\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 10}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Matrice - Saut de puce}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}



  
  \begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
  Deux familles de puces sautent simultanément sur deux marches consécutives d'un escalier.\\
  A chaque saut, $1/5^e$ des puces situées sur la marche $1$ réussit à monter sur la marche $2$. En revanche, à chaque saut, $3/10^e$ des puces de la marche $2$ redescendent sur la marche $1$.
  \begin{enumerate}
  \item Ecrire la matrice $M$ de transition pour un saut donne les fréquences de passage d'une marche à l'autre. (Chaque colonne correspond à une même marche de départ et chaque ligne à une même marche d'arrivée).
  \item On sait qu'au départ il y a seulement $40$ puces sur la marche $1$ et $1000$ sur la marche $2$. On note $P_0$ le vecteur colonne donnant cette répartition par marche :
  $$ P_0=\begin{pmatrix}
  40\\
  1000
  \end{pmatrix}$$
  \begin{enumerate}
  \item Calculer le nombre de puces sur chaque marche après 1 saut ; écrire le résultat sous la forme d'une matrice colonne $P_1$.
  \item Déterminer la répartition du nombre de puces après 2 sauts et $3$ sauts. Ecrire les opérations comme un produit de matrice.
  \end{enumerate}
\item Que se passe-t-il si au départ il y a $600$ puces sur la marche $1$ et $400$ sur la marche $2$ ?
  \end{enumerate}
  \end{exoi}





  
\end{document}