell$. Que peut-on préciser pour ce réel $\ell$ ? 
\item Justifier que $\ell =f(\ell)$ et déterminer $\ell$.
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
 $\epsilon$ est un nombre réel strictement positif.\\
}
{
$n=0$ et $u=-1$.\\
  \While{$|u-2|\geq \epsilon$}
{$n:=n+1$ et $u:=\sqrt{u +2}$  
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item  Afin de découvrir l'affichage de cet algorithme pour $\epsilon=0,1$, recopier et compléter le tableau des valeurs prises par les variables $n$, $u$ et par $|u-2|$:\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & 0 & $1$& $\dots$& $\dots$ \\ \hline
$u$ & $-1$ & $\dots$ &$\dots$ &$\dots$ \\ \hline
$|u-2|$ & 3 & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Qu'affiche cet algorithme ?
\item Pourquoi est-on sûr qu'à partir d'un certain rang la condition $|u-2|\geq \epsilon$ ne sera pas vérifiée ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 2-u_{n+1}=\dfrac{2-u_n}{\sqrt{2+u_n}+2}$$
\item En justifiant que $1\leq \sqrt{2+u_n}$ montrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $ \dfrac{1}{\sqrt{2+u_n}+2}\leq \dfrac{1}{3}$
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$ on a : $ 2-u_{n+1}\leq \dfrac{1}{3}\times (2-u_n)$
\item En déduire que :  $\qquad 2-u_{6}\leq \left(\dfrac{1}{3}\right)^3(2-u_3) $
\item En déduire que pour $\epsilon =0,01$, l'algorithme affichera une valeur de $n$ inférieure ou égale à $6$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit \spadesuit$\\
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.\\
On considère les points $A(1;-2;-1)$ et $B(3;-5;-2)$
\begin{enumerate}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
\item Soit $(d)$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}
x=2-t' \\ y=1+2t' \quad\text{ avec } t'\in\R\\ z =t'
\end{array}\right.$
\\Démontrer que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires.
\item On considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $C(0;-3;0)$ et dirigé par les vecteurs $ \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c}
                              1 \\ -4 \\ 0   \end{array} \right)$ et $ \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c}
                                                           0 \\ -5\\ 1   \end{array} \right)$
\begin{enumerate}
\item Donner une représentation paramétrique du plan $\mathscr P$.
\item Démontrer que le plan $\mathscr P$ contient la droite $(AB)$.
\end{enumerate}
\item On considère la sphère de diamètre $[AB]$.
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de cette sphère.
\item Déterminer le nombre de points d'intersection entre cette sphère et la droite $(d)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit $\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sin x -\dfrac{x}{2}$$
On souhaite résoudre l'équation $(E)$ : $\sin x -  \dfrac{x}{2} = 0,~x \in \R$.
\begin{enumerate}
\item Où l'on montre que les solutions de $(E)$ sont dans l'intervalle $[-2;2]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $x>2$ alors $-\dfrac{x}{2}<-1$. En déduire que $f(x)\neq 0$ lorsque $x>2$.
\item Montrer que si $x<-2$ alors $-\dfrac{x}{2}>1$ et en déduire de nouveau que $f(x) \neq 0$ pour $x<-2$.
\item En déduire que toutes les solutions de l'équation $(E)$ se trouvent dans l'intervalle $[-2;2]$.
\end{enumerate}
\item Où l'on étudie la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre, à l'aide d'un cercle trigonométrique, l'équation $\cos x=\dfrac{1}{2}$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.
\item Déterminer $f'(x)$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.
\item En déduire le tableau de variations de $f$ pour $x\in [-\pi;\pi]$.
\end{enumerate}
\item Où l'on conclut.
\begin{enumerate}
\item Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'équation $(E)$.
\item Donner une valeur approchée, à $10^{-3}$ près par défaut, de la plus grande solution.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{exoi}
\end{document}
