\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Souvent fonction varie ...}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\Chacha{Degas_Toilette2.eps}{Autoportrait (1863) \fg \, et \og Le Tub (1885)}{Edgar Degas}   					% Image + titre + Auteur
{Quand quelqu'un paye un tableau $3\,000$ francs, c'est qu'il lui plaît. \linebreak[4]
 Quand il le paye $300\,000$ francs, c'est qu'il plaît aux autres. }{Edgar Degas} 		% Citation + Auteur
 {Edgar Degas (1834-1917) est un peintre français, en général rattaché au mouvement impressionniste, 
formé à la fin du XIXe siècle, en réaction à la peinture académique de l’époque. \\
Sa carrière fut dès le départ influencée par les danseuses.  
En 1874, il commence à se faire connaître, les critiques louant ou dénigrant le réalisme de son travail. 
Il explore des thèmes comme les repasseuses ou les femmes à leur toilette, 
multipliant les points de vue audacieux, recherchant des effets lumineux et colorés.
Il dit d’ailleurs à propos de ses nus : \og Jusqu’à présent, le nu avait toujours été représenté dans des poses qui 
supposent un public. Mais mes femmes sont des gens simples... Je les montre sans coquetterie, à l’état de bêtes qui se nettoient.
 \fg \\
A partir des années 1880, Degas va aussi poser la question d'une sculpture « impressionniste », 
réalisant des modèles en cire peints au naturel, qu'il accessoirise ensuite. 
Seule \textit{La Grande Danseuse} (cf première page) fut présenté de son vivant, 
les autres modèles l'aidant surtout dans ses peintures. 
Cette incarnation de la grâce et de l'innocence trahit en réalité la fascination de Degas pour la criminalité. 
En effet, avec son visage est sculpté sur le modèle des physionomies de criminels définies à l'époque, et
la danseuse était un parfait \og petit rat \fg , transmettant la syphilis aux bourgeois venant la voir ... 
} 						% Présentation auteur
{1.1}		% Ratio portrait
{0.31}		% Ratio Image
{
 \item Etablir graphiquement des tableaux de variations
 \item Déterminer des extrema (locaux ou non) et préciser lorsqu'ils sont atteints
 \item Evaluer la cohérence entre tableau de variations, tableau de signes et tableaux de valeurs d'une fonction
 \item Tracer des courbes compatibles avec les informations que l'on a sur une fonction.
 \item Découvrir le vocabulaire du sens de variation d'une fonction
 \item Comparer des images à partir d'un tableau ou du sens de variation d'une fonction, manipuler
 des inégalités
}


\TITRE{Degas_Petite_Danseuse_de_14_ans(1881).eps}{0.4} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Introduction}{
On a déjà appris à résumer le signe d'une fonction dans un tableau (graphiquement ou par le calcul).
Désormais, on souhaite résumer succinctement le comportement de la courbe représentative 
d'une fonction dans un tableau.\\
}
\end{Intro}

%\section{Sens de variations d'une fonction}
\section{Tableau de variations d'une fonction}
\begin{act}
Simone, une élève de seconde, a trouvé la copie de son amoureux Norbert, un élève de première ES. 
Dedans, Norbert a dessiné le tableau 
suivant, qui décrit succinctement une fonction $f$ à étudier, 
mais il n'a pas écrit de laquelle il s'agissait.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/0.7,Variations de $f$/3}{$-6$,$-2$,$0$,$1$, $2$, $5$}
\tkzTabVar{+/$5$,-/$1$,+/$3$,R/,-/$-4$,+/$2$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Quel semble-t-être l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
 \item Que peuvent signifier les flèches, d'un point de vue graphique ?
 \item \textbf{Image} 
  \begin{enumerate}
        \item Pouvez-vous donner l'image de 5 par $f$ ? \\
Si oui, précisez sa valeur, si non, quelle information possédez-vous tout de même ?
 \item Même question avec $1$, $3$, $-1$ puis avec $-6$.
       \end{enumerate}
  \item \textbf{Antécédent(s)}
  \begin{enumerate}
   \item Pouvez-vous donner un antécédent de $5$ par $f$ ? Lequel ? \\
  $5$ possède-t-il d'autres antécédents par $f$ ? 
  \item Déterminer le nombre d'antécédents de $1$ par $f$, ainsi que la valeur de chacun lorsque c'est possible,
  sinon quelle information possédez-vous tout de même ?
  \item Même question avec $3$, $-1$, puis avec $-6$.
  \end{enumerate}
\item \textbf{Extrema : minimum et maximum}
  \begin{enumerate}
   \item Quel est le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-6;0]$ ? Préciser quand il est atteint.
 \item Même question sur $[-6;1]$ puis sur $[-6;5]$. 
 \item Quel est le maximum de la fonction $f$ sur son ensemble de définition ? Préciser quand il est atteint.
 \item Le tableau est-il à l'échelle ?
  \end{enumerate}
 \item \textbf{Tableau de signes} : Simone veut dresser le tableau de signes de $f$.
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi c'est impossible.
\item Plus loin sur sa copie, Norbert a écrit $f(4)=0$. \\
Rajouter cette information dans le tableau ci-dessus.
\item Dresser alors le tableau de signes de $f$.
 \end{enumerate} 
\item \textbf{Courbe compatible} : Simone veut dessiner une courbe représentative d'une fonction $f$ compatible avec toutes les informations
 ci-dessus.
\begin{enumerate}
 \item Quel tableau de valeurs de $f$ pouvez-vous établir à partir du tableau de Norbert ?
  \item En déduire sept points par lesquels passe la courbe représentative de $f$.
\item Dessiner alors une courbe représentative d'une fonction $f$ compatible avec les informations ci-dessus.
\item Avez-vous tous la même ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{0.3cm}

\Cadre[Conclusion]{
Un tableau de \textbf{variations} d'une fonction $f$ définie sur un ensemble $D_f$ décrit les variations
graphiques de $f$. Autrement dit, il indique quand la courbe représentative de $f$ monte ou descend.
\begin{itemize}
 \item La première ligne contient dans l'ordre croissant les valeurs extrêmes de $x$ 
 où $f$ est définie, ainsi que celles où elle change de sens de variation.
\item La seconde ligne contient des flèches qui montent ou descendent, suivant si la courbe représentative 
de $f$ monte ou descend.
 \item A chaque extrémité des flèches, on rajoute les images des $x$ correspondants, lorsque l'on peut les calculer.
 \item Eventuellement, on précise les valeurs interdites par une double barre verticale.
 \item Parfois, on rajoute des valeurs intermédiaires, pour rassembler toutes les informations 
 dans un seul tableau.
 \end{itemize}
}

\vspace{0.3cm}

\Rq{
Il ne faut pas confondre le tableau de \textbf{variations} d'une fonction $f$ avec son tableau de \textbf{signes} :
ce dernier décrit le signe d'une fonction $f$. Autrement dit, il indique quand une fonction $f$ est :
\begin{itemize}
 \item positive (ie les $x$ tels que $f(x)> 0$) : sa courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (axe horizontal)
 \item négative (ie les $x$ tels que $f(x)<0$) : sa courbe est en-dessous de l'axe des abscisses
 \item nulle (ie les $x$ tels que $f(x)=0$) : sa courbe coupe l'axe des abscisses
\end{itemize}
}

\Expl{\begin{multicols}{2}
$f$ est définie sur $[-3;4]$ par sa courbe représentative :
       \begin{center}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(4.5,3.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-3,-2.5)(4.5,3.5) 
\psaxes{->}(0,0)(-3,-2.5)(4.5,3.5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-3,2,-4,0)(-1,-2,0,0)(1,3,0,0)(4,1,-0.5,0)
 \uput[u](4,1.2){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
Le tableau de variations de $f$ est :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.7,Variations de $f$/3}{$-3$,$-1$,$1$, $4$}
\tkzTabVar{+/$2$,-/$-2$,+/$3$,-/$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
      \end{multicols}
}


\begin{ExoC}
 Soit $g$ la fonction définie par la courbe ci-dessous.
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-4.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-4,3,-4,0)(-2,-2,0,0)(0,1,0,0)(3,-4,0,0)(5,4,0,0)(7,2,0,0)(9,0,-3,0) 
 \uput[ur](9,1){$\mathscr C_g$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 \begin{enumerate}
  \item Etablir graphiquement le tableau de signes de la fonction $g$ sur $[-4;9]$.
  \item Etablir graphiquement le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[-4;9]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoC}

\newpage
\section{Extrema}

Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$ et $a\in I$.

\begin{defi}
Le \textbf{maximum} d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est, s'il existe, 
la plus grande valeur  des images, atteinte en un réel $a\in I$. \\
Ainsi, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \leq f(a) $. \\

Le \textbf{minimum} d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est s'il existe, la plus petite valeur des images, 
atteinte pour un réel $a$ de $I$. \\
Ainsi, pour tous r\'eels $x\in I$ on a  : $f(x) \geq f(a) $.
\end{defi}

\Rq{On parle d'extremum lorsque la fonction admet soit minimum, soit maximum.}


\Expl{Dans l'exemple précédent, graphiquement on lit que le maximum de $g$ sur $[-4;9]$ est $4$ 
atteint quand $x=5$, son minimum est $-4$ atteint quand $x=3$.\\
Sur $[-3 ; 1]$, le maximum de $g$ est $1$ atteint quand $x=0$, son minimum est $-2$ atteint en $-2$.\\
Sur $[-4 ; 4]$, le maximum de $g$ est $3$ atteint quand $x=-4$, son minimum est $-4$ atteint en $3$.
}

\begin{ExoC}
Soient $h$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $h(x)=x^2+3$ et $v(x)=-x^2+3$.
\begin{enumerate}
 \item Etablir graphiquement leurs tableaux de variations sur $\R$. 
 \item Lire leurs éventuels extrema sur $\R$, et préciser quand ils sont atteints.
 \item Pouvez-vous les retrouver par le calcul ? 
\end{enumerate}
\end{ExoC}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la courbe ci-dessous. \hfill \textbf{Synthèse sur les lectures graphiques}
 \begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-6,-4.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(-6,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-6,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-6,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-6,3,-4,0)(-3,-2,0,0)(-1,1,0,0)(2,-4,0,0)(5,4,0,0)(8,2,0,0)(11,5,-3,0) 
 \uput[ur](9,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 \begin{enumerate}
  \item \textbf{Signe} :
  \begin{enumerate}
  \item Etablir graphiquement le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$.
  \item En déduire les solutions des équations et inéquations suivantes :
  $$f(x)=0 \qquad \qquad f(x)>0 \qquad\qquad f(x)\geq 0 \qquad\qquad f(x)<0 \qquad\qquad f(x)\geq 0$$
  \end{enumerate}
  \item \textbf{(In)équations} :\\
 Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes :
  $$f(x)=-3 \qquad\qquad f(x)\geq -3 \qquad\qquad f(x)\leq 3  \qquad\qquad f(x)=2 \qquad\qquad  f(x)>2 \qquad\qquad f(x)\geq 2$$
  \item \textbf{Extrema} :
  \begin{enumerate}
  \item Lire le maximum de $f$ sur $[-5;0]$ et préciser pour quelle valeur de $x$ il est atteint.
  \item Même question sur $[-4;6]$.
  \item Reprendre les deux questions précédentes pour le minimum de $f$.
  \end{enumerate}
  \item \textbf{Variations} : \\
  Etablir graphiquement le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On donne les deux tableaux suivants pour une fonction $f$. 
On sait de plus : $f(-1)=2$ et $f(4)=1$\\
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.7,Signe de $f(x)$/3}{$-6$,$1$,$3$, $5$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.7,Variations de $f$/3}{$-6$,$-2$,$0$,$1$, $2$, $5$}
\tkzTabVar{+/$5$,-/$1$,+/$3$,R/,-/$-4$,+/$2$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$-1$}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item Corriger le tableau de variations de  $f$ afin d'enlever toute incohérence entre les informations ci-dessus.
 \item Préciser les extrema de $f$ et les valeurs où ils sont atteints 
 \item Dessiner une courbe représentative de $f$ compatible avec toutes les informations.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
Même exercice que précédemment avec une fonction $g$ et les informations suivantes.\\
 \quad 
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.7]{$x$/0.7,Signe de $g(x)$/3}{$-4$,$0.5$, $3$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\quad 
\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.7]{$x$/0.7,Variations de $g$/3}{$-4$,$-2$,$0$,$1$, $3$}
\tkzTabVar{-/$-5$,+/$-2$,-/$-1$,+/$3$,-/$2$}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\\

De plus l'image de $-3$ est $-6$ et le seul antécédent de $4$ est $2$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ suivant.
       \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/0.5,Variations de $f$/2.5}{$-6$,$-3$, $-2$,$-1.5$,$1$, $2$, $4$}
\tkzTabVar{D+/,R,-/$-2$,R/,+/$3$,-/$-4$,+/$1$}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$5$}
\tkzTabIma{3}{5}{4}{$1$}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
 \begin{enumerate}
  \item Préciser les éventuels maximum et minimum de $f$ sur son ensemble de définition.
  \item Tracer une courbe compatible avec ce tableau.
  \item Etablir alors graphiquement un tableau de signes de la fonction $f$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoL} (Hyperbole)
 $\no{1-2}$ p 66 (tableaux à partir de courbes)\\
 $\no{7-8}$ p 66 (extrema à partir de la courbe ou du tableau de variations)
\end{ExoL}



\section{Sens de variation d'une fonction : vocabulaire et ordre}
\begin{act}
Dans un autre exercice, Norbert a dressé le tableau de variations d'une fonction $f$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3.5]{$x$/0.7,Variations de $f$/3}{$-15$,$-5$, $1$, $7$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/$-2$,+/$7$,-/$-5$,+/$1$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
\item Norbert prétend que $f(2)=3$. Simone n'est pas d'accord. \\
Expliquer et proposer une valeur cohérente avec le tableau
pour l'image de 2 par la fonction $f$.
\item Norbert a également établi le tableau de signes suivant de la fonction $f$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.7 ,Signe de $f(x)$ /1 }{$-15$,$-6$, $-1$, $8$,$+\infty$}%
\tkzTabLine{, - ,z,+ ,t, -,z ,+ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
Simone prétend qu'il contient deux incohérences avec le tableau de variations de $f$. \\
Expliquer et proposer un tableau de signes cohérent avec le tableau de variations de $f$.
\item Simone prétend qu'elle ne connait ni l'image de $2$, ni l'image de $3$, 
mais qu'elle peut tout de même les comparer (savoir lequel est le plus grand). Expliquer.
\item Sur sa copie, Norbert a écrit :
\begin{multicols}{4}
\begin{itemize}
 \item $f(3)<1 $ % oui
 \item $f(9)>1$ % non
 \item $f(2)<-3$ % on ne peut pas savoir
 \item $f(-2)>f(0)$ % oui
 \item $f(-10)>f(-8)$ % non
 \item  $f(-8)>f(-2)$ % on ne peut pas savoir
 \item $f(0)<f(2)$ % on ne peut pas savoir
 \item $f(2)<f(3)$ % oui
\end{itemize}
\end{multicols}
Simone n'est pas toujours d'accord. Qu'en pensez-vous ?
\item %Conjecturer alors une signification des flèches en rapport avec l'ordre des images et des antécédents.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels d'un intervalle $I$. Compléter les phrases suivantes.\\
Dans un tableau de variations, si les variations de $f$ sur l'intervalle $I$ sont représentées par
\begin{itemize}
 \item une flèche qui monte et que $a<b$ alors $f(a) ...... f(b)$\\
 L'ordre des images et des antécédents est ...\\
 On dit que $f$ est ...
 \item une flèche qui descend et que $a<b$ alors $f(a) ...... f(b)$\\
 L'ordre des images et des antécédents est ...\\
 On dit que $f$ est ... 
 \item plusieurs flèches de sens différents, alors ...\\
 On dit que $f$ est ...
\end{itemize}
\item Dessiner une courbe compatible avec celle représentative de $f$. 
\end{enumerate}
\end{act}


Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$.

\begin{defi}
On dit que $f$ est \textbf{strictement croissante} si 
pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ rang\'es dans un certain ordre, leurs images $f(a)$ et $f(b)$ 
sont rang\'ees dans le m\^eme ordre. \newline
On retiendra qu'\textbf{une fonction strictement croissante conserve l'ordre} des images et des antécédents.
Autrement dit, si $a, b \in I$ alors :
$$ a<b \Longrightarrow f(a)< f(b) $$ 
Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction strictement croissante sur un intervalle $I$ 
\og monte \fg
\end{defi}

\Rqs{
\item De même $a>b \Longrightarrow f(a) > f(b)$ (ce qui compte c'est la \textit{conservation} 
de l'ordre inital qui est \textbf{connu} en général) 
\item Un fonction $f$ est simplement dite croissante lorsque $a<b \Longrightarrow f(a) \leq  f(b) $\\
Graphiquement, cela se traduit par un passage horizontal de la courbe représentant $f$.
}

\Expl{\begin{multicols}{2}
\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-5.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-5} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-5.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.5 x 3 exp mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.5}{3}{\F}
\psdot(-2,-4) \uput[r](0,-4){$f(-2)$}
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-4)(0,-4)

\psdot(1,0.5) \uput[d](1,0){$1$}\uput[r](-1.3,0.5){$f(1)$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=0.5x^3$. \\
Sa représentation graphique nous montre que $f$ est strictement croissante sur $\R$.\\
On sait que $-2<1$ et $f$ strictement croissante sur $[-2;1]$ donc $$f(-2)<f(1)$$
Autrement dit, on peut affirmer que $$0.5\times (-2)^3 < 0.5 \times (1)^3$$
sans faire de calculs.
      \end{multicols}
}

\begin{defi}
On dit que $f$ est \textbf{strictement d\'ecroissante} si 
pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$ rang\'es dans un certain ordre, leurs images $f(a)$ et $f(b)$ sont rang\'ees dans l'ordre inverse. \newline
On retiendra qu'\textbf{une fonction strictement d\'ecroissante inverse l'ordre} des images et des antécédents.
Autrement dit, si $a, b \in I$ alors :
$$a<b \Longrightarrow f(a) > f(b) $$ 
Graphiquent, la courbe représentative d'une fonction strictement décroissante sur un intervalle $I$ 
\og descend \fg
\end{defi}

\Rq{Une fonction $f$ est simplement dite décroissante lorsque $a<b \Longrightarrow f(a) \geq f(b) $.
}

\Expl{\begin{multicols}{2} 
%\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.1)(5.1,5.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(5.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 0.5 x mul div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.0001}{5}{\F}
\psdot(0.5,4) \uput[d](0.5,0){$0.5$}\uput[l](0,4){$f(0.5)$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,4)(0,4)
\psdot(4,0.5) \uput[d](4,0){$4$}\uput[l](0,0.5){$f(4)$}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,0.5)(0,0.5)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) 
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) 
\end{pspicture*}

\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac1{0.5x}$. \\

Sa représentation graphique nous montre que $f$ est strictement décroissante sur $\R^{+*}$.\\
On sait que $0.5<4$ et $f$ strictement décroissante sur $[0.5;4]$ donc $$f(0.5)>f(4)$$
On peut donc affirmer que $$\dfrac1{0.5\times 0.5}>\dfrac1{0.5 \times 4}$$
sans faire de calculs.
  \end{multicols}
}

\begin{defi}
 On dit que $f$ est \textbf{constante} si pour tous r\'eels $a$ et $b$ de $I$, leurs images $f(a)$ et $f(b)$
sont \'egales. \newline
Autrement dit, si $a, b \in I$ alors :
$$a<b \Longrightarrow f(a) = f(b) $$
Graphiquent, la courbe représentative d'une fonction constante égale à $k$ sur un intervalle $I$ est parallèle à l'axe des abscisses
(horizontale) d'équation $y=k$
\end{defi}


\Expl{\begin{multicols}{2} \vspace*{-1cm}
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.1)(4.1,3.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-1.1)(4.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{4}{\F}
\psdot(-1,2) \uput[d](-1,0){$-1$}\uput[ul](0,2){$f(-1)$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,2)

\psdot(2,2) \uput[d](2,0){$2$}\uput[ur](0,2){$f(2)$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}

\end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2$. \\

On sait que $f$ constante égale à 2 sur $\R$ donc $$f(-1)=f(2)=f(-1000\pi)=2$$
  \end{multicols}
}


\Rqs{
\item On résume les variations d'une fonction grâce à un tableau de variations, les flèches représentant
un sens de variation strict.
\item Lorsqu'une fonction change de sens de variation sur un intervalle $I$, on dit qu'elle est \textbf{non 
monotone} sur $I$.\\
A contrario, une fonction \textbf{monotone} sur $I$ est donc une fonction dont
le sens de variation ne change pas sur $I$ :
elle est soit uniquement croissante sur $I$, 
soit uniquement d\'ecroissante sur $I$, soit constante sur $I$.
\item On ne parle de sens de variation que sur un intervalle, les bornes ouvertes ou ferm\'ees ne jouant 
aucun r\^ole.
\item Si on sait qu'une fonction $f$ est strictement monotone sur un intervalle $I$ et que l'on connait 
son sens de variation sur $I$, alors 
pour tous nombres $a$ et $b$ connus on peut conna\^itre l'ordre de leurs images 
$f(a)$ et $f(b)$ sans les calculer (conservation ou changement de l'ordre).
\item Si on connait l'ordre deux de nombres $a$ et $b$ d'un intervalle $I$ et l'ordre de leurs images 
$f(a)$ et $f(b)$, on ne peut rien dire sur la monotonie de $f$ 
(on ne sait pas ce qui se passe pour les autres r\'eels de $I$).
}



\begin{ExoF}
Soit $z$ la fonction d\'efinie par $z(x)=\dfrac{3}{x-3}$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est son ensemble de d\'efinition ?
 \item Apr\`es avoir tracer cette fonction sur votre calculatrice, d\'ecrire les variations de $z$ (par des phrases).
 \item R\'esumer cela dans un tableau de variations de $z$.
 \item Rajouter une ligne au tableau pour décrire le signe de $z$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction  \og carr\'e \fg \`a partir 
de sa courbe repr\'esentative  sur votre calculatrice
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions des inéquations suivantes :
$$x^2 \leq 3 \qquad \qquad \qquad x^2 \geq 2 \qquad \qquad\qquad 1\leq x^2 \leq 5$$
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de la fonction  \og  inverse \fg \`a partir 
de sa courbe repr\'esentative  sur votre calculatrice
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions des inéquations suivantes :
$$\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{x} \leq 1 \qquad\qquad \qquad  -1\leq\dfrac{1}{x} \leq -\dfrac{1}{4} \qquad \qquad\qquad 
-\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{2}$$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit la fonction d\'efinie pour tout $x \in \R$ par $f(x)=-x^2+4x-1$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\R$ on a  $f(x)=-(x-2)^2+3$ 
\item En d\'eduire le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
%\item Calculer $f(0)$ et $f(10)$.
\item Tracer la courbe repr\'esentative de $f$ sur $[-2;5]$
\item Compl\'eter le tableau de variation suivant :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3]{$x$/0.5,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$0$, $\dots$, $10$, $+\infty$}
%\tkzTabVar{-/,R/,+/...,R/,-/}
%\tkzTabIma{1}{3}{2}{$...$}
%\tkzTabIma{3}{5}{4}{$...$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Gr\^ace à ce tableau de variation, donner le nombre de solutions de l'\'equation $f(x)=0$
\item Gr\^ace \`a la courbe r\'esoudre graphiquement cette \'equation.
\item Par dichotomie, donner un encadrement \`a $10^{-2}$ de ces solutions.
\item Retrouver ces nombres par le calculs
\item V\'erifier la coh\'erence des trois m\'ethodes.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
 $\no{3-4-5}$ p 66 (lecture d'informations dans le tableau)\\
 $\no{28}$ p 70 (calcul d'images pour le tableau)\\
 $\no{35}$ p 71 (quantificateurs)\\
  QCM et Vrai-Faux p 72 + 42 à 44 p 73 \\
$\no{19-21}$ p 85 (fonction carré)\\
$\no{40-42}$ p 86 (fonction inverse)
  \end{ExoL}


\newpage
\section{Fonctions affines}

\subsection{Sens de variation}

\begin{act}
Soient $f$ et $g$ les fonctions d\'efinies sur $\R$ par $f(x)=2x+1$ et $g(x)=-3x+5$.\\
On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(b)-f(a)$
 \item Etudier le signe de l'expression trouvée.
 \item En déduire l'ordre de $f(b)$ et $f(a)$, puis le sens de variation de $f$
 \item En suivant la même méthode, établir le sens de variation de $g$.
 \item Conjecturer le sens de variation d'une fonction affine (distinguer les cas).
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{prop}
Soit $f$ une fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.
\begin{enumerate}
 \item Si $a<0$, alors $f$ inverse l'ordre $\R$, ie $f$ est strictement décroissante sur $\R$
\item Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\R$
\item Si $a>0$, alors $f$ est conserve l'ordre sur $\R$, ie $f$ est strictement croissante sur $\R$
\end{enumerate} 
\end{prop}


\Dem{Soient $x$ et $y$ deux r\'eels tels que $x<y$. On cherche à savoir si $f(x)=ax+b$ et $f(y)=ay+b$ sont 
dans le même ordre. Pour cela, on étudie le signe de $f(y)-f(x)$.
$$f(y)-f(x)=ay+b-(ax+b) = a(y-x)$$
Comme $x<y$, on sait que $(y-x)>0$. Donc :
\begin{itemize}
 \item Si $a>0$ alors $a(y-x)>0$ et on en déduit $f(y)-f(x)>0 \iff f(x)<f(y)$ pour tous réels $x<y$.\\
Les images et les antécédents par $f$ sont rangés dans le même ordre, donc $f$ conserve l'ordre sur $\R$. C'est une fonction croissante sur $\R$.
 \item Si $a<0$ alors $a(y-x)<0$ et on en déduit $f(y)-f(x)<0 \iff f(y)<f(x)$ pour tous réels $x<y$.\\
Les images et les antécédents par $f$ sont rangés dans l'ordre inverse, donc $f$ inverse l'ordre sur $\R$. 
C'est une fonction décroissante sur $\R$.
 \item Si $a=0$ alors $a(y-x)=0$ et on en déduit $f(y)=f(x)$ pour tous réels $x$, $y$.\\
Les images et les antécédents par $f$ sont tous égaux, donc $f$ est une fonction constante sur $\R$.
\end{itemize}
}

On peut dresser le tableau de variations d'une fonction affine en fonction du signe de $a$.
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$a<0$\\  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Variations de $ax+b$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/}
\end{tikzpicture}\\

$a>0$\\
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Variations de $ax+b$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  
\end{multicols}

\Rq{Les fonctions affines non constantes ne possèdent pas d'extrema.}

\Expl{
On donne les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=-3x-\dfrac{5}{8}$, $g(x)=87\,968x-\sqrt{5\,468}$.
\begin{enumerate}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des images des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item 1 et 5
  \item $\sqrt{10}$ et $-\pi$
  \item $2\sqrt{5}$ et $\sqrt{15}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \item Donner, sans calculatrice, l'ordre des antécédents des nombres :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $-\dfrac{45}{987}$ et $-\dfrac{45}{65498}$
  \item $\sqrt{180}$ et $2\sqrt{98}$
  \item $\dfrac{3^4\times 5^{13}}{15^7}$ et $\dfrac{5^3\times 3^{10}}{15^{10}}$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}


\begin{ExoF}
$f$ est une fonction définie sur $\R$ telle que $f(1)=3$ et $f(-2)=-1$
\begin{enumerate}
 \item Peut-on en déduire que $f$ est croissante sur $[-2;1]$ ?
 \item On sait de plus que $f$ est une fonction affine. Peut-on alors connaitre son sens de variation sur $\R$ ?
 \item Retrouver l'expression de $f$.
\end{enumerate}
Mêmes questions pour une fonction $g$ affine telle que $g(-2)=9$ et $g(3)=-11$. 
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 $\no{14}$ p 67
\end{ExoL}

\subsection{Représentation graphique}

\begin{act}
Sur Géogébra, construire la droite passant par les points $A(0;2)$ et $B(1;-3)$.\\
Afficher l'équation de la droite.\\
Laisser $A$ fixe quelques temps et déplacer $B$.\\
Conjecturer les lectures graphiques de l'ordonnée à l'origine et du coefficient directeur. \\
\textit{Afficher la pente si nécessaire.}
\end{act}


Dans cette partie, $f$ désigne une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$. On appelle $d$ sa représentation graphique.

\begin{prop}[Définition]
La repr\'esentation graphique d'une fonction affine est une droite.\\
La droite $d$ représentant la fonction affine $f$ a pour \'equation 
r\'eduite est $y=ax+b$. \newline
$a$ est appel\'e le \textbf{coefficient directeur} et $b$ l'\textbf{ordonn\'ee \`a l'origine}.
\end{prop}


\Rq{
Dire que $d$ a pour équation $y=ax+b$ signifie qu'un point $A(x_A; y_A)$ appartient à $d$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de $d$, ie
si et seulement si $y_A=ax_A+b$.
}

\Expl{Soit $Fabrice$ la fonction affine définie sur $\R$ par  $Fabrice(x)=2x-1$ et $d$ sa représentation graphique.\\
Donner la nature de $d$, son équation, son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.\\
Dire si les points $A(-3;6.9)$ et $B(200; 399)$ appartiennent à $d$.\\
Donner les coordonnées de trois autres points de $d$.
}
\newpage

\begin{multicols}{2}
Grâce au tableaux de variations établis dans la partie précédente, on sait que l'on a trois types d'orientation 
possibles pour la droite $d$, en fonction du signe du coefficient directeur $a$.\\
\textbf{Attention : }Une droite verticale ne peut pas représenter une fonction affine !\\
Si $b=0$, alors $d$ passe par l'origine du repère. Elle représente une fonction affine particulière : une fonction 
linéaire. Il s'agit d'une fonction définie sur $\R$ par une expression du type $f(x)=ax$.

\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{droites-coef.eps}
\end{center}

\end{multicols}


\underline{Interpr\'etation graphique du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine :}\newline
On choisit au hasard  deux points sur la droite $d$ séparés d'une unité en abscisse.\\
Le \textbf{coefficient directeur} représente le nombre d'unités verticales les séparant 
(en allant de gauche à droite).\\
L'\textbf{ordonnée à l'origine} est l'ordonnée du point d'intersection de $d$ avec
l'axe des ordonnées, ie du point de $d$ d'abscisse 0.\\
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{coef_dir.eps} \qquad 
 \includegraphics[scale=1]{coef_dir_bis.eps}
\end{center}

\Cadre[Méthode pour tracer la représentation graphique de la fonction affine $f$]{
On a deux méthodes :
\begin{itemize}
 \item Choisir deux nombres $x_1$ et $x_2$, calculer leurs images $f(x_1)$ et $f(x_2)$, 
placer les points de  coordonnées $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ dans un repère, puis les relier à la règle.
 \item Placer le point sur l'axe des ordonnées d'ordonnée $b$, puis placer une deuxième point de la droite
 en utilisant l'interprétation graphique du coefficient directeur $a$.
\end{itemize}
}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Dans un repère, tracer la droite passant par $A(2;-1)$ et $B(3;5)$. \\
Trouver le coefficient directeur puis l'ordonnée à l'origine de la droite $(AB)$.
En déduire l'expression de la fonction affine représentée par cette droite.
 \item Même question pour les points $C(-1,2)$ et $D(3;-1)$.
\item Trouver par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$. \textit{Vérifier graphiquement.}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-3x+1$.
\begin{enumerate}
 \item Trouver les images de $0$ et de $-2$  par la fonction $f$. 
 \item Calculer $f\left(\dfrac{4}{3}\right)$.
 \item Trouver les éventuels antécédents de $0$ et $-2$ par la fonction $f$.
 \item Résoudre $f(x)=\dfrac{4}{3}$.
 \item Tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé et contrôler graphiquement les résultats précédents.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 $\no{5-6-7}$ p 60 (tracer une fonction affine, déterminer une fonction affine, vérifier qu'une fonction est affine)\\
$\no{55}$ à 57 p 76 : Défi (retrouver des fonctions affines) \\
$\no{26-33}$ p 69-71 (problèmes avec fonction affine par morceaux)\\
$\no{20}$ p 68 (Algorithme de trac\'e à faire en module)
\end{ExoL}



\end{document}