\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Correction}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\tps}{1h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF} \hfill \textbf{5 points}\\
\begin{minipage}{9.5cm}
 \partieBac{Trace d'algorithme}
%Compléter la trace de l'algorithme ci-contre, obtenue avec l'entrée 
$x=3$
 \begin{center}
  \begin{tabular}{*{4}{|>{\centering}m{2cm}}|}\hline
   Ligne & Instructions & $a$ & $b$ \tabularnewline\hline
   1 & $a:=x+5 $ & 8 & \cellcolor{gray}\tabularnewline\hline
   2 & $b:=a^2-9 $ &\cellcolor{gray} & 55\tabularnewline\hline
  \end{tabular}
 \end{center}
 \end{minipage}\quad
 \begin{minipage}{9cm}
  \partieBac{QCM}
  \begin{enumerate}
 \item %Si on veut obtenir $0$, on peut entrer :
 Réponse a) $-8$ car \\
 $-6+5=-1$ et $(-1)^2-9=1-9=-8$
 \item %Si on veut obtenir $0$, on peut entrer :
Réponse b) et d) car si on rentre :
\begin{itemize}
 \item $-8$ on a $-8+5=-3$ et $(-3)^2-9=0$
 \item $2$ on a $-2+5=3$ et $3^2-9=0$
\end{itemize}
 \item %Une expression algébrique de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par cet algorithme est  :
 Réponse b) et d) car en entrant $x$ on obtient \\
 $x \longmapsto x+5 \longmapsto (x+5)^2-9$.\\
 De plus $(x+5)^2-9 = x^2+10x+25-9=x^2+10x+16$
\end{enumerate}
 \end{minipage}
\end{ExoF}




\begin{ExoF} $f(x)=(3x+5)(1-4x)$ \hfill \textbf{6 points}
%Soit $f$ la fonction définie par :
%$$f(x)=(3x+5)(1-4x)$$
\begin{enumerate}
 \item %La fonction $f$ admet-elle des valeurs interdites ? Si oui, lesquelles ?
 La fonction $f$ n'admet pas de valeur interdite puisqu'il n'y a pas de division ni de racine carré dans son expression
 algébrique.
 \item %En déduire son ensemble de définition $D_f$.
 Donc toutes les valeurs sont autorisées : $D_f=]-\infty ; +\infty[$
\item %Déterminer l'image par $f$ de $-2$.
$f(-2)=\left(3 \times (-2)+5\right)\left(1-4 \times (-2)\right) = (-6+5)(1+8)=(-1)\times 9 = -9$\hfill
L'image de $-2$ est $-9$.
\item %Calculer $f\left(\dfrac13 \right)$.
$f\left(\dfrac13\right)=\left(3 \times \left(\dfrac13\right)+5\right)\left(1-4 \times \left(\dfrac13\right)\right) = (1+5)\left(1+\dfrac43\right)
=6\times \left(-\dfrac13\right) = -2$ \hfill
L'image de $\dfrac13$ est $-2$.
\item %Déterminer les antécédents de $0$ par la fonction $f$.
\textbf{On cherche $x$ tel(s) que $f(x)=0$} ce qui revient à dire $(3x+5)(1-4x)=0$.\\
Or \textbf{Un \textit{produit} est \textit{nul} si et seulement si l'un des facteurs est \textit{nul}}.\\
Donc cela revient à dire que $3x+5=0$ ou $1-4x=0$\\
Ce qui revient à dire $3x=-5$ ou $-4x=-1$\\
Ce qui revient à dire $x=-\dfrac53$ ou $x=\dfrac{-1}{-4}=\dfrac14$\hfill
Les antécédents de $0$ sont $-\dfrac53$ et $\dfrac14$.
\item \begin{enumerate}
       \item %Développer $f(x)$.
       $f(x)=(3x+5)(1-4x)=3x+3x \times (-4x) + 5\times 1 + 5 \times (-4x) = 3x-12x^2+5-20x = -12x^2-17x+5$
       \item %Utiliser cette dernière expression pour déterminer les antécédents de $5$ par 
       %la fonction $f$.
       \textbf{On cherche $x$ tel(s) que $f(x)=5$} ce qui revient à dire $-12x^2-17x+5=5$\\
       Ce qui revient à dire $-12x^2-17x=0$\\
       Ce qui revient à dire $x(-12x-17)=0$\\
       Or \textbf{Un \textit{produit} est \textit{nul} si et seulement si l'un des facteurs est \textit{nul}}.\\
       Donc cela revient à dire $x=0$ ou $-12x-17=0$\\
       Ce qui revient à dire $x=0$ ou $x=-\dfrac{17}{12}$\hfill
       Les antécédents de $5$ sont $0$ et $-\dfrac{17}{12}$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par  $g(x)=(2x+1)^2-(5x-1)(2x+1)$. \hfill \textbf{2 points}
%Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par  $g(x)=(2x+1)^2-(5x-1)(2x+1)$.
\begin{enumerate}
 \item %Factoriser $g(x)$.
 Le facteur commun est $(2x+1)$ car $g(x)=\underline{(2x+1)}(2x+1)-(5x-1)\underline{(2x+1)}$.\\
 Donc  $g(x)=(2x+1)\left((2x+1)-(5x-1)\right) = (2x+1)(2x+1-5x+1)=(2x+1)(-3x+2)$
\item %Résoudre l'équation $g(x)=0$.
\textbf{On cherche $x$ tel(s) que $g(x)=0$} ce qui revient à dire $(2x+1)(-3x+2)=0$\\
Or \textbf{Un \textit{produit} est \textit{nul} si et seulement si l'un des facteurs est \textit{nul}}.\\
Ainsi, cela revient à dire que $2x+1=0$ ou $-3x+2=0$\\
Ce qui revient à dire $x=-\dfrac12$ ou $x=\dfrac23$. \hfill $\mathscr S=\left\{-\dfrac12 ; \dfrac23\right\}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$\hfill \textbf{7 points}
%Soit $h$ la fonction définie par $$h(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$$
\begin{enumerate}
 \item %La fonction $h$ admet-elle des valeurs interdites ? Si oui, lesquelles ?
 Il est interdit de diviser par $0$, ainsi, il est interdit d'avoir $x+2=0$. \\
 Ceci revient à dire que 
 $x=-2$ est une valeur interdite.
 \item %En déduire son ensemble de définition $D_h$.
 On en déduit que les valeurs autorisées sont tous les autres nombres, autrement dit $D_h=]-\infty ; -2[ \cup 
 ]-2 ; + \infty[$
 \item % Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.\\
\begin{tabular}{*{14}{|C{0.9cm}}|}\hline
 $x$ &$-7$ &$-5$& $-4$ & $-3$ & $-2.5$ & $-1.5$ & $-1$ & $\,0\,$& $\,1\,$ & $\,2\,$ & $3$ & $5$ & $7$\tabularnewline\hline
$h(x)$ &$2.6$&$3$&$3.5$&$5$&$8$&$-4$&$-1$&$0.5$&$1$&$1.25$&$1.4$&$\simeq 1.57$&$\simeq 1.67$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\item %Construire alors l'allure de la courbe représentative de la fonction $h$ sur le graphique ci-dessous
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-10,-10)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(-10,-10)(10,10)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-10,-10)(10,10)
\psplot[plotpoints=200]{-9.3}{-2.1}{(2*x+1)/(x+2)}
\psplot[plotpoints=200]{-1.7}{9.3}{(2*x+1)/(x+2)}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](-7,2.6)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](-5,3)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](-4,3.5)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](-3,5)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](-2.5,8)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](-1.5,-4)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](-1,-1)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](0,0.5)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](1,1)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](2,1.25)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](3,1.4)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](5,1.57)
\psdots[dotsize=7pt 0,dotstyle=x](7,1.67)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Les points suivants appartiennent-ils à la courbe représentative de la fonciton $h$ ? \textit{\textbf{Justifier par un calcul !}}
%\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $A(4.5 ;1.5 ) $ : $f(4.5)=...\simeq 1.53 \neq 1.5$ \hfill Donc $A\notin \mathscr C_h$
 \item $B(-3.5 ;4 ) $ : $f(-3.5)= ... =4$ \hfill Donc $B\in \mathscr C_h$
 \item $C(13 ;1.8) $ : $f(13)=...=1.8$ \hfill Donc $C\in\mathscr C_h$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item %Déterminer les éventuels antécédents de $1$ par la fonction $h$.
\textbf{On cherche $x\neq 2$ tel que $h(x)=1$} \qquad ce qui revient à dire $\dfrac{2x+1}{x+2}=1$.\\
Or \textbf{Un \textit{quotient} vaut $1$ si et seulement son numérateur et son dénominateur sont égaux}. \\
Ainsi cela revient à dire $2x+1=x+2$ (toujours avec $x\neq 2$).\\
Ceci revient à dire $2x-x=2-1 \iff x=1$. \hfill L'antécédent de $1$ est $1$.\\
\textit{On peut remarquer que cet antécédent se trouvait dans le tableau de valeur. Résoudre l'équation
nous permet de savoir que c'est le seul antécédent de $1$.}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\textbf{Question Cactus (Bonus)} : %Un libraire achète un livre de collection 70 $\euro$, le vend 80 $\euro$,
%le rachète 90 $\euro$ et le revend 100 $\euro$. Quel est son bénéfice ? Justifier !\\
Le libraire dépense $70+90=160\euro$ en achetant le livre.\\
Il reçoit $80+100=180\euro$ en le revendant. \hfill Ainsi, il a fait un bénéfice de $20\euro$.




\end{document}
