\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La t\^ete dans les \'etoiles}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Chacha{swim.eps}{Swim}{Caribou}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
 Depuis ses débuts sous le nom de Manitoba,
 le canadien Dan Snaith n’en finit plus de sonder en profondeur l’électro-pop. 
Passé l’expérience Manitoba, Dan s’est accaparé les commandes du groupe Caribou. 
groupe qui n’a jamais cherché à écrire la pop-song parfaite, celle que l’on se prend à fredonner dans la rue.
 La démarche pop et la dimension psychédélique du groupe se concentre sur la structure chirurgicale 
des morceaux. Il y a cette impression tenace de tenir avec l’album \textit{Swim} l’alchimie parfaite entre les
 expérimentations audacieuses d’Animal Collective et les comptines électronica de Four Tet.
 Caribou atteint ici un niveau insoupçonné d’homogénéité et semble parvenir à une sorte de plénitude. 
\textit{Swim} se révèle plus sombre que ses prédécesseurs, mais jamais plombant,
 notamment sur l’électro 80’s d'un Leave House chancelant et sur le fantastique Found Out dont 
les trois minutes d’électro-pop risquent fortement de parasiter durablement vos pensées par la force d'un 
thème d'une simplicité désarmante.\\
Caribou signe là un brillant album de pop électronique ingénieuse et démontre une fois de plus tout le génie 
de Dan Snaith. Il n’en reste pas moins que Caribou est un groupe prenant toute sa mesure en live où ses 
prestations psychédéliques révèlent tout leur pouvoir hypnotique et il y a fort à parier qu'avec ce nouvel 
album, les prochains concerts vont être sublimés. }{0.4}{0.4}
{
\item Construire et manipuler des solides
\item Connaître les formules de volumes et de suface de divers solides
\item Représenter des situations en perspective cavalière
\item Visualiser des positions relatives d'objet dans l'espace
\item Dessiner la section d'un cube par un plan
\item Résoudre des problèmes dans l'espace en se ramenant à des situations dans le plan
\item Revoir la géométrie plane}
\setcounter{NumLecon}{7}

\TITRE{espace.eps}{0.15}

\begin{abstract}
Nous allons tenter \`a travers ce chapitre de nous familiariser avec ce que l'on appelle la 
dimension $3$ : l'espace.\newline
\noindent La géométrie élémentaire de l'espace  est née du souci d'étudier les propriétés de 
l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette 
géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère ces notions comme suffisamment 
évidentes pour ne pas les définir ici.\\
Rappelons tout de même qu'un plan est représenté en général par un 
parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il 
ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique "plan" qui 
n'a pas d'épaisseur et illimité dans toutes les directions 
(comme la droite est représentée par un segment).\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.1}\\		
\end{center}

Une des plus grandes difficult\'es sera donc de parvenir \`a voir des figures spatiales, 
alors qu'elles sont trac\'ees sur une feuille (donc dans un plan), 
c'est-\`a-dire  en dimension $2$.\newline
Nous rappellerons quelques r\`egles de perspective cavali\`ere, 
ainsi que les pi\`eges qu'il faudra \'eviter.\newline
L'\'el\`eve curieux peut se demander si on peut aller plus loin dans les dimensions... 
En effet, durant la scolarit\'e, on ne cesse d'augmenter le nombre de dimension, $1$ avec les droites, 
$2$ avec la g\'eom\'etrie plane et $3$ avec l'espace. 
Et bien oui ! On peut d\'efinir des espaces de dimension $4$, le plus connu \'etant l'espace-temps. 
Il devient difficile par contre de repr\'esenter de telles g\'eom\'etries...\newline
On peut aussi se demander si la perspective cavali\`ere est la seule mani\`ere de repr\'esenter l'espace. 
La r\'eponse est non, en peinture il n'est pas rare de voir une autre mani\`ere de repr\'esenter l'espace :
la perspective parall\`ele.
\end{abstract}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours

\section{Etude d'un tétraèdre}

Ceci se fait en trois phases sur deux heures en classe entière :
\begin{itemize}
 \item Constructions
 \item Propriété du tétraèdre et calcul de la surface
 \item Calcul du volume et duplication du tétraèdre.
\end{itemize}


\subsection{Construction, patrons, perspective}

\begin{act} \textit{Cette activité est menée à l'oral, avec vidéo-projecteur.}\\
Visionner le film de la construction d'un solide en origamie, sur le site de 
\href{http://bidouillesetmathscollege.blogspot.com/2009/11/activite-geometrie-dans-lespace.html}{Bricomath}.\\
 Faire construire à chaque élève ce solide à partir d'une feuille 
 de papier A4.\\
 \textit{Vidéo-projeter les schémas suivants au tableau pour les aider et circuler dans les rangs.}\\
  \psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,18.1865)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\

\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.000,23.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,23.7635)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](5.35,20.2635)(10.7000,16.7635)
\pspolygon(0.000,23.7635)(5.35,20.2635)(10.700,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,16.76350)(0.0000,23.7635)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0,10.7635)(10.7000,16.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,16.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,0.0000)
\psline(0.0,10.7635)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(10.7,0)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\


\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,-2.0000)(10.7000,4.76350)(0.0000,10.7635)(0.0000,-2.0000)
\psline(3.6,0)(6.5,7.2)(10.7000,4.7635)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
\psset{xunit=0.1cm , yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0)(10.70000,29.7)(0.0000,29.7000)(0,0)
\psline[linestyle=dashed](3.6,0)(10.7000,4.7635)(0,10.7635)(10.7,16.7635)(0,23.7635)(10.7,29.7)
\endpsclip
\end{pspicture*}\\\\\\


\textbf{Mémo des questions après la construction :} 
 \begin{enumerate}
 \item Combien de faces possède le solide construit ? Quel est alors sa nature ?
 \item Conjecturer la nature des faces de ce solide (nous le démontrerons plus tard).\\
\textit{On parle de solide \textbf{régulier} car ses faces sont des polygones \textbf{réguliers} (tous les 
côtés ont la même longueur).}
 \item Construire alors deux patrons différents de tétraèdre régulier de côtés 3 cm.\\
 \textit{Vous pouvez déplier votre tétraèdre pour vous aider.}
 \item Représenter un tétraèdre en perspective cavalière.
\end{enumerate}
\end{act}

\Cadre[Trace écrite : fiche sur le tétraèdre]{
\begin{itemize}
 \item Représentation en perspective cavalière
 \item Nombre de faces, nature
 \item Nombre de sommets
 \item Différents patrons
\end{itemize}
}

\newpage
\subsection{Etude d'une face : Géométrie du triangle}
\begin{act}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Construction }\begin{enumerate}
        \item Prendre une nouvelle feuille de papier A4 et recommencer les premières étapes de la construction 
 ci-dessous.\\
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,0.0000)(10.7000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(21.4,12.9365)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,18.1865)
\uput{0.0500}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\quad
 \psset{xunit=0.08cm , yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.2)(27,32.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{27} \def\ymin{-4} \def\ymax{32}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3,-4.2)(27,32.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(10.7000,18.1865)(21.4,12.9365)
\pspolygon(0.0000,0.0000)(21.4000,0.0000)(21.4000,29.7000)(0.0000,29.7000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](10.7000,29.7000)(10.7000,0)
\uput{0.0500}[170.0000](0.0000,0.0000){A}
\uput{0.2000}[120.0000](10.4000,18.1865){B'}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,12.9365){C}
\uput{0.1000}[0.0000](21.4000,0){B}
\uput{0.1000}[-90.0000](10.7000,0){E}
\uput{0.1000}[130.0000](10.7000,6.9365){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}

\item Déplier votre feuille, nommer les points comme ci-dessus et repasser les pliures en couleurs.
\end{enumerate}
 \item  \textbf{Démonstration}
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $AD=BD$ et coder la figure.
  \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? \\
  En déduire que $D$ est le milieu de $[AC]$ et coder la figure.
 \item Que peut-on alors dire du triangle $BCD$ ? \\
  Quels angles sont alors égaux ? Coder la figure.
 \item Grâce à la construction, que pouvez-vous dire sur $B$ et $B'$ ? \\
 Et des triangles  $BCD$ et $B'CD$ ?
 \item  Coder alors toutes les égalités de longueurs et d'angles que vous pouvez en déduire dans les triangles 
 \item Pouvez-vous dire sur les droites $(BC)$ et $(B'D)$ ?
\item  Que pouvez-vous en déduire sur les mesures de $\widehat{BCD}$ et $\widehat{B'DC}$ ?
\item Que peut-on alors dire du triangle $BCD$ ?
\end{enumerate} 
 \item Calculer alors la surface de votre tétraèdre.\\
 \end{enumerate}
\end{act}

\textit{Pour la dernière question, les élèves sont en activité de recherche, le professeur les aide au fur et à
mesure.}\\

\textbf{Mémo des questions :}
\begin{enumerate}
 \item Qu'est-ce que la surface ? Son unité ?
% \item Aire d'un triangle : $A=\dfrac{\text{ base } \times \text{ hauteur }}2$
 \item Dimension de notre feuille : $21 $cm $\times 29.7$ cm
% \item Coup de pouce : 
 %\begin{itemize}
  \item Par construction, que vaut la hauteur $h$ d'une des faces ?
  \item La hauteur d'un triangle équilatéral est aussi la médiane.
  \item Appliquer Pythagore
% \end{itemize}
 On trouve $c=\sqrt{147}=7\sqrt{3}\simeq 12,124$ et la surface vaut donc 
 $\dfrac{7\sqrt{3}\times  10.5}{2}\times 4 = 7\sqrt{3}\times 21 = 147\sqrt{3} \simeq 254.6$ cm$^2$.
\end{enumerate}

\begin{defi}
Quand des \'el\'ements de l'espace appartiennent \`a un m\^eme plan, on dit que ces \'el\'ements sont
 \textbf{coplanaires}. 
\end{defi}


\Rq{Lorsque tous les \'el\'ements d'un probl\`eme sont coplanaires, toutes les r\`egles de la g\'eom\'etrie 
plane s'appliquent (Thal\`es, Pythagore ...) \\
Dans un probl\`eme de g\'eom\'etrie dans l'espace, on essaiera donc toujours de se placer dans un 
plan (que l'on prendra la peine de pr\'eciser) pour raisonner.}
 




\newpage
\subsection{Etude du solide : surface, volume et duplication}

\begin{act} \textit{Pour cette activité, un grand squelette de tétraèdre est posé sur le bureau, afin
de bien voir le solide et surtout son intérieur. Penser à préciser sa longueur d'arête.\\
La réflexion est menée à l'oral, en suivant le fil d'idées et de questions des élèves.}\\

On rappelle la formule du volume du tétraèdre : 
\qquad
 \fbox{$V=\dfrac13 \times $ Aire de la base $\times$ Hauteur}

\Question{
Calculer le volume du tétraèdre que l'on a construit.}
\end{act}

\textbf{
Mémo de questions : }
\begin{enumerate}
 \item Dimension de notre feuille : $21 $cm $\times 29.7$ cm
 \item C'est quoi une base ? Rappeler la valeur trouvée précédemment $147\sqrt{3} \simeq 254.6$ cm$^2$
  \item C'est quoi la hauteur ?\\
 \textit{Installer un fil plombé sur le grand tétraèdre pr visualiser la hauteur 
 et en donner une mesure approximative (rappeler celle de l'arête).}
 \item Comment et où tombe le fil de plomb pour le triangle de la base ? 
 \item Trouver un triangle rectangle permettant de calculer la hauteur.
 \item Rappel du centre de gravité situé aux deux-tiers de la médiane en partant du sommet.\\
 \textit{A 7cm ici donc}
 \item Grâce à Pythagore, on trouve $h=7\sqrt{2}\simeq 9.90$ cm
 \item Donc $V=\dfrac13 \times 147\sqrt{3} \times 7 \sqrt{2} = 7^3 \sqrt{6} \simeq 840.17$ cm$^3$.
\end{enumerate}


\Question{\textbf{Duplication du tétraèdre}
\begin{enumerate}
 \item En assemblant plusieurs des tétraèdres construits précédemment, construire un nouveau tétraèdre 
aux dimensions doublées.
 \item Quelles sont les dimensions de ce nouveau tétraèdre (longueur d'arête, surface, volume) ?
 \item Quelle est le volume du trou ?
 \item Quelle est la forme du \og trou \fg\, au coeur du nouveau tétraèdre ? 
\end{enumerate}
}

\textbf{Mémo}
\textit{Les élèves se rendent vite compte qu'il ne faut pas emboîter les tétraèdres. On peut leur proposer
des squelettes pour plus de stabilité. Il est alors simple en enlevant les pointes du grand tétraèdre d'observer
la forme d'un octaèdre régulier.}


\Cadre[Trace écrite]{
\begin{itemize}
 \item Rajouter à la fiche la formule du volume.
 \item Fiche rappels sur les triangles (droites remarquables, triangles rectangles et semblables)
 \item Fiche rappels sur la symétrie
\end{itemize}
}

\begin{propo}
Lorsque l'on multiplie par un nombre $k>0$ les dimensions (longueur d'arête) d'un solide :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
 \item sa surface est multipliée par $k^2$
 \item son volume est multiplié par $k^3$.
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{propo}


\newpage
\section{Section du cube par un plan}

Cette partie se fait en trois phases, complètement plagiées sur le site :
\href{http://bidouillesetmathscollege.blogspot.fr/search/label/g\%C3\%A9om\%C3\%A9trie\%20dans\%20l\%27espace}{Bricomath}.\\

Elle se déroule en trois phases en module (2h) : observations, section grandeur nature puis section sur papier.

\subsection{Diverses formes}

\begin{act}
 Les élèves sont par groupe de deux. Chaque groupe a devant lui :
 \begin{itemize}
  \item une bassine avec de l'eau 
  \item un cube en plastique transparent, dans lequel l'eau peut rentrer et surquel cinq
  points sont marqués et nommés.
 \end{itemize}
 Les élèves doivent mettre les cubes dans l'eau de manière à ce que la surface de l'eau passe par  
 trois des points. Ils obtiendront successivement un triangle, un trapèze puis un pentagone.\\
 Ils doivent alors représenter sur une feuille l'allure de la section obtenue. 
\end{act}

\textbf{Mémo questions}
\begin{enumerate}
  \item Que signifie le mot section ?
  \item Combien de points sont nécessaires pour définir une droite ? un plan ?
  \item Positions relatives de deux plans dans l'espace ?
  \item Combien y a-t-il de possibilités quant à la nature de la section du cube par un plan ? 
 \item Est-il possible d'avoir une section à 7 côtés ? Pourquoi ? 
 \item Quatre points donnés sont-ils coplanaires ? 
 \end{enumerate}

\Cadre[Conclusion]{
  \begin{itemize}
   \item \textbf{Axiomes d'incidences} :
en géométrie dans l'espace, il s'agit des 
règles qui fournissent les relations entre les points, les droites et les plans. 
\begin{itemize}
 \item Deux points \textbf{non confondus} sont nécessaires et suffisent pour définir et nommer une droite.
 \item Trois points \textbf{non alignés} sont nécessaires et suffisent pour définir et nommer un plan.
 \item Si $M$ et $N$ sont deux points d'un plan $\mathscr P$, alors tous les points de la droite $(MN)$ appartiennent à $\mathscr P$.
\end{itemize}
   \item L'intersection du plan et d'une face est un segment de droite . 
   \item Si le plan coupe deux faces opposées, il le fait suivant deux droites parallèles entre elles . 
   \item Les polygones obtenus pour la section d'un cube par un plan peuvent avoir 3, 4, 5 ou 6 faces . 
  \end{itemize}
}

\Rqs{\item On nomme un plan par trois points non alignés entre parenthèses (ceci permet de le différencier du triangle).
\item Deux ou trois points de l'espace sont donc toujours coplanaires (il existe toujours un plan passant 
par ces deux ou trois points).
 \item Un plan peut donc être déterminé par l'une des conditions suivantes~:\\[1em] 
\begin{tabular}{ccc}
	 trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un 
	 point extérieur à celle-ci \\
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.3}	 	
		  & 
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\\\
\end{tabular}
\item \noindent En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition évidente en soi dans la tradition 
mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. Aujourd'hui, on l'utilise en logique 
mathématique pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une 
théorie, appelé axiomatique, doit être non-contradictoire ; c'est sa seule contrainte. 
Un axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie et représente  
donc plutôt un point de départ dans un système de logique. \\
L'axiomatique peut être choisie arbitrairement mais la pertinence
d'une théorie en dépendra. En réalité, c'est de la non 
cohérence de son interprétation que vient la réfutation d'une théorie et, par voie de 
conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la 
physique théorique.
}


\subsection{Avec un carton, de la ficelle et des punaises}

\begin{act} 
 Les élèves sont par groupe de deux ou trois. Chaque groupe a devant lui :
 \begin{enumerate}
  \item le cube marqué avec six points (attaches parisiennes, pour obtenir successivement un triangle,
  un trapèze, un pentagone et un hexagone), 
  \item du fil de cuisine, 
  \item des punaises 
  \item un traceur de parallèles dans l'espace 
 construit à l'aide d'un carton plié en trois partie avec des plis parallèles au bord. 
 \item un prolongeur d'arêtes : un coin en bois sur lequel j'ai fixé une punaise . 
 \end{enumerate}
 \Question{
 Construire la section du cube par des plans donnés 
 en plantant des punaises sur les arêtes aux endroits bien choisis 
 et en tirant une ficelle pour figurer la surface de l'eau qui passerait par ces trois points. 
 }
\end{act}

\textbf{Mémo questions}
\begin{itemize}
 \item Pourquoi les bords du traceur de parallèles sont parallèles ?
 \item La section n'est pas une simple ligne brisée avec la ficelle reliant les trois points (remontrer
 le cube)
\end{itemize}

\textit{L'enseignant peut lui aussi le faire en même temps et couper son carton au cuteur pour bien montrer 
la forme de la section finale.}

\vspace{1cm}

\Cadre[Conclusion]{
Pour trouver l'intersection d'un solide avec un plan $\mathscr P$, \textbf{ il faut déterminer et 
tracer les intersections de ce plan avec toutes les faces du solide}.

A chaque étape, on doit se poser les questions suivantes dans cet ordre :
\begin{itemize}
 \item \textbf{Connait-on deux points de $\mathscr P$ sur une même face du solide ?}\\
\textit{Dans ce cas, on les relie et on prolonge le segment jusqu'aux arêtes de la face concernée. \\
On obtient deux nouveau points et on revient à la première question.}\\
 \item \textbf{Si l'on connait l'intersection de $\mathscr P$ avec 
une face du solide, connait-on un point de $\mathscr P$ sur l'éventuelle face du solide parallèle à la première ?}\\
\textit{Dans ce cas, on utilise la troisième propriété, et on trace la parallèle à l'intersection connue passant par le point 
connu. On s'arrête aux arêtes de la face concernée. \\
On obtient deux nouveaux points et on revient à la première question.}\\
 \item  \textbf{Si l'on n'est pas dans l'un des cas précédents}, on doit construire un point à l'extérieur du solide, qui est 
commun à $\mathscr P$ et à l'un des plans portés par l'une des face du solide. Et cela devient très complexe à expliquer,
donc mieux vaut avoir écouter en cours ...
\end{itemize}
} 

\newpage

\Cadre[Sections planes d'un cube]{
La section d'un cube par un plan $\mathscr P$ peut être de la nature suivante :
\begin{itemize} 
  \begin{multicols}{2}
\item Un \textbf{triangle} (éventuellement réduit à un point) : on ne se pose que la première question\\
    \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.5}
    \end{center}   
  \end{multicols}
  \item Un \textbf{quadrilatère} : on ne se pose que les deux premières questions
    \begin{multicols}{3}
      \begin{center}
      Un \textbf{trapèze}\\ dans tous les cas\\
	\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.6}\\
	\end{center}
	\begin{center}
     Parfois même un \textbf{Rectangle} lorsque $\mathscr P$ est parallèle à l'une des arêtes\\
	\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.4}
	\end{center}
	  \begin{center}
    Parfois même un \textbf{Carré} lorsque $\mathscr P$ est parallèle à l'une des faces\\
  \includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.3}
	  \end{center}
	
    % \end{minipage}
\end{multicols}
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item  Un \textbf{pentagone} : on se pose les 3 questions
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{geomespace_1S.8}
\end{center}
\item Un \textbf{hexagone} : on se pose les 3 questions
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{geomespace_1S.7}
\end{center}
\end{itemize}
\end{multicols}
}

\newpage

\subsection{Mise sur papier}

 La troisième phase se fait sur papier où les élèves transposent ces méthodes 
 (tracé des parallèles sur les faces parallèles, prolongement des arêtes) sur feuilles 
 avec des cubes en perspective cavalière. \\
 Au préalable, on peut le faire remarquer qu'un plan est entièrement déterminé 
 par la donnée de trois points non alignés.

\begin{act}
 On considère un parallélépipède $\mathscr P$ rectangle $ABCDEFGH$ représenté ci-contre et 
 $I$ le milieu de $[FG]$. \\
 Des élèves doivent couper le solide $\mathscr P$ selon un plan de leur choix. Commenter
 chacune des affirmations suivantes :
 \begin{itemize}
  \item Norbert dit : \og Je coupe $\mathscr P$ selon le plan qui passe par $F$. \fg
  \item Simone dit : \og Je coupe $\mathscr P$ selon le plan qui passe par $F$ et $G$ \fg
  \item Loïc dit : \og Je coupe $\mathscr P$ selon le plan qui passe par $F$, $G$ et $I$ \fg
  \item Fabrice dit : \og Je coupe $\mathscr P$ selon le plan qui passe par $F$, $G$ et $A$ \fg
  \item Cécile dit : \og Je coupe $\mathscr P$ selon le plan qui passe par $F$, $G$, $A$ et $D$ \fg
  \item Myriam dit : \og Je coupe $\mathscr P$ selon le plan qui passe par $F$, $G$, $A$ et $E$ \fg \\
 \end{itemize} 
\end{act}

\vspace{0.5cm}
 
\Cadre[Conclusion]{
  \begin{itemize}
   \item  Par deux points $A$ et $B$ \textbf{distincts} de l'espace il passe une et une 
	seule droite. Cette droite peut-être notée $(AB)$.
	
	\item  Par trois points $A$, $B$ et $C$ \textbf{non alignés} de l'espace passe un et un seul plan. 
	Ce plan peut-être noté $(ABC)$.\\
	Ainsi, deux ou trois points de l'espace sont donc toujours \textbf{coplanaires}
	(il existe toujours au moins un plan contenant ces deux ou trois points).

	\item  Si $A$ et $B$ sont deux points d'un plan $P$, tous les points 
	de la droite $(AB)$ appartiennent au plan $P$.
\end{itemize}
}

\vspace{0.5cm}

\Rq{
Il en résulte qu'un plan peut être déterminé par l'une des conditions 
suivantes~:\\[1em] 
\begin{tabular}{ccc}
	 trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un 
	 point extérieur à celle-ci \\
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.3}	 	
		  & 
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4}	 	
	      &
	\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.5}	 	 	
	       \\
\end{tabular}\\
} 

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
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%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
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%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
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\rput[bl](1.08,4.02){{$I$}}
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\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5.79,0.48)
\rput[bl](5.96,0.73){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(ABE)$ et $I\in(ADE)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
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%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
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\rput[bl](9.2,6.7){{$I$}}
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\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(BFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
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%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
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\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](9,6.5)
\rput[bl](9.2,6.7){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11,2.7)
\rput[bl](11.2,2.9){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11.8,4.7)
\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(DCG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(EFG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $K\in(ABF)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{multicols}{2}
\begin{ExoF}
 Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points quelconques respectivement situés 
 sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$ sur papier ou à l'aide du 
 logiciel géogébra.
 \end{ExoF}
 \begin{center}
 
  \newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=8pt 0,dotstyle=x](2.5,-0.6)
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=8pt 0,dotstyle=x](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0.3){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
 
 
\Sol[Exo 7]{
Voici les différentes étapes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur la face $ABCD$}\\
$M$ et $N$ sont deux points communs aux plans $(ABC)$ et $(MGN)$.\\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(MN)$, et la trace du plan $(MGN)$ sur la face $ABCD$ est donc le segment $[MN]$. (en pointillés rouge sur la figure).
\item 
\textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$.}\\
Le point $G$ est commun aux plans $(MNG)$ et $(BCG)$. Il suffit de trouver un second point commun aux deux plans.\\
$(MN)\subset (MGN)$ et $(BG)\subset (BCG)$ donc le point d'intersection de $(MN)$ et $(BC)$ appartient à la fois aux plans $(MNG)$ et $(BCG$. Appelons $L$ ce point. On en déduit que l'intersection des plans $(MNG)$ et $(BCG)$ est la droite $(GL)$.\\
Soit $I$ le point d'intersection de $(GL)$ et $(BF)$ : les segments $[GI]$ et $[MI]$ sont les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$ respectivement (en traits pleins rouge sur la figure).
\item \textbf{Traces du plan $(MNG)$ sur les faces $CGHD$ et $ADHE$}\\
Les plans $(ADH)$ et $(BCG)$ sont parallèles. Le plan $(MGN)$ coupe le plan $(BCG)$ selon la droite $(GI)$. On en déduit que $(MGN)$ coupe $(ADH)$ selon une droite parallèle à $(GI)$.\\
$N\in[AD]\subset (ADH)$ donc $N\in (ADH)$.\\
De plus, par définition $N\in (MGN)$. $N$ appartient donc à l'intersection des plans $(MGN)$ et $(ADH)$.\\
On en déduit que l'intersection de ces deux plans est la droite parallèle à $(GI)$ passant par $N$.\\
Cette droite coupe l'arête $[DH]$ en un point $J$ : les segments $[NJ]$ et $[JG]$ sont donc les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $ADHE$ et $CGHD$ respectivement (en traits pointillés rouge sur la figure).
\item \textbf{Section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MGN)$.}
\\
La section du pavé par le plan $(MGN)$ est donc le pentagone $MIGJN$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.5,-0.6)
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-2.9)(8.6,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.7}{8.6}{(--11.7-1.6*x)/-1.4}
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(5.1,-2.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{2.5}{8.6}{(--2.8-1.8*x)/2.7}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.5,-0.6)(6.7,1.1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\rput[bl](5.1,-2.8){$L$}
\rput[bl](6.9,1){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.4,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.4,-0.6)(6.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1.2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(1.7,-0.1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.4,-0.6)
\rput[bl](2.5,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1.2)
\rput[bl](6.9,1.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2)
\rput[bl](2.4,1.9){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.2,-1.1)(8.6,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)(6.7,1)(8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.7,-0.1)(2.7,1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.6,-0.6)
\rput[bl](2.7,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1)
\rput[bl](6.9,0.9){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2.1)
\rput[bl](2.4,2.1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\newpage


\section{Positions relatives}

\begin{act} \textit{Repérer autour de nous}
\begin{enumerate}
      \item Combien de pieds faut-il au minimum pour qu'une chaise soit stable ?
 \item Repérer dans la salle de classe :
\begin{enumerate}
 \item Deux plans qui sont parallèles.
 \item Deux plans qui se coupent. Quelle semble être leur intersection ?
 \item Une droite et un plan parallèles ?
 \item Une droite et un plan sécant ? Quelle semble être leur intersection ?
 \item Deux droites parallèles. Pouvez-vous trouver un plan qui les contient toutes les deux ?\\
 Est-ce toujours le cas pour des droites parallèles ?
 \item Deux droites sécantes. Pouvez-vous trouver un plan qui les contient toutes les deux ?\\
 Est-ce toujours le cas pour des droites sécantes ?
 \item Des droites qui ne sont ni parallèles ni sécantes. Pouvez-vous trouver un plan qui les contient toutes les deux ?\\
 Est-ce toujours le cas pour de telles droites ?
\end{enumerate}
      \end{enumerate} 
\end{act}

\vspace{1cm}

\Cadre[De deux plans]{
 Soient $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ deux plans de l'espace. Il n'existe que deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	\begin{minipage}{8cm} \item \textbf{Les plans sont sécants.}\\
Leur intersection est une droite.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
	\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.3)(9.5,3.3)
\psline[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan](4.07,1.25)(2.37,1.25)(0.27,-1.75)(7.37,-1.75)(9.37,1.25)(6.17,1.25)(6.19,1.23)
\psline[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan](4.77,-1.65)(4.37,-2.25)(1.47,-3.75)(4.47,2.15)(7.37,3.75)(6.17,1.15)(6.17,1.15)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=bleuBord,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](6.17,1.15)(4.77,-1.65)
\rput(1,-1.4){$\mathscr P_1$}
\rput(6.5,2.96){$\mathscr P_2$}
\psline[linewidth=0.04cm](0.47,-3.35)(8.07,2.65)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,linecolor=roseBord,dash=0.16cm 0.16cm](4.17,1.25)(6.17,1.25)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=bleuBord](2.37,-1.75)(4.77,-1.75)
\rput(1,-2.5){$d$}
\end{pspicture} 
}		
	\end{minipage}
\item \textbf{Les plans sont parallèles} (même direction). \\
Il y a alors deux sous-cas :
 \begin{multicols}{2}\begin{enumerate}
  	 	\item \begin{center} \textbf{Strictement parallèles}\\
Ils n'ont aucun point commun.	
		\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.6)(11.6,2.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](3.47,2.5)(1.47,-0.5)(9.47,-0.5)(11.47,2.5)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,linecolor=bleuBord,dash=0.16cm 0.16cm](2.6,1.5)(10.47,1.5)(9.2,-0.5)
%\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P_1$}
%\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.0945313,-0.19){$\mathscr P_2$}

\end{pspicture} 
} 		
\end{center}		          
\vspace{5mm}
	\item \begin{center} \textbf{Confondus}\\
	Ils ont une infinité de points communs.
	\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.6)(10.6,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\rput(1.5,-1.19){$\mathscr P_1 = \mathscr P_2$}
\end{pspicture} 
}
\end{center}
\end{enumerate}
 \end{multicols}
	\end{enumerate}
}

\vspace{1cm}

\Rq{
Ainsi lorsque l'on connait deux points $A$ et $B$ communs à deux plans non confondus, on sait qu'ils sont sécants
selon la droite $(AB)$.
}
\newpage

\Cadre[Une droite et un plan]{
Soient  $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
		\begin{minipage}{8cm}
		 \item \textbf{La droite et le plan sont sécants}.\\
Ils ont un unique point commun.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
		\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-4.5)(10.5,4)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,2.0)(0.47,-2.0)(8.47,-2.0)(10.47,2.0)
\psline[linewidth=0.04cm](8.47,5.0)(7.47,0.0)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.47,0.0)(7.07,-2.0)
\psline[linewidth=0.04cm](7.07,-2.0)(6.47,-5.0)
\rput(7.,0.3){$A$}
\psdot[dotsize=8pt,dotstyle=x](7.45,0)
\rput(1.0945313,-1.69){$\mathscr P$}
\rput(6.1,-4.59){$d$}
\end{pspicture} 
}	 	
		\end{minipage}
		\item \textbf{La droite et le plan sont parallèles} (même direction).\\
		Il y a alors deux sous-cas :
\begin{multicols}{2} \begin{enumerate}
		\item \begin{center}
		\textbf{La droite est strictement parallèle au plan.}\\
Ils n'ont aucun point commun.
\end{center}
\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.²
{
\begin{pspicture}(1,-2.)(12.5,2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](10,2.5)(3,2)
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\rput(9.5,1.9){$d$}
\end{pspicture} 
}
\item \begin{center} 
\textbf{La droite est incluse dans le plan.}\\
Ils ont une infinité de points communs.
\end{center}
		\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-2.)(12.5,2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](8.97,0.7)(2.67,-0.1)
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\rput(8.574532,1.21){$d$}
\end{pspicture} 
}
\end{enumerate}
\end{multicols}
	\end{enumerate}
}	 				


\vspace{0.5cm}


\Cadre[Deux droites]{
Soient $d$ et $d'$ deux droites de l'espace. Il n'existe que 
	deux possibilités~:
\begin{enumerate}
	\item \textbf{Les droites sont coplanaires}
(il existe un plan contenant ces deux droites) \\
On retrouve alors les positions relatives des droites dans un plan : il y a trois sous-cas.\\
 \begin{enumerate}
\hspace{-1.5cm} \begin{minipage}{5.5cm}
 \item \begin{center} \textbf{Sécantes.}\\
Elles ont un unique point commun.
\end{center}  
	\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-0.8)(10.6,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](1.67,-0.2)(7.47,0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(5.0845313,0.61){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.474531,1.01){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.8)(8.37,-0.7)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.21){$d'$}
\end{pspicture} 
}	 \\    
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{5cm}
\item \begin{center}
\textbf{Parallèles strictement}\\
Elles n'ont pas de point commun.
\end{center} 
\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1.4,-1.6)(10.6,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](2.47,0.2)(7.37,-1.2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.1745312,0.01){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.8)(8.37,-0.7)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.21){$d'$}
\end{pspicture} 
} 	
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{5.5cm}
\item \begin{center} \textbf{Parallèles confondues.} \\
Elles ont une infinité de points communs.
\end{center}
\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.6)(10.6,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](2.47,0.2)(7.37,-1.2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.1745312,0.01){$d$}
%\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.8)(8.37,-0.7)
%\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.5,0.5){$d'$}
\end{pspicture} 
}
\end{minipage}
	\end{enumerate}
	\begin{minipage}{8cm}
   \item  \textbf{Les droites sont non coplanaires}
(il n'existe aucun plan contenant ces deux droites)\\
Elles n'ont aucun point commun.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
   \scalebox{0.8} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-4)(10.6,4.5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](8.47,4.4264064)(7.47,0.32640624)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.47,0.32640624)(6.97,-1.6735938)
\psline[linewidth=0.04cm](6.97,-1.6735938)(6.47,-3.7735937)
\psdot[dotsize=8pt,dotstyle=x](7.45,0.3)
\rput(7.284531,0.63640624){$A$}
\rput(1.0945313,-1.2){$\mathscr P$}
\rput(6.1,-3.6){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.62640625)(8.37,-0.87359375)
\rput(3.1145313,1.0364063){$d'$}
\end{pspicture} 
}
	   \end{minipage}
	   
	
\end{enumerate}
}

\newpage

\Expl{Illustrer chaque réponse précédente sur le cube $ABCDEFGH$.

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,4.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(0,0)(3,0)
\psline(3,0)(5,1)
\psline(5,1)(5,4)
\psline(5,4)(3,3)
\psline(3,3)(3,0)
\psline(5,4)(2,4)
\psline(2,4)(0,3)
\psline(0,3)(3,3)
\psline(0,0)(0,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,4)(2,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(5,1)
\rput[bl](-0.24,-0.36){{$A$}}
\rput[bl](3.28,-0.36){{$B$}}
\rput[bl](5.08,4.2){{$G$}}
\rput[bl](3.08,3.2){{$F$}}
\rput[bl](-0.18,3.2){{$E$}}
\rput[bl](2.08,4.2){{$H$}}
\rput[bl](5.14,0.62){{$C$}}
\rput[bl](1.66,1.2){{$D$}}
\end{pspicture*}\\
}


\begin{ExoC}
 On considère le cube de l'exemple précédent.
\begin{enumerate}
 \item Citer des droites passant par $E$ et parallèles au plan $(BCG)$.\\
 \item Etudier la position relative des droites :
\begin{multicols}{3}
 \begin{itemize}
  \item $(BC)$ et $(BH)$ \item  $(EG)$ et $(BC)$ \item $(EG)$ et $(AC)$
 \end{itemize}
\end{multicols}
 \item Quelle est l'intersection éventuelle des plans :
\begin{multicols}{3}
 \begin{itemize}
  \item $(ABF)$ et $(BCG)$ \item  $(CDH)$ et $(EFG)$ \item $(AEG)$ et $(ADH)$ \item $(BDH)$ et $(CGH)$
  \item $(EFG)$ et $(ACD)$ \item $(AEC)$ et $(AEG)$
 \end{itemize}
\end{multicols}
 \item Placer $I$ le milieu de $[AB]$ et $K$ le milieu de $[CD]$.\\
 Quelle est, dans chacun des cas suivants, l'intersection des deux plans ?
\begin{multicols}{3}
 \begin{itemize}
  \item $(AIE)$ et $(BIG)$ \item  $(ADI)$ et $(BKC)$ \item $(HEF)$ et $(BKC)$
 \end{itemize}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoC}

\Rq{Dans l'espace, 
\begin{itemize}
 \item Deux droites sans points commun ne sont pas forc\'ement parall\`eles ! 
 Elles peuvent être non coplanaires.
\item Deux droites qui ne sont pas parall\`eles n'ont pas toujours de point commun ! 
Elles peuvent être non coplanaires.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminé par deux droites s\'ecantes.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminé par deux droites strictement parall\`eles.
\end{itemize}
}


\newpage


\begin{multicols}{2}
\begin{ExoF}
$ABCD$ est un tétraèdre et $I$ est le milieu de $[AB]$. \\
Compléter les phrases mathématiques suivantes à l'aide des symboles $$\subset,\quad\in,\quad\notin,\quad\not\subset $$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $I\dots (AB)$
\item $B\dots (CDI)$
\item $(CI)\dots (ABC)$
\item $D\dots (BI)$
\item $(AB)\dots (CBA)$
\item $(DI)\dots (BCI)$
\item $B\dots (ADI)$
\item $B\dots (IA)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2,-2)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.5,-1.4)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.5,-1.4)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.5,-1.4)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\rput[bl](2.1,-1.6){$A$}
\rput[bl](6.9,-2){$B$}
\rput[bl](7.9,0.6){$C$}
\rput[bl](4.3,4){$D$}
\psdot[dotstyle=x,dotsize=8pt](4.6,-1.55)\rput[bl](4.7,-1.4){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}




\begin{multicols}{2}
\begin{ExoF} \\
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,0.3)(8.3,3.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,3.2)(0.7,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](0.7,0.7)(6.2,0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(6.2,3.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,3.2)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](0.7,0.7)(2.2,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.2,1.9)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,0.7)(7.7,1.9)
\psline[linewidth=1.2pt](6.2,3.2)(7.7,1.9)
\rput[bl](0.3,3.2){$R$}
\rput[bl](6.3,3.3){$M$}
\rput[bl](0.3,0.4){$P$}
\rput[bl](6.5,0.6){$S$}
\rput[bl](1.8,1.7){$I$}
\rput[bl](7.9,1.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{ExoF}
PRISME est un prisme droit à base triangulaire. Déterminer les positions relatives :
\begin{enumerate}
\item des droites $(RE)$ et $(MI)$.
\item des droites $(PI)$ et $(EM)$.
\item de la droite $(EM)$ et du plan $(IPS)$.
\item de la droite $(SR)$ et du plan $(PMR)$.
\item du plan $(IRP)$ et du plan $(IEM)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}


\noindent \begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
 $ABCD$ est un tétraèdre. $E$, $F$ et $G$ sont des points sur des arêtes comme ci-contre et $H$ est un point
 de la face $(BCD)$.
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler les positions relatives possibles de deux droites dans l'espace.
  \item Etudier la position relative des droites :
   \begin{multicols}{3}
   \begin{itemize}
    \item $(AF)$ et $(EG)$ \item $(EH)$ et $(BC)$ \item $(FG)$ et $(BC)$
   \end{itemize}
   \end{multicols}
   \item Rappeler les positions relatives d'une droite et d'un plan dans l'espace.
   \item Dans chaque cas, la droite et le plan sont-ils sécants ?
   \begin{multicols}{3}
   \begin{itemize}
    \item $(FH)$ et $(ABD)$ \item $(BD)$ et $(ACH)$ \item $(EG)$ et $(ACD)$
   \end{itemize}
   \end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}
 \end{minipage}
  \begin{minipage}{7.5cm}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-2)(9,5.5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(3,5)(0,0)
\psline(4,-1)(0,0)
\psline(4,-1)(8,1)
\psline(8,1)(3,5)
\psline(3,5)(4,-1)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](0,0)(8,1)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.08,5.12){$A$}
\rput[bl](-0.3,-0.36){$B$}
\rput[bl](4.08,-1.3){$C$}
\rput[bl](8.08,1.12){$D$}
\psdots(3.24,3.58)
\rput[bl](3.4,3.8){$E$}
\psdots(4.6,0)
\rput[bl](5.0,0.12){$H$}
\psdots(2.99,-0.75)
\rput[bl](3.06,-0.5){$F$}
\psdots(6.52,2.18)
\rput[bl](6.6,2.4){$G$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 \end{minipage}


\noindent \begin{minipage}{7cm}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(9,5.5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(3,5)(0,0)
\psline(4,-1)(0,0)
\psline(4,-1)(8,1)
\psline(8,1)(3,5)
\psline(3,5)(4,-1)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](0,0)(8,1)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.08,5.12){$A$}
\rput[bl](-0.3,-0.36){$B$}
\rput[bl](3.68,-1.32){$C$}
\rput[bl](8.08,1.12){$D$}
\psdots(2,-0.5)
\rput[bl](1.84,-0.8){$I$}
\psdots(6,0)
\rput[bl](5.86,-0.48){$J$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
 \begin{ExoF}
  $ABCD$ est un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[BC]$
   et $J$ et le milieu de $[CD]$. Quelle est l'intersection des plans :
   \begin{multicols}{3}
   \begin{enumerate}
    \item $(AIJ)$ et $(ABC)$ ?
    \item $(AIJ)$ et $(BCD)$ ?
    \item $(ABJ)$ et $(AID)$ ?
   \end{enumerate}
   \end{multicols}
   ~\\\\\\\\
 \end{ExoF}
 \end{minipage}

\begin{minipage}{8cm}
\begin{ExoF}
$ABCDE$ est une pyramide, dont la base $BCDE$ est un 
quadrilatère tel que $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.\\
$I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$. $K$ est le point du segment $[AD]$ tel 
que $AK=\dfrac{3}{4}AD$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la position relative :
\begin{enumerate}
 \item des droites $(IJ)$ et $(BC)$
 \item des droites $(IJ)$ et $(JK)$
 \item des droites $(JK)$ et $(CD)$
 \item des droites $(BC)$ et $(AE)$
\end{enumerate}
\item Représenter l'intersection :
\begin{enumerate}
       \item de la droite $(JK)$ et du plan $(BCD)$
 \item des plans $(ABC)$ et $(ADE)$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(9,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(4,5)(0,0)
\psline(4,-1)(0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](8,1)(3,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(3,1)
\psline(4,-1)(8,1)
\psline(8,1)(4,5)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,5)(3,1)
\psline(4,5)(4,-1)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](4.08,5.12){\blue{$A$}}
\rput[bl](-0.3,-0.36){\blue{$B$}}
\rput[bl](4.08,-1.6){\blue{$C$}}
\rput[bl](7.7,0.5){\blue{$D$}}
\rput[bl](2.66,1.14){\blue{$E$}}
\psdots[dotsize=8pt 0,dotstyle=x](2,2.5)
\rput[bl](1.66,2.78){$I$}
\psdots[dotsize=8pt 0,dotstyle=x](7,2)
\rput[bl](7.08,2.32){$K$}
\psdots[dotsize=8pt 0,dotstyle=x](4,2)
\rput[bl](4.08,2.32){$J$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}


\Cadre[Application : section d'un solide par un plan]{
Pour tracer la section d'un solide par un plan, il faut déterminer et tracer les intersections de ce plan avec toutes les faces du solide.
}

\begin{multicols}{2}
 \begin{ExoF}
  Soit $ABCD$ un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[AD]$. Le point $J$ est sur la face $ACD$ tel que $(IJ)$ ne soit pas parallèle à $(AC)$. \\
Tracer la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$.
\end{ExoF}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.1,-2.1)(8.3,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.3){$I$}
\psdots[dotstyle=x, dotsize=6pt](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,1){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.1,-0.8){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Sol{
\begin{multicols}{2}
$I$ et $J$ sont deux points du plan $(ACD)$, par conséquent :
$$(IJ)\subset (ACD) $$. Comme $B\notin(ACD)$ les plans $(IJB)$ et $(ACD)$ ne sont pas confondus, comme $I$ est commun aux deux plans, leur intersection est une droite : il s'agit de la droite $$(IJ)$$
La trace du plan $(IJB)$ sur la face $ACD$ est donc le segment $[IE]$ (où $E$ est le point d'intersection des droites $(IJ)$ et $(AC)$, tracée ci-dessous en rouge.\\
On démontre de la même manière que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BE]$, puis que la trace du plan $(IJB)$ sur la face $ABD$ est le segment $[BI]$. \\
Ainsi la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(IJB)$ est le triangle $BIE$, en rouge sur le schéma suivant :
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.2,-2.3)(8.6,4.4)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.7)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.6,-0.7)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(4.2,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](4.2,3.8)(7.9,0.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.4,-0.9)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(2.6,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](6.2,2)(6.4,-0.9)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.9,-2.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](7.9,0.5)
\rput[bl](7.9,0.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](4.2,3.8)
\rput[bl](4.1,4){$A$}
\psdots[dotstyle=x](6.2,2)
\rput[bl](6.3,2.1){$I$}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt](6.3,0.7)
\rput[bl](6.3,0.8){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](2.6,-0.7)
\rput[bl](2.3,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=x](6.4,-0.9)
\rput[bl](6.4,-0.8){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols} 
}

\newpage

\begin{multicols}{2}
\begin{ExoF}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{Tetra1.eps}
 \end{center}
\end{ExoF}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E\in[AD]$, $F\in[BD]$ et $G\in[CD]$, comme sur la figure ci-dessus.\\
Nous allons chercher l'intersection du plan $(EFG)$ avec chacun des plans déterminés par les faces du tétraèdre.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Quelle est l'intersection de la face $ABD$ et du plan $(EFG)$ ? Et des plans $(ABD)$ et $(EFG)$ ?
 \item Quelle est l'intersection de la face $BCD$ et du plan $(EFG)$ ? Et des plans $(BCD)$ et $(EFG)$ ?
 \item Quelle est l'intersection de la face $ACD$ et du plan $(EFG)$ ? Et des plans $(ACD)$ et $(EFG)$ ?
 \item Quelle est l'intersection de la face $ABC$ et du plan $(EFG)$ ?
 \item Tracer alors la section du tétraèdre $ABCD$ par le plan $(EFG)$.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Quelle sont les positions relatives des droites :
\begin{itemize}
 \item $(EF)$ et $(AB)$ ?
\item $(GF)$ et $(CB)$ ?
\end{itemize}
\item En notant $I$ l'intersection entre $(EF)$ et $(AB)$ et $J$ celle entre $(GF)$ et $(CB)$, expliquer pouquoi la droite d'intersection
entre les plans $(EFG)$ et $(ABC)$ est la droite $(IJ)$ ?
\end{enumerate}
       \end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra2.eps}
 \end{center}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E\in[AD]$, $F\in[BD]$ et $G\in(BCD)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Nous allons chercher à dessiner l'intersection du plan $(EFG)$ avec chacune des faces du tétraèdre $ABCD$.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est l'intersection de la face $ABD$ et du plan $(EFG)$ ?
 \item Quelle est l'intersection de la face $BCD$ et du plan $(EFG)$ ? (Créer un point si besoin)
 \item Quelle est l'intersection de la face $ACD$ et du plan $(EFG)$ ? 
 \item Tracer alors la section du tétraèdre par le plan $(EFG)$.
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{multicols}{2}
\begin{ExoF}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E$ et $F$ sont dans $(ABD)$ et $G\in[CD]$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du tétraèdre par le plan $(EFG)$.
\end{ExoF}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra3.eps}
 \end{center}
\end{multicols}



\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra4.eps}
 \end{center}
\begin{ExoF}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E$ et $F$ sont dans $(ACD)$ et $G\in(BCD)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du tétraèdre par le plan $(EFG)$.
\end{ExoF}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\begin{ExoF}
 On considère le tétraèdre $ABCD$ et $E$, $F$, $G$ trois points tels que 
$E$ et $F$ sont dans $(ABC)$ et $G\in(BCD)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du tétraèdre par le plan $(EFG)$.
\end{ExoF}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Tetra5.eps}
 \end{center}
\end{multicols}

\newpage


\section{Parallélisme dans l'espace}
La liste des propriétés n'est pas exhaustive$\ldots$certaines 
propriétés "évidentes" concernant le parallélisme dans l'espace 
n'apparaissent pas dans cette section.

\subsection{Parallélisme entre droites}

\noindent\begin{minipage}{12cm}
\begin{theo}
 \begin{itemize}
  \item Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles 
	entre elles. 
  \item Si $P$ et $Q$ sont deux plans parallèles, alors tout plan  qui 
	coupe $P$ coupe aussi $Q$ et les droites d'intersection sont 
	parallèles. 
 \end{itemize}	
\end{theo}
\end{minipage} \quad
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.8}
\end{minipage}



\Dem[2]{Soient $D_1$ et $D_2$ les droites d'intersection. 
Elles sont coplanaires, donc soit parall\`eles, soit s\'ecantes. 
Or si elles sont s\'ecantes en un point $M$ alors $M$ appartient \`a $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$, ce qui est absurbde. Donc elles sont strictement parall\`eles.
}

\Expl{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. 
Soit $I$ un point de $[EF]$. Déterminer et tracer l'intersection des plans $(EFG)$ et $(ACI)$.
}

\Sol{\begin{multicols}{2}
Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$, qui contiennent les faces $ABCD$ et $AFGH$ du pavé, sont parallèles.\\
$I\in(ACI)$, mais $I\notin(ABC)$, donc les plans $(ACI)$ et $(ABC)$ ne sont pas confondus. Comme $A$ et $C$ sont deux points communs aux plans $(ACI)$ et $(ABC)$, on peut conclure que les plans $(ABC)$ et $(ACI)$ sont sécants selon la droite $(AC)$.\\
On a donc $(ABC)//(EFG)$ et $(ACI)\cap (ABC)=(AC)$. On en déduit que le plan $(ACI)$ coupe également le plan $(EFG)$, selon une droite parallèle à $(AC)$. \\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite parallèle à $(AC)$ passant par $I$.
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1)(8.9,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.3,-0.6)(2.9,2.7)(7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](1.3,-0.6)(8.1,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq]{0.8}{8.9}{(--13.8--1.6*x)/6.8}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,-0.6)(2.9,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(7.7,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](8.1,0.9)(1.3,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](3,2.8){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\Rq{L'intersection se note à l'aide du symbole $\cap$. Ainsi si la droite $d$ est l'intersection des plans $P$ et $Q$, on note :
$$ d=P\cap Q$$}


\noindent\begin{minipage}{12cm}
\begin{theo}[\textit{du toit}]
	$d$ et $d'$ sont deux droites parallèles. $P$ est un plan 
	contenant $d$ et $P'$ un plan contenant $d'$.\\
	Si, en outre, les plans $P$ et $P'$ sont sécants, alors la droite 
	$\Delta$ d'intersection de ces plans est parallèle à $d$ et $d'$.
\end{theo}
\end{minipage} \quad
\begin{minipage}{6cm}
 \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.10}
\end{minipage} 

\begin{multicols}{2}
 \Expl{Soit $SABCD$ une pyramide régulière de sommet $S$ à base carrée. Soit $I$ le milieu de l'arête $[SA]$. Le plan $(CDI)$ coupe le plan $(SAB)$ selon une droite $d$. \\
Démontrer que $d$ est parallèle à $(AB)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.16,0.46)(5.8,7.74)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)(1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](-1.74,2.98)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted](1.54,3.02)(2.62,1.58)
\psline(2.62,1.58)(-0.66,1.54)
\psline(-0.66,1.54)(-1.74,2.98)
\psline(-1.74,2.98)(0.26,6.84)
\psline(1.54,3.02)(0.26,6.84)
\psline(0.26,6.84)(-0.66,1.54)
\psline(0.26,6.84)(2.62,1.58)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-13.75-0.04*x)/-3.28}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-4.16}{5.8}{(-5.08-0.04*x)/-3.28}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](-1.74,2.98)(-0.2,4.19)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.2,4.19)(1.44,4.21)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.44,4.21)(1.54,3.02)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.54,3.02)(-1.74,2.98)
\rput[bl](-0.9,1.26){$A$}
\rput[bl](2.4,1.24){$B$}
\rput[bl](1.4,2.66){$C$}
\rput[bl](-2.04,2.72){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](0.34,6.96){$S$}
\rput[bl](-0.12,4.3){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](-2.46,3.76){\ccqqqq{$d$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Sol{Les plans $(CDI)$ et $(SAB)$ sont sécants selon la droite $d$. Or le plan $(CDI)$ contient la droite $(CD)$ et le plan $(SAB)$ contient la droite $(AB)$, et les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (comme supports des côtés du carré de base de la pyramide). D'après le théorème du toit, la droite $d$ est donc parallèle à la droite $(AB)$.}


\noindent
\begin{minipage}{12cm}
\begin{coro}
	Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est 
	parallèle à leur droite d'intersection.
\end{coro}
\end{minipage} \quad
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.9} 
\end{minipage}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.80cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-1.5)(8.5,5.7)
\psline[linewidth=1.2pt](3,-1)(6.4,-1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](3,-1)(1.4,1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.4,-1.1)(8,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](8,0.9)(1.4,1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.4,1.1)(4.9,5.2)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(8,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(6.4,-1.1)
\psline[linewidth=1.2pt](4.9,5.2)(3,-1)
\rput[bl](2.5,-1.2){$A$}
\rput[bl](6.6,-1.4){$B$}
\rput[bl](0.9,1){$D$}
\rput[bl](8.1,1){$C$}
\rput[bl](4.8,5.4){$S$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{ExoF} \\
$SABCD$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze tel que $(AB)//(CD)$.\\
Démontrer que la droite $(CD)$ est parallèle au plan $(SAB)$.
\end{ExoF}
\end{multicols}



\noindent 
 \begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item Pouvez-vous le faire sans indication supplémentaire ?
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.\\
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$.
       \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{7cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.5500){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.5500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.1500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.2000,3.15000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.15000){J}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.2000,3.15000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.7321,1.000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{minipage}
 


\noindent 
 \begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}[Pour les experts]
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item Pouvez-vous le faire sans indication supplémentaire ?
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.\\
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$. La tracer
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Placer $M=(IJ)\cap (ABC)$.
 \item En déduire $(IJK)\cap (ABC)$.
      \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
 \begin{minipage}{7cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.700){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.700)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.300)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.7000,1.5000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.3000){J}
\uput{0.3000}[90.0000](3.7000,1.5000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.7321,1.000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{ExoL}
 Hyperbole : $\no{21 + 22 + 23 + 24}$  p 32
\end{ExoL}

\subsection{Parallélisme entre plans}
\begin{theo}
	Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles 
	entre eux.
\end{theo}

\noindent \begin{minipage}{12cm}
\begin{theo}
	Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles 
	à deux droites sécantes d'un plan $Q$, alors les plans $P$ et $Q$ 
	sont parallèles. 
\end{theo}           
          \end{minipage}
          \quad
          \begin{minipage}{6cm}
 \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.11}
 \end{minipage}


\begin{ExoL}
 Hyperbole : $\no{25 + 26 }$  p 32
\end{ExoL}

\subsection{Parallélisme entre droites et plans}

\noindent\begin{minipage}{12cm}
\begin{theo}
Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$, alors la droite 
$d$ est parallèle à tout plan $P$ contennant la droite $d'$.
 \end{theo}
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.12} 
\end{minipage}


\begin{ExoC}
Soient $ABCD$ un t\'etra\`edre et $I$, $J$, $K$, $M$ et $N$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$, $[AD]$, $[BD]$ et $[CD]$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'intersection des plans $(ABC)$ et $(IJK)$.
\item D\'eterminer les droites $\mathscr D_1$ et $\mathscr D_2$ d'intersection des plans $(ACM)$ et $(BCD)$ puis $(ACM)$ et $(IJK)$.
\item D\'emontrer que les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont parall\`eles.
\item D\'emontrer que les droites $\mathscr D_1 // \mathscr D_2$.
\item D\'emontrer que la droite $(IJ)$ est parall\`ele au plan $(BCD)$.
\item D\'emontrer que les plans $(IJK)$ et $(BCD)$ sont parall\`eles.
\end{enumerate}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.7]{tetraedre.eps}
\end{center}
\end{multicols}
\end{ExoC}

\begin{ExoL}
 Hyperbole : $\no{27}$ p 32
\end{ExoL}

%\section{Informatique}
%\subsection{Algobox}
%\Exop[L'éponge de Menger]{
%\begin{enumerate}
%\item L'éponge de Menger est un objet mathématique que l'on fabrique en suivant la recette ci-dessous :
%\begin{enumerate}
%\item On part d'un cube de $1$ m d'arête.
%\\ On découpe ce cube en $27$ petits cubes identiques, puis on enlève le cube central et les cubes situés au centre de chacune des faces (soit $7$ cubes au total). Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette première étape ?
%\item On répète l'étape $1$ pour chacun des cubes restants. Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette deuxième étape ?
%\item On répète l'étape $1$ pour chacun des cubes restants. Combien de cubes reste-t-il ? Combien mesure leur arête ? Quel est le volume du solide ainsi obtenu après cette troisième étape ?
%\\
%On peut continuer ainsi sur un nombre quelconque d'étapes $\dots$ Voici les représentations du cube de départ et de l'éponge de Menger après les $(a)$, $(b)$ et $(c)$.
%%\begin{center}
%%\includegraphics[scale=0.5]{eponge.eps}	 	
%%\end{center}
%\end{enumerate}
%\item Voici un algorithme. Que fait-il ?
%\end{enumerate}
%}
%\begin{center}
%\begin{minipage}{10cm}
%\begin{cadrecode}
%\begin{small}
%\begin{verbatim}
%1   VARIABLES
%2     N EST_DU_TYPE NOMBRE
%3     C EST_DU_TYPE NOMBRE
%4     A EST_DU_TYPE NOMBRE
%5     V EST_DU_TYPE NOMBRE
%6     K EST_DU_TYPE NOMBRE
%7   DEBUT_ALGORITHME
%8     C PREND_LA_VALEUR 1
%9     A PREND_LA_VALEUR 1
%10    AFFICHER "Nombres d'étapes :"
%11    LIRE N
%12    POUR K ALLANT_DE 1 A N
%13      DEBUT_POUR
%14      C PREND_LA_VALEUR 20*C
%15      A PREND_LA_VALEUR A/3
%16      V PREND_LA_VALEUR C*pow(A,3)
%17      FIN_POUR
%18    AFFICHER V
%19  FIN_ALGORITHME
%\end{verbatim}
%\end{small}
%\end{cadrecode}
%\end{minipage}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item[\textbf{3.}] Programmer cet algorithme et déterminer le volume de l'éponge de Menger après $5$, $10$ et $20$ étapes. Que pensez-vous des résultats obtenus ?
%\end{enumerate}

\newpage
\section{D'autres solides}

\begin{act} En classe entière, par groupe de quatre avec des squelettes de faces carrés, triangulaires,
pentagonal.\\
\Question{
Construire avec les pièces devant vous ou avec du papier :
un cube, un tétraèdre, un octaèdre, un dodécaèdre, un icosaèdre,
un \textbf{pavé}, une \textbf{pyramide à base carrée}, un \textbf{cylindre}, un \textbf{cône}, 
une \textbf{sphère}.\\
Pour chacun de ceux en gras, faire une fiche dans laquelle vous donnerez lorsque c'est possible :
 \begin{itemize}
 \item le nombre de faces et de sommets, 
 \item un patron, 
 \item un dessin en perspective cavalière,
 \item la formule de la surface, 
 \item celle du volume\\
\end{itemize}
}
\end{act}

\textbf{Mémo}
\begin{itemize}
 \item Quels sont les points communs des cinq premiers solides ?
 \item Le cube est un pavé régulier
 \item Le tétraèdre et la pyramide à base carrée sont des pyramides particulières
 \item La pyramide à base carré n'eset pas possible avec notre matériel, pb de longueur
 \item Impossible de faire le cylindre et le cône autrement qu'avec le papier pour nous\\
 \textit{Possibilité de rouler une feuille dans le sens de la longueur puis de la largeur
 et de comparer les volumes des deux différents cylindre en les remplissant de pop corn ou autre.}
 \textit{Rappels sur le cercle (périmètre et aire), difficile de parler de face ou de sommet ...}
 \item Impossibilité de contruire la sphère
 \item Avez-vous tous les mêmes patrons ?
 \item Quelles sont les règles de la perspective cavalière ?\\
\end{itemize}

\Cadre[Les patrons]{Un patron de solide est obtenu en plaçant toutes ses faces dans un même plan.}

\Rqs{
\item Un même solide peut avoir plusieurs patrons possibles (non superposables).
\item Certains solides n'ont pas de patrons : c'est le cas de la sphère.
}


\Cadre[En perspective cavalière : ]{
\begin{enumerate}
\item Les segments visibles sont dessin\'es en traits pleins ; les autres sont dessin\'es en pointill\'es.
\item \textbf{Conservation de l'alignement et du parallélisme} :
\begin{itemize}
       \item Des points align\'es sont repr\'esent\'es par des points align\'es.\\
\textbf{Attention !} Des points alignés sur le dessin ne le sont pas forcément dans la réalité !
\item Deux droites de l'espace parall\`eles (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par deux droites parall\`eles. 
\item Des droites concourantes (dans un plan) sont repr\'esent\'ees par des droites concourantes.\\
 \textbf{Attention !} Des droites concourantes sur le dessin ne le sont pas forcément dans la réalité !
      \end{itemize}
\item \textbf{Conservation des proportions de distance} :
\begin{itemize}
 \item Le milieu d'un segment est repr\'esent\'e par le milieu du segment dessin\'e. 
\item Dans un plan de face, une figure est repr\'esent\'ee \`a l'\'echelle, dans les autres plans, les tailles sont r\'eduites proportionnellement.\\
 \textbf{Attention !} Les angles ne sont pas conservés (sauf dans le plan de face)
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\Rq{Ainsi un rectangle pourra être représenté par un parallélogramme en perspective cavalière.\\
L'énoncé et le codage seront donc importants pour comprendre une figure.}


\Cadre[Quelques solides et leur volume (cf formulaire p 290-291)]{
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=0.7}
   \begin{center}
      \textbf{Parallélpipède rectangle} : $V =\text{aire de la base} \times h$
$$V = L\times l \times h$$
      \begin{pspicture}(0,-1.2)(5,3.5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1)(5,3)(1,3)(0,2)
         \psline(0,2)(4,2)(4,0)
         \psline(4,2)(5,3)
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,3)
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Sphère} : 
$V= \dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3$\\
      \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5.2)
         \pscircle(2.5,2.5){2.5}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.5)(2.5,1){0}{180}
         \psellipticarc(2.5,2.5)(2.5,1){180}{0}
         \rput(2.5,2.1){$O$}
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)
         \psdot(2.5,2.5)
         \rput(3.75,2.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Cylindre de révolution} : $V =\text{aire de la base} \times h$ 
$$V= \pi\times r^2\times h$$
      \begin{pspicture}(-2,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(4,5)
         \psline(0,1)(0,5)
         \psellipse(2,5)(2,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{|-|}(5,1)(5,5)  
         \rput(5.3,3){\textcolor{blue}{$h$} }
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\psset{unit=0.7}
   \begin{center}
   \textbf{Pyramide} : $V =\dfrac13\times \text{aire de la base}\times h$\\
      \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(5,6.5)
         \pspolygon(1,0)(4,0)(5,1)(2.5,6)(0,1)
         \psline(1,0)(2.5,6)(4,0)
         \psline[linestyle=dashed](0,1)(1.3,2)(3.7,2)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1.3,2)(2.5,6)
         \psline[linestyle=dashed](3.7,2)(2.5,6)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.5,6)(2.5,1)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.8,1)(2.8,1.3)(2.5,1.3)
         \rput(2.7,2.8){\textcolor{blue}{$h$}}
      \end{pspicture} \\
      \textbf{Cône} : $V =\dfrac13 \times \text{aire de la base} \times h$
$$V=\dfrac13 \times \pi\times r^2\times h$$
      \begin{pspicture}(-1.8,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(2,6)(0,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2,1)(2,6)
         \rput(2.5,3.5){\textcolor{blue}{$h$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
}

\Exos{n$^{\circ} 34$ p 33}

\begin{ExoF}
On a écrit un algorithme à l'aide du logiciel Algobox. Voici ce qui a été saisi :
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     Rayon EST_DU_TYPE NOMBRE
3     Hauteur EST_DU_TYPE NOMBRE
4     Volume EST_DU_TYPE NOMBRE
5   DEBUT_ALGORITHME
6     AFFICHER "Entrer le rayon"
7     LIRE Rayon
8     AFFICHER "Entrer la hauteur"
9     LIRE Hauteur
10    Volume PREND_LA_VALEUR Math.PI*pow(Rayon,2)*Hauteur/3
11    AFFICHER "Le Volume est égal à "
12    AFFICHER Volume
13  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Que fait cet algorithme ?
\item Quelles sont les variables en entrée ?
\item Quelles sont les variables en sortie ?
\item En s'inspirant de l'exercice précédent, écrire un algorithme affichant :
\begin{enumerate}
\item Le volume d'une boule lorsque l'on saisit le rayon ;
\item L'aire latérale totale d'un cylindre de révolution lorsque l'on saisit le rayon du disque de base et la hauteur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Aller voir la calculatrice électronique de surface sur côté maison, qui calcule la surface de peinture nécessaire 
 en fonction des murs à peindre et de leur surface évidemment.
\end{ExoF}

\newpage

\section{Rappels de la géométrie plane}

\subsection{Quadrilatères}

\begin{defi}
 Un \textbf{quadrilatère} est un polygone qui a quatre côtés (donc quatre sommets)
\end{defi}

\begin{defi}
 Un \textbf{trapèze} est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.
\end{defi}

\begin{defi}
 Un \textbf{parallélogramme} est un quadrilatère qui a ses côtés opposés deux à deux parallèles.
\end{defi}


\begin{prop}
\begin{itemize}
 \item Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
 \item Les côtés d'un parallélogramme sont deux à deux de même mesure.
\end{itemize}
\end{prop}

\Cadre[Reconnaître un parallélogramme]{
$ABCD$ est un quadrilatère.
\begin{enumerate}
 \item Si les côtés de $ABCD$ sont deux à deux parallèles alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Si les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieu, alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Si $ABCD$ est un quadrilatère non croisé et que ses côtés sont deux à deux de même longueur, alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\item Si $ABCD$ est un quadrilatère non croisé et qu'il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors $ABCD$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
}

\begin{defi}
Un \textbf{rectangle} est un parallélogramme avec un angle droit. 
\end{defi}

\begin{prop}
\begin{itemize}
 \item Un rectangle possède donc les propriétés du parallélogramme.
 \item Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur.
 \item Un rectangle possède 4 angles droits.
\end{itemize} 
\end{prop}

\begin{defi}
Un \textbf{losange} est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur.
\end{defi}

\begin{prop}
\begin{itemize}
 \item Un losange possède donc les propriétés du parallélogramme.
 \item Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
 \item Un losange possède quatre côtés de même mesure.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{defi}
Un \textbf{carré} est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange (donc un parallélogramme).
\end{defi}

\begin{defi}
Un carré possède donc les propriétés du parallélogramme, du rectangle et du losange.
\end{defi}

\Expl{Dessiner à la règle et au compas un quadrilatère quelconque, un parallélogramme, un rectangle, un losange et un carré.}

\subsection{Triangles}
\subsubsection{Droites remarquables du triangle}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{defi}
   La \textbf{médiatrice} du segment $[AB]$ est la droite coupant ce segment perpendiculairement en son milieu.
\end{defi}

\begin{prop}
   Les trois médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes en un point $O$ qui est le \textbf{centre du cercle circonscrit} à ce triangle.
\end{prop}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}

\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.3)(6.5,4.4)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.16,1.92)(1.25,2.08)(1.08,2.16)(1,2)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.87,1.87)(4,1.74)(4.13,1.87)(4,2)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.18,0)(3.18,0.18)(3,0.18)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psplot{-0.5}{6.5}{(--10-2*x)/4}
\psplot{-0.5}{6.5}{(--8-4*x)/-4}
\psline(3,-2.3)(3,4.4)
\pscircle(3,1){3.16}
%\psline(0,0)(1,2)
\psline(0.4,1.05)(0.6,0.95)
%\psline(1,2)(2,4)
\psline(1.4,3.1)(1.6,3.)
%\psline(4,2)(2,4)
\psline(2.95,2.92)(3.1,3.07)
\psline(2.90,2.97)(3.05,3.12)
%\psline(4,2)(6,0)
\psline(5.0,1.1)(4.85,0.95)
\psline(5.05,1.05)(4.9,0.9)
%\psline(3,0)(6,0)
\psline(4.45,0.11)(4.45,-0.11)
\psline(4.38,0.11)(4.38,-0.11)
\psline(4.52,0.11)(4.52,-0.11)
%\psline(3,0)(0,0)
\psline(1.57,-0.11)(1.57,0.11)
\psline(1.5,-0.11)(1.5,0.11)
\psline(1.43,-0.11)(1.43,0.11)
\rput[bl](1.9,4.08){$A$}
\rput[bl](-0.34,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.14,-0.13){$C$}
\rput[bl](2.48,0.88){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}  
\end{minipage}

\Rqs{\item La médiatrice d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points du plan équidistants de $A$ et de $B$. \\
Autrement dit, un point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si $AM=MB$.
\item Sur la figure ci-dessus, on en déduit que $OA=OB=OC$.
\item Pour construire la médiatrice d'un segment $[AB]$ au compas, on construit un losange de \textit{diagonale} $[AB]$ 
(on trouve ses deux autres sommets, il est inutile de tracer les côtés). \\
La médiatrice de $[AB]$ est alors l'autre \textit{diagonale} du losange.
}


\begin{minipage}{10cm}
\begin{defi}
Dans un triangle $ABC$, la \textbf{médiane} issue du sommet $A$ est la droite passant par $A$ et par le milieu $I$ du côté opposé $[BC]$.
\end{defi}

\begin{prop}
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point $G$ appelé \textbf{le centre de gravité} du triangle. 
\end{prop}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=4pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6.4,4.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psline(2,4)(3,0)
\psline(0,0)(4,2)
\psline(1,2)(6,0)
%\psline(0,0)(1,2)
\psline(0.4,1.05)(0.6,0.95)
%\psline(1,2)(2,4)
\psline(1.4,3.1)(1.6,3.)
%\psline(4,2)(2,4)
\psline(2.95,2.92)(3.1,3.07)
\psline(2.90,2.97)(3.05,3.12)
%\psline(4,2)(6,0)
\psline(5.0,1.1)(4.85,0.95)
\psline(5.05,1.05)(4.9,0.9)
%\psline(3,0)(6,0)
\psline(4.45,0.11)(4.45,-0.11)
\psline(4.38,0.11)(4.38,-0.11)
\psline(4.52,0.11)(4.52,-0.11)
%\psline(3,0)(0,0)
\psline(1.57,-0.11)(1.57,0.11)
\psline(1.5,-0.11)(1.5,0.11)
\psline(1.43,-0.11)(1.43,0.11)
\rput[bl](2.05,4.07){$A$}
\rput[bl](-0.32,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.13,-0.12){$C$}
\rput[bl](2.8,1.6){$G$}
\rput[dl](3,-0.2){$I$}
\psdots(2.33,2.67)
\psdots(4.33,0.67)
\psdots(1.33,0.67)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\Rqs{
\item $G$ se trouve aux deux tiers de la médiane $[AA']$ en partant de $A$ : $AG=\dfrac{2}{3}AA'$.
\item Pour construire le milieu d'un segment $[AB]$ au compas, on construit en fait la médiatrice de $[AB]$ au compas, 
comme indiqué si dessus (inutile de la tracer, on ne demande que le milieu de $[AB]$).
}


\begin{minipage}{10cm}
\begin{defi}
Dans un triangle $ABC$, la \textbf{hauteur} issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au côté opposé $[BC]$.
\end{defi}

\begin{prop}
 Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point $H$ appelé \textbf{l'orthocentre} du triangle.
\end{prop}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6.4,4.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.12,2.24)(1.28,2.17)(1.36,2.32)(1.2,2.4)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.17,0)(2.17,0.17)(2,0.17)(2,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.88,3.12)(2.75,3)(2.88,2.88)(3,3)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psline(2,4)(2,0)
\psline(0,0)(3,3)
\psline(1.2,2.4)(6,0)
\rput[bl](2.05,4.07){$A$}
\rput[bl](-0.32,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.13,-0.12){$C$}
\rput[bl](2.16,1.4){$H$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{10cm}

\begin{defi}
   La \textbf{bissectrice} d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
\end{defi}

\begin{prop}
Les trois bissectrices sont concourantes en un point $I$ qui est le \textbf{centre du cercle inscrit} dans le triangle.
\end{prop}

\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(6.4,4.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](2,4)(0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(2,4)
\psplot{-1.34}{6.64}{(-0--0.53*x)/0.85}
\psplot{-1.34}{6.64}{(-2.3--0.38*x)/-0.92}
\psplot{-1.34}{6.64}{(--2.61-0.99*x)/0.16}
\pscircle(2.41,1.49){1.49}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.4099210495965755}{-0.7853981633974483}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}\lineto(2,4)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{-1.4099210495965755}{-0.7853981633974483}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}
\psline[linecolor=qqwuqq](2.25,3.57)(2.3,3.37)
\psline[linecolor=qqwuqq](2.20,3.55)(2.25,3.35)
\psline[linecolor=qqwuqq](2.3,3.59)(2.35,3.39)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.0344439357957027}{-1.4099210495965755}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}\lineto(2,4)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{-2.0344439357957027}{-1.4099210495965755}{0.6*cos(t)+2|0.6*sin(t)+4}
\psline[linecolor=qqwuqq](1.95,3.53)(1.9,3.33)
\psline[linecolor=qqwuqq](1.9,3.55)(1.85,3.35)
\psline[linecolor=qqwuqq](2,3.51)(1.95,3.31)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.5535743588970453}{1.1071487177940904}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{0.5535743588970453}{1.1071487177940904}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](0.3,0.38)(0.5,0.54)
\psline[linecolor=qqwuqq](0.33,0.33)(0.53,0.49)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.5535743588970453}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{0.0}{0.5535743588970453}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](0.45,0.15)(0.68,0.2)
\psline[linecolor=qqwuqq](0.47,0.1)(0.71,0.15)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{2.748893571891069}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}\lineto(6,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{2.748893571891069}{3.141592653589793}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](5.5,0.1)(5.3,0.15)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{2.356194490192345}{2.748893571891069}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}\lineto(6,0)\closepath}
\parametricplot[linecolor=qqwuqq]{2.356194490192345}{2.748893571891069}{0.6*cos(t)+6|0.6*sin(t)+0}
\psline[linecolor=qqwuqq](5.6,0.3)(5.4,0.4)
\rput[bl](2.05,4.07){$A$}
\rput[bl](-0.31,-0.08){$B$}
\rput[bl](6.13,-0.1){$C$}
\rput[bl](2.46,1.65){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}  
\end{minipage}

\Rq{
Pour construire la bissectrice d'un angle $\widehat{ABC}$, on construit en fait un losange de \textit{côtés} $[AB]$ et $[BC]$ (on trouve
son dernier sommet, il est inutile de tracer ses côtés). La bissectrice de $\widehat{ABC}$ est la \textit{diagonale} du losange passant par $B$.
}

\begin{theo}
Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, les droites remarquables du triangle issue de $A$ sont confondues.
\end{theo}

\subsubsection{Le triangle rectangle}

\begin{prop}
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. \\
Il s'agit du plus grand côté du triangle.
\end{prop}

\Rq{Tant que l'on n'a pas prouvé qu'un triangle est rectangle (ou que ce n'est pas dit dans l'énoncé), on ne peut pas parler
d'hypoténuse.
}

\begin{prop}
 Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle 
(c'est donc aussi le point de concours des médiatrices).\\
On peut donc en déduire que dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $O$ le milieu de $[BC]$ on a 
$$OA=OB=OC$$
\textbf{Réciproque :}
Un triangle inscrit dans un demi-cercle avec pour côté un diamètre de ce cercle est un triangle rectangle 
(d'hypoténuse ce diamètre).
\end{prop}


\noindent \textit{Faire une figure illustrant ce théorème.}

\begin{theo}[Pythagore ($-580$ à $-500$)]
Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors $BC^2=AB^2+AC^2$.\\
\textbf{Réciproque :} Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2=AB^2+AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.\\
\textbf{Contraposée :} Si dans un triangle $ABC$ on a $BC^2 \neq AB^2+AC^2$, alors le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$. 
\end{theo}

\begin{defi}[Trigonométrie]
Si $ABC$ est un triangle \textit{rectangle} en $A$ alors :
$$\cos \hat B = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BA}{BC} \qquad \qquad 
\sin \hat B = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{CA}{CB} \qquad \qquad 
\tan \hat B = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}=\dfrac{CA}{BA} $$
\end{defi}

\subsubsection{Triangles \og proportionnels \fg}

\begin{theo}
[des milieux]
   \begin{itemize}
      \item La droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté de ce triangle.
      \item Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un autre côté alors elle passe par 
le milieu du troisième côté du triangle.
   \end{itemize} 
\end{theo}

\begin{theo}[Thalès ($-627$ à $-547$)]
  Soit $ABC$ un triangle et $M$ et $N$ deux points appartenant respectivement aux droites $(AB)$ et $(AC)$, distincts de $A$.\\
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles  alors $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}$.\\
\textbf{Réciproque :} Si  $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}$ et si les points $A$, $B$, $M$ et  $A$, $C$, $N$ 
sont alignés dans le même ordre alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
\end{theo}	


\subsection{Sym\'etries}

\begin{defi}
$M'$ est l'image du point $M$ par la \textbf{symétrie de centre $O$} signifie que $O$ est le milieu de $[MM']$.
\end{defi}
 \bigskip

\begin{minipage}{7cm}
\begin{prop}
La symétrie centrale conserve :
\begin{itemize}
 \item l'alignement, 
\item les longueurs, 
\item le parallélisme,  
\item les angles géométriques et orientés.
\end{itemize}
\end{prop}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3)
      \pstGeonode[PosAngle=-90](0,1.5){O}
      \pstTriangle(1,0){A}(4,0){B}(2,2){C}
      \pstSymO[CodeFig=true, CodeFigColor=blue, PosAngle={40,170,-90}]{O}{A, B, C}[A', B', C']
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{C'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{defi}
$M'$ est l'image du point $M$ par la \textbf{symétrie d'axe $\Delta$} signifie que la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment $[MM']$.
\end{defi}
\bigskip

\begin{minipage}{7cm}
 \begin{prop}
 La symétrie axiale conserve :
\begin{itemize}
 \item l'alignement, 
\item les longueurs, 
\item le parallélisme,  
\item les angles géométriques.
\end{itemize}
Par contre, elle inverse les angles orientés.
\end{prop} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1}
   \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,3.2)
      \pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](0,-0.5){O}(0,3.5){O'}
      \pstLineAB{O}{O'}
      \pstTriangle[PosAngleA=115](1,1){A}(4,0){B}(2,3){C}
      \psset{CodeFig=true, CodeFigColor=blue, linecolor=red, RightAngleSize=0.2}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslash, PosAngle=50]{O}{O'}{A}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashh, PosAngle=-135]{O}{O'}{B}
      \pstOrtSym[SegmentSymbol=pstslashhh, PosAngle=90]{O}{O'}{C}
      \pstLineAB[linecolor=red]{A'}{B'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{B'}{C'}
      \pstLineAB[linecolor=red]{C'}{A'}
   \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}\\

\Rqs{\item \og Etant donnée un carré, construire un carré d'aire double. \fg\\
Selon Platon, Socrate aurait proposé ce problème à un esclace afin de démontrer que la connaissance est en chacun de nous.
\item On raconte que pour enrayer une épidémie de peste qui décimait Athènes, les habitants de l'île de Délos décidèrent de doubler le volume de l'autel dédié
à Apollon. Ce n'est qu'au $XIX^e$ siècle que l'on a démontré que cette construction était impossible 
à la règle non graduée et au compas !}



\Exos{n$^{\circ}$ 6-7 p 30 + 28 - 29 - 30 - 32 - 33 p 33
}



\section{Quelques exercices d'applications}
\subsection{Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan}
\Exop{Dans un pavé droit $ABCDEFGH$, on place les points $I$, $J$ et $K$ respectivement sur les arêtes $[AB]$, $[CD]$ et $[GH]$ tels que :
$$ BC=CJ=HK$$
\begin{enumerate}
\item De quelle nature est le quadrilatère $IBKH$ ?
\item Que peut-on dire des droites $(BK)$ et $(IH)$ ?
\item En déduire que la droite $(BK)$ est parallèle au plan $(HIJ)$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.6,-1.3)(8.8,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.05](1.3,2.7)(2.7,4.3)(6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.7,4.3)(6.3,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](4.9,-0.7)(1.3,2.7)
\psline[linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](4.5,4.3)(6.7,-0.7)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{6.7}{8.8}{(--18.5-2.9*x)/1.3}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{0.6}{4.5}{(-10.3--1.6*x)/-0.7}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.9,-0.7)
\rput[bl](5,-0.6){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.5,4.3)
\rput[bl](4.6,4.4){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.3,0.9)
\rput[bl](6.4,1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{\begin{enumerate}
\item Comme $HK=IB$ et comme $(HK)//(IB)$ le quadrilatère $IBKH$ a deux côtés parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme.
\item $IBKH$ est un parallélogramme, donc $(KB)//(IH)$.
\item $(KB)$ est parallèle à une droite du plan $(HIJ)$, elle est donc parallèle au plan $(HIJ)$. 
\end{enumerate}}

\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube. Soit $I$ et $J$ les points situés respectivement sur $[AB]$ et sur $[AH]$ tels que :
$$AI=\dfrac{1}{4}AB\qquad \text{et}\qquad AJ=\dfrac{1}{4}AH $$
Démontrer que $(IJ)//(BFH)$}

\subsection{Démontrer que des plans sont parallèles.}
\Exop{Soit $ABCDEFGH$ un cube.\\
Soit $I$, $J$, $K$, $L$, $M$ et $N$ les centres respectifs des face du cube (voir ci-dessous). Le solide $IJKLMN$ est un octaèdre régulier (toutes ses faces sont des triangles équilatéraux). On veut démontrer que les faces opposées de l'octaèdre sont parallèles.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(HC)$.
\item Démontrer que la droite $(IK)$ est parallèle à la droite $(MN)$.
\item Démontrer que les plans $(IKL)$ et $JMN)$ sont parallèles.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.12,-1.96)(8.88,4.74)
\psline(1.62,-1.04)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(7.06,3.08)
\psline(7.06,3.08)(2.28,3.74)
\psline(2.28,3.74)(1.62,-1.04)
\psline(1.62,-1.04)(3.06,-0.3)
\psline(2.28,3.74)(3.72,4.48)
\psline(3.72,4.48)(8.5,3.82)
\psline(8.5,3.82)(7.06,3.08)
\psline(8.5,3.82)(7.84,-0.96)
\psline(7.84,-0.96)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.96)
\psline(3.72,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](7.45,1.06)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.73,-1)(4.34,1.02)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(2.67,1.72)
\psline[linecolor=qqqqcc](2.67,1.72)(4.73,-1)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.34,1.02)(5.39,3.78)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(7.45,1.06)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(2.67,1.72)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.39,3.78)(5.78,1.76)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(7.45,1.06)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(4.73,-1)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=qqqqcc](5.78,1.76)(2.67,1.72)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.62,-1.04)
\rput[bl](1.24,-1.22){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.4,-1.7)
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.28,3.74)
\rput[bl](1.98,3.76){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.06,3.08)
\rput[bl](6.9,3.24){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.06,-0.3)
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.84,-0.96)
\rput[bl](7.92,-0.92){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.5,3.82)
\rput[bl](8.58,3.86){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.72,4.48)
\rput[bl](3.8,4.52){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.34,1.02)
\rput[bl](4.18,0.74){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.39,3.78)
\rput[bl](5.48,3.82){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.45,1.06)
\rput[bl](7.54,1.1){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.78,1.76)
\rput[bl](5.86,1.8){$L$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.67,1.72)
\rput[bl](2.46,1.84){$M$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.73,-1)
\rput[bl](4.82,-1.2){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle $HFC$ : $I$ est le milieu de $[HF]$ et $K$ celui de $[FC]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(IK)//(HC)$.
\item Dans le triangle $AHC$ : $N$ est le milieu de $[AC]$ et $M$ celui de $[AH]$. Par le théorème des milieux, on en déduit que $(MN)//(HC)$. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Donc $(IK)//(MN)$.
\item De la même manière, on démontre que $(JN)$ et $(IL)$ sont parallèles. Ainsi, dans le plan $(IKL)$, se trouvent deux droites sécantes, qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan $(JMN)$ : on en déduit que les plans $(IJK)$ et $(JMN)$ sont parallèles.\\
Ce résultat reste vrai pour toute paire de faces opposées de l'octaèdre.
\end{enumerate}}

\subsection{Déterminer l'intersection de deux plans}

\Exop{$ABCDEFGH$ est un cube, $I$ est le milieu de l'arête $[BF]$. \\
Déterminer et tracer l'intersection des plans $(AFC)$ et $(DIG)$.}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.88,-2.06)(8.36,4.9)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.64,3.1)(7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline(1.62,-1.68)(6.4,-1.7)
\psline(6.4,-1.7)(6.42,3.08)
\psline(6.42,3.08)(1.64,3.1)
\psline(1.64,3.1)(1.62,-1.68)
\psline(1.62,-1.68)(3.06,-0.3)
\psline(1.64,3.1)(3.08,4.48)
\psline(3.08,4.48)(7.86,4.46)
\psline(7.86,4.46)(6.42,3.08)
\psline(7.86,4.46)(7.84,-0.32)
\psline(7.84,-0.32)(3.06,-0.3)
\psline(6.4,-1.7)(7.84,-0.32)
\psline(3.08,4.48)(3.06,-0.3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.62,-1.68)(7.84,-0.32)
\psline[linecolor=zzttqq](7.84,-0.32)(6.42,3.08)
\psline[linecolor=zzttqq](6.42,3.08)(1.62,-1.68)
\psline[linecolor=zzttqq](1.64,3.1)(7.86,4.46)
\psline[linecolor=zzttqq](7.86,4.46)(7.12,-1.01)
\psline[linecolor=zzttqq](7.12,-1.01)(1.64,3.1)
\psplot[linecolor=ccqqqq]{0.88}{8.36}{(-51--13.99*x)/63.96}
\rput[bl](1.32,-1.84){$A$}
\rput[bl](6.62,-1.9){$B$}
\rput[bl](1.34,3.12){$D$}
\rput[bl](6.26,3.24){$C$}
\rput[bl](3.14,-0.26){$E$}
\rput[bl](7.92,-0.28){$F$}
\rput[bl](7.94,4.5){$G$}
\rput[bl](3.16,4.52){$H$}
\rput[bl](7.2,-0.98){$I$}
\rput[bl](7.44,0.86){$M$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On commence par chercher un point commun aux deux plans.\\
La droite $(GI)$ est contenu dans les plans $(DIG)$ et $(BFG)$. De même la droite $(CF)$ est contenu dans les plans $(AFC)$ et $(BFG)$. Par conséquent $(CF)$ et $(GI)$ sont sécantes, en un point que l'on appelera $M$ (elles ne peuvent en aucun cas être parallèles).\\
Il est difficile, ici, de trouver un deuxième point commun. En revanche on remarque que $(DG)//(AF)$ car ses droites portent les diagonales de deux faces opposées du cube.\\
Or $(DG)\subset (DIG)$ et $(AF)\subset (AFC)$, d'après le théorème du toit, on en conclut que la droite d'intersection des plans $(DIG)$ et $(AFC)$ est parallèle aux deux droites $(DG)$ et $(AF)$.
\\
On peut ainsi tracer la droite recherchée : c'est la droite passant par le point $M$ et parallèle aux droites $(DG)$ et $(AF)$. 
}

\Exop{Soit $SABCD$ une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze avec $(AB)//(CD)$. Déterminer l'intersection des plans $(SAC)$ et $(SBD)$, puis des plans $(SAB)$ et $(SCD)$.}
\subsection{Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan}
\Exop{Soit $aBCD$ un tétraèdre. $I$ est un point de l'arête $[AB]$. $J$ est un point de la face $ACD$ tel que la droite $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$.\\
Construire l'intersection de la droite $(IJ)$ et du plan $(BCD)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(5.8,-2.6)(14.7,5.1)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-1.7)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt](7.4,4.5)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](6.7,-1.7)(12.2,-0)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt](12.2,-0)(11.1,-2)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](7.1,1.9)(10.4,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{10.4}{14.7}{(--7.9-0.6*x)/2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{5.8}{7.1}{(-9.1--0.7*x)/-2.2}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(--40.1-3.6*x)/3}
\psplot[linewidth=1.2pt]{5.8}{14.7}{(-15.8--1*x)/5.1}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.7,-1.7)(11.8,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.4,4.5)(6.7,-1.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](11.8,-0.7)(7.4,4.5)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.4,4.5)
\rput[bl](7.3,4.6){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-1.7)
\rput[bl](6.4,-1.7){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](11.1,-2)
\rput[bl](11.1,-2.4){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](12.2,-0)
\rput[bl](12.2,0){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7.1,1.9)
\rput[bl](7.2,2){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](10.4,0.9)
\rput[bl](10.5,1){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](11.8,-0.7)
\rput[bl](11.9,-0.8){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](14.2,-0.2)
\rput[bl](14.2,-0.1){$L$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Sol{On cherche un plan auxiliaire, contenant la droite $(IJ)$ et coupant le plan $(BCD)$ ; ici le plan $(AIJ)$ convient.\\
La droite $(IJ)$ n'est pas contenu dans le plan $(BCD)$ et n'est pas parallèle au plan $(BCD)$ donc elle est sécante au plan $(BCD)$.\\
La droite $(AJ)$ coupe la droite $(CD)$ en un point qu'on appelle $E$ (on observe ici la face $ACD$). \\
Les droites $(IJ)$ et $(BE)$ sont toute entière contenu dans le plan $(AIJ)$ et comme $(IJ)$ n'est pas parallèle au plan $(BCD)$, la droite $(IJ)$ est sécante avec la droite $(BE)$. Notons $L$ l'intersection de $(BE)$ et $(IJ)$. $L$ est alors le point cherché.}






\end{document}
