\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Rep\'erage et (in)\'equations}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitres 1 et 2}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\tps}{1h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.3cm,rmargin=1.5cm}
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
%\setlength{\parindent}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

~\\

%\begin{ExoF}   \hfill \textbf{3 points}\\
%Construire \textbf{à la règle et au compas} les nombres suivants :
% $$\dfrac16 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \dfrac34 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \sqrt{3}$$  
%\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Des milieux} \hfill \textbf{4 points}\\
  Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ du plan, placer les points $A(2,1)$, $B(0;2)$ et $C(-4;-3)$.
 \begin{enumerate}
 \item %Calculer les coordonnées du point $M$ milieu de $[AB]$.
 $x_M=\dfrac{x_B+x_A}{2}=... = 1$ \quad et $y_M=\dfrac{y_B+y_A}{2}=...=\dfrac{3}{2}$ \hfill Donc $M\left(1 ; \dfrac32\right)$
  \item %Calculer les coordonnées du point $N$ milieu de $[AC]$.
$x_N=\dfrac{x_C+x_A}{2}=... = -1$ \quad et $y_N=\dfrac{y_C+y_A}{2}=...=-1$ \hfill Donc $N\left(-1 ; -1\right)$
\item %Calculer les coordonnées du point $P$ tel que $A$ soit le milieu de $[BP]$.
On note $P(x;y)$. \quad Le point  $A$ doit être le milieu de $[BP]$, donc on doit avoir :\\
$x_A= \dfrac{x_P+x_B}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $2=\dfrac{x+0}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $4=x$\\
$y_A= \dfrac{y_P+y_B}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $1=\dfrac{y+2}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $2=y+2 \iff 0=y$\hfill 
Donc $P(4,0)$.
\item %Calculer les coordonnées du point $Q$ symétrique de $A$ par rapport à $B$.
Si $Q$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ alors $B$ est le milieu de $[AQ]$. On note $Q(x;y)$. Alors on doit avoir :
$x_B= \dfrac{x_Q+x_A}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $0=\dfrac{x+2}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $0=x+2 \iff x=-2$\\
$y_B= \dfrac{y_Q+y_A}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $2=\dfrac{y+1}{2}$ \quad c'est-à-dire \quad $4=y+1 \iff 3=y$\hfill
Donc $Q(-2,3)$.
\item Contrôler vos résultats à l'aide du figure (unité graphique : $OI=1$ cm).
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{ Des milieux, des distances et un quadrilatère} \hfill \textbf{6 points}\\
 Dans un repère orthonormé, on donne les points 
 $A(-1;-1)$, $B(3;-3)$, $C(4;-1)$
 et $D(0;1)$. %\\
% \textit{Aucune figure n'est demandée.}
 \begin{enumerate}
  \item %Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
  On sait que \textbf{si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux, alors c'est un parallélogramme}.\\
  Il s'agit donc de vérifier que les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieux. \\
  Le milieu de $[AC]$ a pour coordonnées : $x=\dfrac{x_A+x_C}{2}=...=\dfrac32$ \quad et \quad $y=\dfrac{y_A+y_C}{2}=...=-1$\\
  Le milieu de $[BD]$ a pour coordonnées : $x=\dfrac{x_B+x_D}{2}=...=\dfrac32$ \quad et \quad $y=\dfrac{y_B+y_D}{2}=...=-1$\\
  Il s'agit du même point :
  le quadrilatère $ABCD$ a donc ses diagonales qui se coupent en leurs milieux, c'est donc un parallélogramme.
\begin{multicols}{2}
   \item %Calculer $AB$.
  On sait que 
  \begin{eqnarray*}
AB^2 &=& (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\\
&=& (3-(-1))^2+(-3-(-1))^2\\
&=& (4)^2+(-2)^2 \\
AB^2&=& 16+4\\
AB&=&\sqrt{20}
  \end{eqnarray*}
  \item %Calculer $AD$.
    On sait que 
    \begin{eqnarray*}
AD^2 &=& (x_D-x_A)^2+(y_D-y_A)^2\\
&=& (0-(-1))^2+(1-(-1))^2\\
&=& (1)^2+(2)^2 \\
AD^2&=& 1+4\\
AD&=&\sqrt{5}
  \end{eqnarray*}
  \end{multicols}
  \item % Le quadrilatère $ABCD$ est-il un losange ? \textbf{Justifier.}
  $ABCD$ n'a pas deux côtés consécutifs de même longueur, ce n'est donc pas un losange.
  \item  %Le quadrilatère $ABCD$ est-il un rectangle ? \textbf{Justifier par un calcul.}
  On sait que \textbf{si un quadrilatère est un parallélogramme avec un angle droit, alors c'est un rectangle.}
 \\
 On sait déjà que $ABCD$ est un parallélogramme. Il s'agit donc de vérifier qu'il possède un angle droit.\\
 Pour cela, plaçons nous dans le triangle $ABD$ et regardons s'il est rectangle, grâce à \textbf{Pythagore}.\\
 On sait déjà que $AB^2=20$ et $AD^2=5$.\quad 
 Calculons $BD^2$. \quad On a 
     \begin{eqnarray*}
BD^2 &=& (x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2\\
&=& (0-3)^2+(1-(-3))^2\\
&=& (-3)^2+(4)^2 \\
&=& 9+16=25\\
  \end{eqnarray*}
  On constate que $BD^2 = AB^2 + AD^2$. \\
  Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABD$
  est rectangle en $A$. \\
  Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme avec un angle droit : c'est un rectangle.
  \item  %Le quadrilatère $ABCD$ est-il un carré ? \textbf{Justifier.}
  Le quadrilatère $ABCD$ n'est pas un losange, cela ne peut donc pas être un carré.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Des équations} \hfill \textbf{4 points}%\\
 %Résoudre  dans $\R$ les équations suivantes et écrire leur ensemble $\mathscr S$ de solutions :
%\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $5x+1=3 \stackrel{-1}{\iff} 5x=3-1=2 \stackrel{\div 5}{\iff} x=\dfrac25$ \hfill $\mathscr S=\left\{\dfrac25\right\}$
\item $3-4x=-1 \stackrel{-3}{\iff} -4x=-1-3=-4 \stackrel{\div(-4)}{x}=\dfrac{-4}{-4}=1$ \hfill $\mathscr S=\left\{1\right\}$
\item $\begin{array}{c@{\, \iff \,}l@{ \text{ ou } }l}
(5x+2)(4-3x)=0 & 5x+2=0 & 4-3x=0\\
& 5x=-2 & -3x=-4 \\
& x=-\dfrac25 & x=\dfrac{-4}{-3}=\dfrac{4}{3}
      \end{array}$ \hfill $\mathscr S=\left\{-\dfrac25 ; \dfrac43\right\}$
\item $\begin{array}{c@{\, \iff \,}l@{ \text{ ou } }l}
-2x(4x+1)=0 & -2x=0 & 4x+1=0 \\
& x=\dfrac{0}{-2} & 4x=-1\\
& x=0 & x=-\dfrac14
       \end{array}$   \hfill $\mathscr S=\left\{0 ; -\dfrac14\right\}$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}  \textbf{Des inéquations} \hfill \textbf{4 points}%\\
% Résoudre  dans $\R$ les équations suivantes et écrire leur ensemble  $\mathscr S$ de solutions :
 % \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $0\leq 3x\leq 3 \stackrel{\div 3}{\iff} \dfrac03\leq x \leq \dfrac33 \iff 0 \leq x \leq 1$ 
\hfill  $\mathscr S=[0;1]$
\item $-3< 3+4x \leq -1 \stackrel{-3}{\iff} -6 <4x\leq -4 \stackrel{\div 4}{\iff} \dfrac{-6}{4} < x \leq  \dfrac{-4}{4}
\iff -\dfrac32 < x \leq  -1$\hfill  $\mathscr S=\left]-\dfrac32;-1\right]$
\item $2x-1 <-4 \stackrel{+1}{\iff} 2x<-3 \stackrel{\div 2}{\iff} x < -\dfrac32$
\hfill  $\mathscr S=\left]-\infty;-\dfrac32\right[$
\item $4 < 3 - x \stackrel{-3}{\iff} 1 < -x \stackrel{\times (-1)}{\iff} -1>x $ 
\hfill  $\mathscr S=]-\infty;-1[$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Du fil à retordre ! }\hfill \textbf{2 points}\\
  Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$.
 On considère les points $A(-5;2)$, $B(2;y)$ et $C(x;2)$. 
 \begin{enumerate}
  \item %Déterminer la valeur de $y$ tel que $AB=7$.
  On a 
     \begin{eqnarray*}
AB^2 &=& (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2\\
7^2&=& (-5-2)^2+(2-y)^2\\
49&=& (-7)^2+(2-y)^2 \\
49&=& 49+(2-y)^2 \stackrel{-49}{\iff} 0=(2-y)^2 \iff 0=2-y \stackrel{+y}{\iff} y=2 \qquad \qquad  \text{Donc} B(2;2)
  \end{eqnarray*}

  \item %Déterminer \textbf{les} valeurs de $x$ tel que $AC=5$
   On a 
     \begin{eqnarray*}
AC^2 &=& (x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2\\
5^2&=& (-5-x)^2+(2-2)^2\\
25&=& (-5-x)^2+0^2 \\
25&=& (-5-x)^2 \iff 5=-5-x \text{ ou} -5=-5-x \iff 10=-x \text{ ou } 0=-x \iff -10=x \text{ ou } 0=x 
  \end{eqnarray*}
  Donc $C(0;2)$ ou $C(-10;2)$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}





\end{document}