\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Devoir Maison 1}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Correction}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha




\begin{ExoF}  \hfill $\spadesuit$
   \begin{enumerate} 
   \item %Calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[MP]$
   Le milieu $K$ de $[MP]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{-1+2}{2};\dfrac{2+(-3)}2\right)$. \hfill Donc $K\left(\dfrac12;-\dfrac12\right)$
   \item %Calculer les coordonnées du point $Q$ tel que $K$ soit le milieu de $[NQ]$. 
   On appelle $(x;y)$ les coordonnées de $Q$.\\
   Le milieu de $[NQ]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5+x}{2};\dfrac{4+y}2\right)$.\\
   \begin{tabular}{lcccc}
     On veut $K$ milieu de $[NQ]$ & c'est-à-dire & $\dfrac{5+x}{2}=\dfrac12$ & et & $\dfrac{4+y}2=-\dfrac12$\\
				  & c'est-à-dire & $5+x=1$ & et & $4+y=-1$ \\
				  & c'est-à-dire & $x=-4$ & et & $y=-5$.
   \end{tabular}  \hfill Donc $Q(-4,5)$
   \item %Quelle est la nature de $MNPQ$ ? \textbf{Justifier}.\\
   Le quadrilatère $MNPQ$ a ses diagonales qui se coupent en leur milieu : \hfill $MNPQ$ est un parallélogramme
     \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill $\spadesuit\spadesuit$\\
Dans repère orthonormé $(O,I,J)$ du plan,
on donne les points $A(-2,0)$, $B(2,-1)$, $C(3,3)$ et $D(-1,4)$. 
 \begin{enumerate}
  \item %Démontrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont même milieu.\\
  %Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
  Le milieu de $[AC]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{-2+3}{2} ; \dfrac{0+3}{2}\right) = \left(\dfrac12 ; \dfrac32\right) $\\
  Le milieu de $[BD]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2+(-1)}{2} ; \dfrac{-1+4}{2}\right) = \left(\dfrac12 ; \dfrac32\right) $\hfill
  Il s'agit bien du même point !\\
  Le quadrilatère $ABCD$ a donc ses diagonales qui se coupent en leur milieu :  \hfill $ABCD$ est un parallélogramme.
  \item %Calculer les longueurs $AB$ et $BC$.\\
%  Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 = (2-(-2))^2+(-1-0)^2=4^2+(-1)^2=17$ \hfill Donc $AB=\sqrt{17}$\\
$BC^2=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2 = (3-2)^2+(3-(-1))^2=1^2+4^2=17$ \hfill Donc $BC=\sqrt{17}$\\
Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur :  \hfill $ABCD$ est un losange.
\item %Le quadrilatère $ABCD$ est-il un carré ? \textbf{Justifier}.
Calculons la longueur d'une diagonale, par exemple $AC$.\\
$AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2 = (3-(-2))^2+(3-0)^2=5^2+3^2=34$ \qquad  Donc $AC=\sqrt{34}$\\
Ainsi, dans le triangle $ABC$ on a $AC^2=34$ et $AB^2+BC^2=17+17 = 34$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.\\
Le quadrilatère $ABCD$ est un losange qui possède un angle droit : \hfill $ABCD$ est un rectangle.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} \textbf{Problème ouvert} \hfill $\spadesuit\spadesuit\spadesuit$\\
%On veut approvisionner en eau deux réservoirs $A$ et $B$. 
% Pour cela, on peut les relier par des tuyaux à deux canaux d'irrigation $C_1$ et $C_2$,
% perpendiculaires entre eux. \\
% Le réservoir $A$ est situé à $2.6$ km à l'est de $C_1$ et à $3.4$ km au nord de $C_2$.\\
% Le réservoir $B$ est situé à $5.3$ km à l'est de $C_1$ et à $2.8$ km au nord de $C_2$.\\
  \begin{minipage}{7cm}
%\begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(6,4)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=0pt 0]{->}(0,0)(-1,-0.5)(6,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](0,2.8)(5.3,2.8)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](5.3,2.8)(5.3,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](2.6,0)(2.6,3.4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](0,3.4)(2.6,3.4)
\rput[tl](-0.5,3){\rotatebox{90}{Canal $C_1$}}
\rput[tl](4.03,-0.14){Canal $C_2$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](2.6,3.4)
\rput[bl](2.64,3.51){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](5.3,2.8)
\rput[bl](5.35,2.91){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](2.6,2.8)
\rput[bl](2.7,2.91){\blue{$C$}}
\rput[bl](1,3.5){\blue{$2.6$}}
\rput[bl](3.5,2.9){\blue{$5.3$}}
\rput[tl](2.3,1.5){\rotatebox{90}{\blue{$3.4$}}}
\rput[tl](5,1.5){\rotatebox{90}{\blue{$2.8$}}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
%\end{center} 
 \end{minipage} 
 \begin{minipage}{12cm}
% On peut :
 \begin{itemize}
  \item %soit relier chaque réservoir à un des deux canaux, 
  Si on relie chaque réservoir à un des deux canaux, il est clair que la longueur
  minimale de tuyau nécessaire est $2.8+2.6=5.4$ km (en reliant $A$ à $C_1$ et $B$ à $C_2$.)\\
  \item %soit relier un réservoir à un des deux canaux et approvisionner le second réservoir en le reliant
  %au premier.
  Si on relie un réservoir à un des canaux seulement, il faut choisir de relier $A$ à $C_1$ 
  (réservoir le plus proche d'un canal).\\
  Ensuite, il faut prévoir de relier les réservoirs entre eux. On doit donc calculer la distance $AB$.\\
  On rajoute le point $C$ sur la figure. Le triangle $ABC$ est alors rectangle en $C$.\\
  D'après Pythagore on a :\\
  $AB^2= BC^2+AC^2 = (5.3-2.6)^2+(3.4-2.8)^2= 2.7^2+0.6^2=7.65$ \\
  Donc $AB = \sqrt{7.65} \simeq 2.76$ km\\
  Ainsi dans ce cas, on devra utiliser au minimum $2.6+\sqrt{7.65}\simeq5.36$ km de tuyau, ce qui est mieux !\\
  
  \item Conclusion : en raccordant $C_1$ à $A$ puis $A$ à $B$, on a besoin d'environ  $5.36$ km
  de tuyau, et c'est la longueur minimale nécessaire.
 \end{itemize}
 % Bien entendu, chaque liaison envisagée sera effectuée en ligne droite.
 % \begin{enumerate}
 %  \item Coder la figure ci-contre.
 %  \item Déterminer la longueur minimale de tuyau nécessaire. \\ \textbf{Argumenter}.
 % \end{enumerate}
 \end{minipage}
\end{ExoF}





\end{document}