  \documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 2 : Suites et récurrences }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}
\usepackage{pifont}


\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Complexes et exponentielles}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{O.Maze/D.Zancanaro}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	PRemière Page
\pagestyle{empty}
\begin{framed}
\begin{center}
\begin{LARGE}
 BACCALAUREAT GENERAL GRIS
\end{LARGE}
\end{center}
\end{framed}


\vfill

\begin{Large}
\begin{center}
\underline{SESSION 2014}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{MATHEMATIQUES-SPECIALISTE}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
Série : \textbf{S}
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
DUREE DE L'EPREUVE : \textbf{4 Heures}. COEFFICIENT : \textbf{9}.
\end{center}
\end{Large}

\vfill


\begin{Large}
\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.}
\end{center}
\end{Large}




\begin{Large}
\begin{center}
L’utilisation de la calculatrice est autorisée.
\end{center}
\end{Large}

\vfill
\begin{framed}
\begin{large}
\begin{center}
Le candidat doit traiter tous les exercices. 
\end{center}
Il est invité à faire sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il 
aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des 
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 
\end{large}
\end{framed}

\pagebreak
\clearpage
\pagenumbering{arabic}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C,L,R] {}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
%\lhead{Bac Blanc}
%\rhead{Avril 2014}

\quad
%\vspace{-17mm}
\vspace{-11mm}

\def\arete{3} 
\def\epaisseur{5} 
\def\rayon{3}
\newcommand{\ruban}{(0,0) 
	++(0:0.57735*\arete-0.57735*\epaisseur+2*\rayon) 
	++(-30:\epaisseur-1.73205*\rayon) 
	arc (60:0:\rayon)	-- ++(90:\epaisseur) 
	arc (0:60:\rayon)	-- ++(150:\arete) 
	arc (60:120:\rayon) -- ++(210:\epaisseur) 
	arc (120:60:\rayon) -- cycle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[very thick,top color=white,bottom color=gray,scale=0.67] 
	\shadedraw \ruban; 
	\shadedraw [rotate=120] \ruban; 
	\shadedraw [rotate=-120] \ruban;
	\draw (-60:3.5) node[scale=3,rotate=30]{Sujet}; 
	\draw (-60:5) node[scale=3,rotate=30]{Bac Gris}; 
	\draw (180:4) node[scale=2,rotate=-90]{Terminale}; 
	\draw (180:5) node[scale=2,rotate=-90]{Scientifique}; 
	%\clip (0,-6) rectangle (6,6); % pour croiser \shadedraw \ruban;
	\draw (60:5) node [gray,scale=2,rotate=-30]{Maths}; 
	\draw (60:4) node [gray,xscale=-2,yscale=2,rotate=30]{Maths}; 
	\draw (0.2,1.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS2-TS3}};
	\draw (0.2,0.4) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{Spécialité}};
	%\draw (0.2,-0.2) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{\&{}}};
	%\draw (0.2,-1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{SpÃ©cialitÃ©}};
	%\draw (-90:1) node[scale=1.33,rotate=0]{\textsc{TS1}};
	\draw (10:12.5) node[scale=0.67,rotate=90]{\textit{Lycée Jean Durand, Castelnaudary (Aude, France métropolitaine)}};
	\draw (0:-12.5) node[scale=0.5,rotate=90]{\quad };
\end{tikzpicture}
\end{center}





\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
On considère l'équation $(E)$ où $x$ et $y$ désignent des nombres entiers :
$$ 135x-352y=1$$
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD de $135$ et de $352$.
\item Justifier que l'équation $(E)$ admet au moins une solution.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Montrer que si le couple $(x;y)$ est solution de $(E)$ alors on a $ 135x\equiv 1 [352]$
\item Réciproquement, démontrer que si $x$ est un entier tel que $135x\equiv 1 [352]$ alors il existe un entier relatif $k$ tel que le couple $(x;k)$ soit solution de $(E)$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer, \og \textbf{en remontant l'algorithme d'Euclide} \fg, que le couple $(-73;-28)$ est solution de $(E)$. 
\item Déterminer l'ensemble des couples solutions de l'équation $(E)$.
\item Montrer qu'il existe un unique nombre entier $x$ tel que $1<x<352$ et $135x\equiv 1 [352]$ puis déterminer cet entier.
\end{enumerate}
\item Bob veut transmettre à Alice un message codé, mettons la date à laquelle ils vont organiser une surprise pour Emmy (par exemple, le 18). Bien entendu le message ne doit pas être intercepté par Emmy$\dots$
\\
\textbf{Protocole de cryptage} :\\
Alice diffuse au monde les nombres $n=391$ et $e=279$ (elle conserve en secret le nombre $d=135$). Toute personne peut envoyer un message crypter à Alice en respectant la procédure suivante :
\begin{itemize}
\item Pour crypter un message M, on détermine $0\leq C<n$ tel que $M^e\equiv C [n]$ que l'on envoie à Alice.
\item Pour décrypter le message $C$, Alice détermine $0\leq D<n$ tel que  $C^{d}\equiv D [n]$ qui vaut donc $D=M$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition en produit de facteur premier de $279$.
\\
Vérifier que $18^{31}\equiv 35 [391]$ puis en déduire $18^{279} [391]$ %puis $18^{30}\equiv [391]$, $\dots$, et enfin $18^{270}[391]$.\\
En déduire le message crypté que Bob transmet à Alice.
\item Vérifier qu'Alice peut décrypter le message correctement.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C] {\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[L]{Bac Gris}
\fancyhead[R]{Avril 2014}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}
\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}
  		 
\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
 
\partieBac{}
\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ et $K$ sont  des entiers, $U, V, W$ sont des réels\\ 
\textbf{Début :}& $K:=0$ et $U:=2$ et $V:=10$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à $K$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à $W$\\ 
&\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$\\ 
&\hspace{0,6cm}	Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$	à $V$\\  
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ et $V$ \\
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
On  exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}&&\\ \hline 
1&&&\\ \hline
2&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\partieBac{}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		 
Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$. En déduire que $v_n-u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. 
		\item En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite. 
\item Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. 

En déduire que la limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$. 
\end{enumerate}
\end{exoi}
		   
		   
\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\smallskip

\partieBac{}
\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que:

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\smallskip

\partieBac{}
\smallskip

On définie la fonction $g_m$ sur $\R$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère \Oij du plan.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
		\item Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
	\end{enumerate}
\item On a représenté, page suivante, les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\e}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).

Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur la page suivante.
		\item Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$. On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.
		
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.

En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
		   
%\begin{exoi}\hfill (6 points)
%
%On considère la fonction $f$  définie sur $\R$ par :
%
%\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item
%	\begin{enumerate}
%	\item Vérifier que $ f(x)=2\left(e^{\frac{1}{2}x}+\dfrac{1}{2}xe^{\frac{1}{2}x}\right)$pour tout réel $x$.
%	   \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Interpréter graphiquement.
%		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
%		\item Etablir le tableau de variation de $f$ puis le tableau de signe de $f$ sur $\R$.
%	\end{enumerate} 
%\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$ 
%	\begin{enumerate}
%		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
%
%On donne l'algorithme ci-dessous.
%
%\index{algorithme}
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|ll|}\hline
%Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
%			&$s$ est un nombre réel.\\ 
%Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
%Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
%Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
%	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
%	&Fin de boucle.\\ 
%Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
% 
%On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
%		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
%		
%\begin{center}
%\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
%\pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
%\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
%\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
%\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
%\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
%\uput[l](0,0.25){1}
%\uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}		 
%		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ? 
%	\end{enumerate} 
%	\item 
%\begin{enumerate}
%		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$. Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
%		\item En déduire une primitive de $f$ sur $\R$ puis calculer la valeur exacte de $I$, enfin donner $\lim\limits_{n\to +\infty} s_n$.
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate} 
%
%\end{exoi}

\begin{center}

\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(5,6)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=cyan]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}

\pagebreak

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On dispose de trois urnes contenant chacune un certain nombre de boules colorées, comme indiqué dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
 & Boules Bleues & Boules Rouges\tabularnewline
\hline 
\hline 
Urne 1 & 1 & 3\tabularnewline
\hline 
Urne 2 & 3 & 2\tabularnewline
\hline 
Urne 3 & 4 & 2\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}\end{center}
On tire au hasard une urne, puis une boule de cette urne. 

La boule tirée est bleue, mais quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne 1 ?
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{27}{80}$
		\item $\dfrac{15}{91}$
		\item $ \dfrac{1}{4}$
		\item $ \dfrac{1}{3}$
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\item Le ministre syldave a supprimé la faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca \footnote{La capitale de la Syldavie.} est un ancien boxeur, aveugle et parkinsonien. Il arrache les dents de ses patients au hasard. Les syldaves venant le consulter ont toujours une seule dent de malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent encore avant l'intervention des tenailles ou des poings, c'est selon. Le dentiste arrache toujours exactement une dent par patient (malade ou saine suivant la chance du patient). On note $X$ le nombre de dents malades extraites à bon escient après avoir traité $n$ patients par le dentiste.

Combien doit-il traiter de personnes au minimum pour extraire au moins
une dent malade avec une probabilité supérieure à $0,6$ ? 

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.} $ 9$ & 
\textbf{b.} $19 $ & 
\textbf{c.} $29$ & 
\textbf{d.} $39$
\end{tabularx}

	
\item Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.} $\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=3t\qquad t\in \R \\ z=t+4
    \end{cases}$ & 
\textbf{b.} $\begin{cases}
      x=-1 \\ y=7t \qquad t\in \R\\ z=7t+4
    \end{cases} $ &
\textbf{c.} $\begin{cases}
      x=-1-2t \\ y=5+3t \qquad t\in \R\\ z=4+t
    \end{cases}$ &
\textbf{d.} $\begin{cases}
      x=2t \\ y=-3t \qquad t\in \R\\ z=-t
    \end{cases}$
\end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(-3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
x = t - 7 \\ y = t + 3 \\ z = 2t + 5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
  	\begin{enumerate}
  		\item La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
  		\item La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}