\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Lectures graphiques plus ou moins intelligentes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

%\setcounter{NumLecon}{1}

\Chacha{hs.eps}{Krazy Kat}{George Herriman}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Krazy 
Kat est un comic strip américain créé par George Herriman et publié dans les journaux du pays, entre 1913 et 1944. La première publication se fit dans le New York Evening 
Journal. La série mêle surréalisme, poésie insouciance enjouée, ce qui en 
a fait l'une des BD préférées des passionnés et des critiques depuis plus de 80 ans.
Les strips sont centrés sur une relation triangulaire entre son personnage éponyme, 
un chat innocent et désinvolte de sexe indéterminé (mais le plus souvent considéré comme une femelle),
son antagoniste Ignatz Mouse, et le sergent Pupp (Officer Pupp), officier de police. Krazy est 
transi d'amour pour Ignatz mais celui-ci le méprise, et passe son temps à chercher à lui lancer une 
brique à la tête. Ce que Krazy interprète comme une preuve d'amour… Pupp, en tant que garant de 
l'ordre de la région de Coconino, fait tout pour empêcher Ignatz d'arriver à son but et enferme bien 
souvent la souris en prison.\\
En dépit de la simplicité de l'intrigue, la créativité verbale et visuelle d'Herriman, fait 
de Krazy Kat l'une des 
premières bandes dessinées à avoir été considérée comme de l'art par les intellectuels. Gilbert 
Seldes, célèbre critique d'art de l'époque, écrivit en 1924 qualifia le strip 
de « travail artistique le plus amusant, fantastique et satisfaisant de l'Amérique 
contemporaine ». Le poète renommé E. E. Cummings, autre admirateur de George Herriman, écrivit 
l'introduction du premier album de Krazy Kat. Plus récemment, beaucoup de scénaristes et 
dessinateurs constatent que le strip a eu une influence majeure sur leurs œuvres.}			% Présentation auteur
{0.5}		% Ratio portrait
{0.15}		% Ratio Image
{
\item Lire des images, des antécédents et des ensembles de définition sur une courbe représentative
 \item Résoudre des équations et des inéquations graphiquement
 \item Vérifier par le calcul des solutions trouvées graphiquement 
 \item Retrouver par le calcul certaines solutions
 \item Dresser graphiquement des tableaux de signes
 \item Etablir des tableaux de signes par le calcul
}

\TITRE{fonctions.eps}{0.5}						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}

 

\begin{Intro}{Au fil du temps}
L'objectif principal de ce chapitre est de maîtriser la lecture graphique des courbes représentatives de fonctions, sous (presque) toutes
les coutures. \\
Nous allons donc revoir les lectures d'images,
d'antécédents et d'ensemble de définition, mais également apprendre résoudre graphiquement des équations, des inéquations, 
et à donner graphiquement le signe d'une fonction.\\
Cependant, nous verrons qu'avec un peu d'intelligence, on peut répondre exactement et simplement à des questions de lecture graphique.
\end{Intro}

Tout au long du chapitre, on peut faire des exercices de révision sur le développement et la factorisation.\\
Voir la fiche révision ou encore les exercices n$^{\circ}$ 18 à 27 p 48 + \no{44} p 52 


\section{Lecture graphique}

\subsection{Images, antécédents et ensemble de définition}

\begin{act}
 La courbe ci-dessous représente une fonction $f$.
 \begin{center}
\begin{pspicture*}(-7.5,-3)(7,5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(-7.5,-3)(7,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-7.5,-3)(7,5) 
\psaxes(0,0)(-7.5,-3)(7,5) 
\psset{dotstyle=x,dotsize=7pt 0}
\HermiteDDL(-6,-2,0,0)(-5,-1,2,0)(-4,2,2.8,0)(-3,4,0,0)(-1,3,0,0)(1,4,0,0)(3,-1,0,0)(4,0,2.4,0)(8,8,2.4,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item Lire graphiquement l'ensemble de définition de $f$.
  \item Lire graphiquement lorsque c'est possible les images par $f$ de : 
  $$-5 \qquad\qquad 6 \qquad\qquad -7 \qquad\qquad 7 \qquad\qquad -2 \qquad\qquad 2 $$
  \item Lire graphiquement les valeurs suivantes :
  $$f(4) \qquad\qquad f(3) \qquad\qquad f(0) \qquad\qquad f(-1) \qquad\qquad f(-3)$$
  \item Résoudre graphiquement les équations :
  $$f(x)=4 \qquad\qquad f(x)=3 \qquad\qquad f(x)=0 \qquad\qquad f(x)=-1 \qquad\qquad f(x)=-3$$
 \item Résoudre graphiquement les inéquations :
  $$f(x)\geq 4 \qquad\qquad f(x)>3 \qquad\qquad f(x)\leq 0 \qquad\qquad f(x)<-1 \qquad\qquad f(x)>-3 \qquad\qquad f(x)<-3$$
 \end{enumerate}
\end{act}
 

\textit{Rajouter éventuellement des questions de signes, inéquations, extrema ...\\}

\Cadre[Méthodes pour déterminer graphiquement ]{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Un ensemble de définition} : On détermine l'ensemble des abscisses de tous les points de la courbe représentative.
Puis on le décrit sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles, en faisant attention aux bornes (crochets ouverts ou fermés).
 \item \textbf{L'image $f(a)$ d'un réel $a$} : On place sur la courbe le point d'abscisse $a$ et on lit son ordonnée.
 \item \textbf{Les éventuels antécédents d'un réel $b$} : On place sur la courbe tous les points éventuels d'ordonnées
$b$ (on peut les mettre en 
évidence en traçant la droite parallèle à l'axe des abcisses passant par le point $(0;b)$ d'équation $y=b$) et on lit leur abscisses.
\end{itemize}
}
\vspace{0.5cm}


\textbf{Illustration :}
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\newrgbcolor{ttfftt}{0.2 1 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3.8,-2.5)(7.8,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.8,-2.5)(7.8,5)
\psplot[plotpoints=200]{-3}{4}{0.03*x^4-0.23*x^3-0.25*x^2+2.17*x+1}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,2.45)(2.53,2.45)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.53,2.45)(2.53,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](4,0)(-3,0)
\rput[tl](2.41,-0.2){$\ttttff{x}$}
\rput[tl](-0.8,2.6){$\ttfftt{f(x)}$}
\rput[tl](4.37,-0.5){\ttttff{Axe des abscisses}}
\rput[tl](4.26,-0.9){\ttttff{Axe des antécédents}}
\rput[tl](-3.5,4.22){\ttfftt{Axe des ordonnées}}
\rput[tl](-2.8,3.77){\ttfftt{Axe des images}}
\rput[tl](7.15,0.3){$\ttttff{x}$}
\rput[tl](-0.35,4.8){$\ttfftt{y}$}
\rput[tl](-1.78,0.6){$\red{D_f}$}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=blue](-3,1)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=ttttff](2.53,2.45)
\rput[bl](2.6,2.57){$M(\ttttff{x};\ttfftt{f(x)})$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](4.1,0.2)(4,0.2)(4,-0.2)(4.1,-0.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-2.8,0.2)(-3.,0.2)(-3,-0.2)(-2.8,-0.2)
\psline(4.2,-1.)(4,-1)(4,-1.5)(4.2,-1.5)
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{ExoC}
On considère la fonction $f : x \longmapsto \dfrac{3x+1}{2x+4}$
 \begin{enumerate}
  \item Tracer sur votre calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$.
  \item Lire son ensemble de définition.
  \item Lire l'image de $4$.
  \item Lire $f(-3)$.
  \item Déterminer graphiquement les éventuels antécédents de $1$.
  \item Résoudre graphiquement $f(x) \geq 1$
  \item Résoudre graphiquement $f(x)=0$
  \item Donner graphiquement le signe de $f(x)$ en fonction de $x$.
 \end{enumerate}
\end{ExoC}


\begin{ExoF}
 Fabrice et Loïc ont voulu tracer sur leur calculatrice la courbe représentative de la fonction 
 $$f:x \longmapsto 1-\dfrac{2}{x-1}$$
 \begin{center}
  \includegraphics[scale=0.8]{exo48p52bis} \quad \includegraphics[scale=0.8]{exo48p52} 
 \end{center}
Loïc affirme l'ensemble de définition de $f$ est $]-\infty ; 1 [ \cup ]1;+\infty[$ 
mais Fabrice, lui, pense que c'est $]-\infty ; 0 [ \cup ]0;+\infty[$ .
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la courbe tracée par Loïc ? par Fabrice ?
 \item Quel argument algébrique Loïc peut-il utiliser afin de convaincre Fabrice ?
 \item Quelle erreur Fabrice a-t-il commise ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On donne les courbes $\mathscr C_1$ à $\mathscr C_4$ suivantes :
 \begin{center}
  \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.85cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(5,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-2)(5,5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3}{4}{0.1*x^4-0.32*x^3-1.02*x^2+2.57*x+3.07}
\psdots[dotsize=5pt 0,linecolor=red](-3,3)
\rput[bl](3.95,1.85){\red{\textbf{\LARGE{[}}}}
\rput[bl](3,3){$\mathscr C_1$}
\end{pspicture*} 
\qquad
 \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.85cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.5,-3)(4,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-2.5,-3)(4,4)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200]{-2}{3}{-0.11*x^4-0.06*x^3+1.65*x^2-0.13*x-2.58}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](-2,3)
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](3,1.3)
\end{scriptsize}
\rput[bl](3,3){$\mathscr C_2$}
\end{pspicture*}\\
\vspace{0.45cm}
 \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(5,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-3)(5,5)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200]{-2.0}{1.0}{1.29*x^4+6.13*x^3+6.47*x^2-0.87*x-0.34}
\psline[linestyle=dashed](1,-3)(1,5)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200]{1.0}{5.0}{-0.67*x^4+8.35*x^3-39.95*x^2+85.88*x-65.29}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](-2,-1.1)
\rput[bl](-3,3){$\mathscr C_3$}
\end{pspicture*}
\qquad
 \psset{xunit=0.85cm,yunit=0.85cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-1)(4,6)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-1)(4,6)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{1/abs(x+1)}
\psline[linestyle=dashed](-1,-1)(-1,6)
\rput[bl](3,3){$\mathscr C_4$}
\end{pspicture*}
 \end{center}
Pour chaque courbe, lire l'ensemble de définition de la fonction correspondante. 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 $f$ est la fonction définie sur $[-4;6]$ par $f(x)=x^2+2x-4$
 \begin{enumerate}
  \item Faire afficher à la calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $[-4;6]$
   \item Donner deux antécédents de $-1$ par $f$.
   \item Faire afficher à la calculatrice une table de valeurs de $f(x)$ pour $x$ allant de $-4$ à $6$ avec un pas de $1$.
 \item Vérifier votre réponse précédente à l'aide de ce tableau de valeurs.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}\\
 \textbf{Hyperbole} : n$^{\circ}$ 16 à 17 p 46 (classiques) 
 +  \no{54-57} p 54\\
 \end{ExoL}

\textit{\textbf{Approfondissement possible : établir graphiquement le signe d'une 
fonction, réfléchir à la cohérence entre un tableau (de valeurs ou de signe) et une courbe représentative... 
}}
%\vspace{20mm}

\subsection{Résoudre des équations ou des inéquations graphiquement}

\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{act}
\noindent Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies par le graphique ci-contre :\\
R\'esoudre graphiqement :
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=-2 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item $g(x)=0 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item $h(x)=1 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item $f(x) = g(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$ 
 \item $f(x) = h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item $g(x)=h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item  $ f(x) < -2 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item  $g(x) \geq 0 \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\item $f(x) \geq h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
 \item $f(x) <h(x) \qquad S= \dots\dots\dots\dots\dots$
\end{enumerate}
\end{act}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{11.5cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-5.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,6)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 3 x mul sub 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\H{0 0.5 x mul 1.3 add 3 exp sub 1 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
\def\G{0.02 x 3 exp mul 0.1 x 2 exp mul add}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
 \uput[r](3.7,5.5){\blue{$C_f$}}
 \uput[r](4.8,4.5){\green{$C_g$}}
 \uput[r](-5.9,3.5){\red{$C_h$}}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
 \uput[d](1,0){$1$}
 \uput[l](0,1){$1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\noindent Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur un intervalle $I$, $k\in\R$. 
On note $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ leurs  courbes repr\'esentatives respectives. \\

\Cadre[Résoudre graphiquement ]{
Dans tous les cas, on suppose que l'on a déjà tracer les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ 
sur $I$.
  \begin{itemize}
   \item \fbox{$f(x)=g(x)$} Les solutions sont les \textbf{abscisses} des \'eventuels points d'intersection de $\mathscr C_f$ et 
$\mathscr C_g$.\\
L'ensemble des solutions est une liste de nombres, on le note avec des \textbf{accolades}.
\item \fbox{$f(x) \leq g(x)$} Les solutions sont les \textbf{abscisses} des 
éventuels points de $C_f$ situés \textbf{au-dessous} de $C_g$.\\
L'ensemble des solutions est un intervalle ou une réunion d'intervalle, on le note avec des crochets
(ouverts si l'inégalité est stricte).
  \end{itemize}
}

\Rqs{
 \item Lorsque $g$ est une fonction constante égale à un nombre réel $k$, sa courbe représentative
  est la droite horizontale d'équation $y=k$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=k$ revient alors à trouver graphiquement tous les ant\'ec\'edents de $k$ 
appartenant \`a $I$
\item Il existe diverses manières de poser la même question :\\
\begin{tabular}{*{3}{|C{5cm}}|} \hline
 \textbf{Langage des fonctions} & \textbf{Langage algébrique} & \textbf{Langage lié au graphique} \tabularnewline\hline
 Déterminer l'image de $3$ par $f$ & Calculer $f(3)$ & Quelle est l'ordonnée du point d'abscisse $3$ 
 de la courbe $\mathscr C_f$ ?\tabularnewline\hline
 Déterminer les éventuels antécédents de $3$ par $f$ & Résoudre l'équation $f(x)=3$ & Quelle sont les abscisses
 des éventuels points d'intersection de la courbe $\mathscr C_f$ et de la droite d'équation $y=3$ ?\tabularnewline\hline
\cellcolor{gray} & Résoudre l'équation $f(x)>3$ & Quelles sont les abscisses des points de la courbe $\mathscr C_f$
 situés au-dessus de la droite d'équation $y=3$ ?\tabularnewline\hline
\end{tabular}
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $\R$ les (in)équations suivantes :
$$\quad\quad(x-4)^2+1=3 \qquad 
(x-4)^2+1<3 \qquad (x-4)^2+1\leq 3  $$
$$(x-4)^2+1> 3 \qquad (x-4)^2+1\geq 3 $$
On trace la courbe représentative de $f$ définie sur $\R$ par $f(x)= (x-4)^2+1 $ 
et la droite horizontale d'équation $y=3$. 
\begin{itemize}
 \item $S_1=\left\{2.6;5.4\right\}$
 \item $S_2=]2.6;5.4[$.
 \item  $S_3=[2.6;5.4]$.
 \item $S_4=]-\infty ; 2.6[ \cup ]5.4; + \infty [$.
 \item $S_5=]-\infty ; 2.6] \cup [5.4; + \infty [$.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,6)
\def\xmin{-1} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(8,6)
\psclip{%
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psaxes[labels=all,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{3}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,3){$y=3$}
%\uput[l](0,3){$3$}
\psdot(2.6,3)
\psline[linestyle=dashed](2.6,0)(2.6,3)
\psdot(5.4,3)
\psline[linestyle=dashed](5.4,0)(5.4,3)
 \uput[d](2.6,0){$2.6$}
 \uput[d](5.4,0){$5.4$}
\endpsclip
\end{pspicture*}\\
\end{center}
\textit{Vérifier à la calculatrice. Et par le calcul ?}
\end{multicols}
}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
R\'esoudre graphiquement sur $[-1; + \infty[$ l'\'equation  $$(x-4)^2+1=\sqrt{x+1}$$
On trace les courbes représentatives des fonctions $f: x \mapsto (x-4)^2+1 $ d\'efinie sur $\R$ et $g:x \mapsto \sqrt{x+1}$ d\'efinie sur $[-1; + \infty[$. \newline
\indent On trouve $S=\left\{3.3;5\right\}$\\
Si on cherche à résoudre $f(x) < g(x)$ on trouve $S=]3.3;5[$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) \leq g(x)$ on trouve $S=[3.3;5]$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) > g(x)$ on trouve $S=]-\infty ; 3.3[ \cup ]5; + \infty [$.\\
Si on cherche à résoudre $f(x) \geq g(x)$ on trouve $S=]-\infty ; 3.3] \cup [5; + \infty [$.\\

\textit{Vérifier à la calculatrice.}\\

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-1.1)(8.1,6.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-1,-1)(8,6)
\psclip{
}
\psaxes[labels=all,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 4 sub 2 exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{x 1 sub 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{8}{\G}
 \uput[dr](2,6){$C_f$}
 \uput[ul](8,2.9){$C_g$}
 \psdot(5,2)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2)
\psdot(3.3,1.55)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0)(3.3,1.55)
 \uput[d](3.3,0){$3.3$}
 \uput[d](5,0){$5$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Tracer à l'écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction $f:x \longmapsto x^2+2x-3$
  \item \begin{enumerate}
         \item Résoudre alors graphiquement l'équation $f(x)=0$.
         \item Vérifier par le calcul les solutions lues sur le graphique.
        \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
 et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2x-1$.
 \begin{enumerate}
  \item Tracer à l'écran de votre calculatrice les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.
  \item \begin{enumerate}
         \item Combien de solutions l'équation $\sqrt{x}=2x-1$ semble-t-elle avoir ? Conjecturer sa (ou ses)
         valeur(s).
         \item Vérifier cette conjecture par le calcul.
        \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $[-4;4]$ par :
 $$f(x)=(2-x)(x^2+x-7) \quad \text{ et } \quad g(x)=4-x^2$$
 \begin{enumerate}
  \item Tracer les courbes représentatives de $f$ et $g$ à la calculatrice.
  \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$
  \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\leq g(x)$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
  \item son ensemble de définition est $D_f=[-5;4]$
  \item les nombres $-4$ et $4$ ont la même image $3$
  \item les solutions de l'équation $f(x)=-2$ sont $1$ et $2$
  \item le nombre $-5$ est un antécédent de $0$ par $f$
  \item $f(-2)=-1$, $f(0)=-3$ et $f(3)=0.5$
 \end{itemize}
 \end{multicols}
Tracer à main levée dans un repère orthonormé une courbe pouvant représenter 
la fonction $f$.\\
\textit{\textbf{Indication} : exploiter chacune des conditions pour remplir un tableau de valeurs de $f(x)$, puis placer
les points correspondant dans un repère orthonormé.}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 $Norbert$ est la fonction affine définie sur $\R$ par $Norbert(x)=-3x+15$
 \begin{enumerate}
  \item Dans un repère orthonormé, tracer l'allure de la courbe représentative de $Norbert$.
  \item Résoudre par le calcul l'équation $Norbert(x)=0$.
  \item Graphiquement, résoudre l'inéquation $Norbert(x)>0$.
  \item Pourriez-vous retrouver ses solutions par le calcul ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $Simone$ est la fonction affine définie sur $\R$ par $Simone(x)=-2x+5$
 \begin{enumerate}
  \item Dans un repère orthonormé, tracer l'allure de la courbe représentative de $Simone$.
  \item Résoudre par le calcul l'équation $Simone(x)=15$.
  \item Graphiquement, résoudre l'inéquation $Simone(x)>15$.
  \item Pourriez-vous retrouver ses solutions par le calcul ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ la foncion définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-4x$
 \begin{enumerate}
  \item Tracer la courbe de $f$ à l'écran de votre calculatrice.
  \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.
  \item Retrouver ses solutions par le calcul.
  \item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>0$.
  \item Pourriez-vous les expliquer par un calcul ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(x-1)^2-5+2x$
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Réaliser à la calculatrice un tableau de valeurs de $f(x)$ sur $[-1;3]$ avec un pas de $0.5$
  \item L'équation $f(x)=0$ semble-t-elle admettre des solutions ? Si oui, lesquelles ?
   \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Afficher sur l'écran de votre calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $[-1;3]$.
  \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.
   \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Développer $f(x)$.
  \item Retrouver les solutions de l'équation $f(x)=0$ par le calcul.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(2x+1)^2-\left(\dfrac52x-1\right)(2x+1)$
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item A la calculatrice, tracer la courbe représentative de $g$ avec une fenêtre adaptée.
  \item Lire graphiquement les solutions de l'équation $g(x)=2$.
  \item Lire graphiquement les éventuels antécédents de $0$ par $g$.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Développer et réduire l'expression $g(x)$.
        \item En utilisant cette dernière écriture, retrouver 
        par le calcul les solutions de l'équation $g(x)=2$.
       \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate} 
 \item Factoriser l'expression $g(x)$.
 \item En utilisant cette dernière écriture, retrouver 
        par le calcul les éventuels antécédents de $0$ par $g$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-5;5]$ par $f(x)=(2x-3)(x+2)$
 et $g$ la fonction définie sur $[-5;5]$ par $g(x)=2x-3$.
 \begin{enumerate}
  \item Tracer à l'écran de votre calculatrice les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$
  sur l'intervalle $[-5;5]$.
  \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$
  \item Retrouver ses solutions par le calcul.
 \textit{\textbf{Indication} : on écrit que résoudre $f(x)=g(x)$ revient à résoudre $f(x)-g(x)=0$,
  puis on remplace $f(x)$ et $g(x)$ par leur expression (sans oublier Nounours), un facteur commun apparait
  alors, on factorise donc et enfin on pense à appliquer la règle du produit nul.}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
 $(E)$ est l'équation $7x^2+10x-8=0$.  On pose $f(x)=7x^2+10x-8$.
 \begin{enumerate}
  \item   \begin{enumerate}
   \item Tracer la courbe représentative de $f$ sur votre calculatrice.
   \item Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$
   \end{enumerate}
   \item \begin{enumerate}
          \item Une des solutions de l'équation $(E)$ semble être un nombre entier ; lequel ? 
            \item  Vérifier par le calcul.
         \end{enumerate}
   \item \begin{enumerate}
   \item Compléter la phrase suivante : pour tout réel $x$ on a $7x^2+10x-8=(x+2)(...x- ...)$
   \item En déduire les valeurs exactes des solutions de $(E)$.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $(E)$ est l'équation $x^2+2x+3=0$.  On pose $h(x)=x^2+2x+3$.
 \begin{enumerate}
  \item   \begin{enumerate}
   \item Tracer la courbe représentative de $h$ sur votre calculatrice.
   \item Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $(E)$
   \end{enumerate}
   \item \begin{enumerate}
          \item Une des solutions de l'équation $(E)$ semble être un nombre entier ; lequel ? 
            \item  Vérifier par le calcul.
         \end{enumerate}
   \item \begin{enumerate}
   \item En remarquant que $x^2+2x+3=x^2+2x+1+2$, 
   compléter la phrase suivante : pour tout réel $x$ on a $x^2+2x+3=(x+ ...)^2 + ...$
   \item En déduire les valeurs exactes des solutions de $(E)$.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ}$ 16 p 47 + QCM et Vrai-Faux p 54 + n $^{\circ}$ 11-12 p 67}



\subsection{Lecture intelligente}

\begin{act}
 \begin{enumerate}
      \item Tracer sur votre calculatrice la courbe représentative de la fonction $x\longmapsto x^2$
 \item Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2 <5$.
 \item Pouvez-vous donner l'ensemble exact des solutions ?
     \end{enumerate}
\end{act}


Lorsque que l'on connaît l'expression algébrique de la fonction, on peut parfois être plus précis dans nos réponses,
sans forcément avoir besoin de beaucoup de calculs. 

\Expls{
\begin{itemize}
 \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2\geq 5$ est $\mathscr S = \left]-\infty ; -\sqrt{5}\right] \cup \left[\sqrt{5} ; + \infty\right[$. 
 \item Résoudre graphiquement mais exactement l'inéquation $ 3x+5 > 1$
\end{itemize}
}

\begin{ExoF}
 Observer, réfléchir puis résoudre chacune des inéquations :
 $$-5x^2 \leq 0 \qquad (x-4)^2\geq 0 \qquad (x-1)^2<0 \qquad x^2+(x-1)^2\leq -1$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Tracer l'allure de la courbe repr\'esentative  de la fonction $x \longmapsto x^2$.
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions \textbf{exactes} des inéquations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $x^2 \leq 3$
 \item $x^2 \geq 2$
 \item $1\leq x^2 \leq 5$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item  Tracer sur votre calculatrice la courbe repr\'esentative  de la fonction $x \longmapsto \dfrac1x$.
\item Trouver \`a l'aide du graphique les solutions des inéquations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{x} \leq 1$
\item $-1\leq\dfrac{1}{x} \leq -\dfrac{1}{4}$
\item $-\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\newpage
\section{Signe d'une fonction}
\subsection{Tableau de signes}

\begin{multicols}{2}
\begin{act}
Donner le signe de chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$ représentées ci-contre.
\end{act}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-6.1,-5.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[griddots=4,gridlabels=0pt,gridwidth=1pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-6,-5)(6,6)
%\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp 3 x mul sub 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\F}
\def\H{0 0.5 x mul 1.3 add 3 exp sub 1 sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\H}
\def\G{0.02 x 3 exp mul 0.1 x 2 exp mul add}
\psplot[linecolor=green,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{6}{\G}
 \uput[r](3.3,5.5){\blue{$C_f$}}
 \uput[r](4.8,4.5){\green{$C_g$}}
 \uput[r](-6.1,3.5){\red{$C_h$}}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
 \uput[d](1,0){$1$}
 \uput[l](0,1){$1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

Lorsqu'on demande le signe d'une fonction $f$, on demande en fait de résoudre simultanément :
$$f(x)<0 \qquad\qquad\qquad f(x) =0 \qquad\qquad\qquad f(x)>0$$
Graphiquement, il s'agit respectivement de quand la courbe représentative de $f$ est en-dessous de l'axe des abscisses, coupe l'axe des abscisses
et est au-dessus de l'axe des abscisses.\\
Nous savons donc théoriquement déjà faire cela. \\
La seule nouveauté sera la manière de présenter les résultats.
En effet, pour plus de clarté, nous les consignerons dans un tableau, appelé tableau de signes
\begin{itemize}
 \item La première ligne du tableau contiendra les valeurs critiques de $x$ : celles pour lesquelles $f$ s'annule et/ou change de signe.\\
On ne tient pas compte de l'échelle, on espace ces valeurs de manière homogène.
\item La seconde ligne contient le signe de $f(x)$ correspondant aux cases formées par la première ligne. 
On résume le signe par $+$ et $-$.\\
Dans cette ligne, on fait également apparaître un $0$ sous les valeurs des $x$ qui annulent $f$.
\end{itemize}

\Expl{Dans l'activité précédente, on aurait donc pu répondre :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$,$-0.6$,$3.6$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}\\
\vspace{0.5cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $g(x)$/1}{$-\infty$,$-5$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,+}
\end{tikzpicture}\\
\vspace{0.5cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $h(x)$/1}{$-\infty$,$-4.7$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


\Exos[Hyperbole]{n$^{\circ}$ 17-18 p 67}


\subsection{Lecture intelligente}
\subsubsection{Somme, produit, carré et inverse}

\Act{Pouvez-vous donner le signe des fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $l$ suivantes sans regarder leur courbe représentative ?
\begin{multicols}{3}
 \begin{itemize}
 \item $f(x)=35x^2+8$,
 \item $g(x)=-4x^2-3$
 \item $h(x)=\dfrac{1}{x}$
 \item $k(x)=3x+5$ 
 \item $l(x)=35x^2+38x+8$
\end{itemize}
\end{multicols}
}

On sait qu'un carré est toujours positif et qu'un nombre et son inverse sont de même signe.\\
Ainsi, une expression ne contenant que des carrés, des sommes de nombres positifs, des multiplications par un nombre positif et/ou des 
inverses de nombres positifs sera toujours positive. \\
Il est dans ce cas inutile de regarder la courbe représentative de la fonction correspondante.

\Expl{Soient les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par $f(x)=x^2+3$, $g(x)=\dfrac{1}{x^2+3}$ et $h(x)=-4x^2-7$.\\
Les fonctions $f$ et $g$ sont toujours positives (leurs courbes représentatives sont au-dessus de l'axe des abscisses).\\
Tandis que la fonction $h$ est toujours négative (sa courbe représentative est en-dessous de l'axe des abscisses).
}

\Cexpl{Soient les fonctions $k$ et $l$ définies par $k(x)=3x+5$ et $l(x)=35x^2+38x+8$.\\
Comme la variable $x$ peut être négative (même si son signe n'est pas visible dans l'expression des fonctions), les fonctions $k$ et $l$
changent de signe.
}



\subsubsection{Fonctions affines}

\Act{Etudions par lecture intelligente le signe de la fonction $k$ définie précédemment par $k(x)=3x+5$.
\begin{enumerate}
 \item Lecture graphique simple : donner graphiquement le tableau de signes de $k$.
\item Lecture graphique intelligente :
\begin{enumerate}
 \item Donner la nature de la fonction $k$. Que pouvez-vous en déduire sur sa représentation graphique ?
 \item Quel est le coefficient directeur de $k$ ? Que pouvez-vous en déduire sur l'orientation de sa courbe repésentative ?
 \item Résoudre $k(x)=0$
 \item En déduire le tableau de signes exact de $k$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Ptec[Signe d'une fonction affine]{
Soit $f$ la fonction affine d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ avec $a \neq 0$. \\
Alors $f(x)=0$ pour $x=-\dfrac{b}{a}$ \quad et 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$/1,Signe de $ax+b$/1.2}{$-\infty$,$-\dfrac{b}{a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe Opposé de } $a$,z,\text{Signe de }$a$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\Rq{On retiendra que la fonction est du signe de $a$ à \textbf{droite} du 0 (du signe opposé sinon).}

\Dem{ Si $a>0$ (on raisonne de même si $a<0$) :
$$\begin{array}{lc}
    & ax+b=0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax=-b  \\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}}}{\Longleftrightarrow} & x = -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \qquad \qquad \qquad
\begin{array}{lc}
   & ax+b>0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax>-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x > -\dfrac{b}{a}
   \end{array} \qquad\qquad\qquad
 \begin{array}{lc}
  & ax+b<0 \\ \stackrel{-b }{\Longleftrightarrow} & \,ax<-b  
\\ \stackrel{^{\times \frac{1}{a}>0}}{\Longleftrightarrow} & x < -\dfrac{b}{a}
\end{array}
$$
}

\Expl{Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{3}{4}x+3$. On a :
$$f(x)=0 \iff -\dfrac{3}{4}x+3=0 \iff -\dfrac{3}{4}x=-3 \iff x = -\dfrac{3}{-\frac{3}{4}}=3 \times \dfrac{4}{3}=4$$ 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 De plus, $a<0$. Donc la fonction $f$ admet pour tableau de signes :\\
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/1,Signe de $-\dfrac{3}{4}x+3$/1.5}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\end{tikzpicture}\\
On peut le vérifier graphiquement :\\
\includegraphics[scale=0.5]{signe.eps}
      \end{center}
\end{multicols}
}


\Exos[Hyperbole]{Refaire le 17 p 67}

\subsubsection{Produit (ou quotient) de fonctions affines}

\Act{Etudions par lecture intelligente le signe de la fonction $l$ définie précédemment par $l(x)=35x^2+38x+8$, ainsi que
celui d'autres fonctions.
\begin{enumerate}
 \item La fonction $l$ :
\begin{enumerate}
 \item Donner graphiquement le tableau de signes de $l$.
 \item Vérifier que pour tout $x\in \R$ on a $l(x)=(5x+4)(7x+2)$
 \item Résoudre $l(x)=0$.
  \item En déduire le tableau de signes exact de $l$.
\end{enumerate}
 \item Soient les fonctions $m$ et $n$ définies sur $\R$ par $m(x)=-2x+1$ et $n(x)=-6x-2$.
\begin{enumerate}
 \item Etablir le tableau de signes des fonctions $m$ et $n$
 \item Etablir graphiquement le tableau de signe de la fonction $p$ définie sur $\R$ par \\
$p(x)=(-2x+1)(-6x-2)$.
 \item Comment retrouver ce résultat par le calcul ?
 \item Etablir graphiquement le tableau de signe de la fonction $r$ définie sur $\R$ par $r(x)=\dfrac{-2x+1}{-6x-2}$.
 \item Comment retrouver ce résultat par le calcul ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Signe d'un produit (ou d'un quotient)]{
Gr\^ace \`a la r\`egle des signes dans une multiplication (ou une division), 
on peut trouver le signe d'un produit (ou d'un quotient) d'expressions du type $ax+b$.\\
Pour cela, on commence par résoudre l'équation produt nul (ou le dénominateur égal à 0, ainsi que le numérateur) , puis on utlise 
un grand tableau de signes.\\
Sur la dernière ligne, on trouve le signe du produit (ou du quotient) en appliquant la règle des signes.
}
\Att{
\begin{itemize}
 \item On ne peut pas appliquer cette règle pour une addition d'expression du type $ax+b$, car on n'a pas de règle de signes dans 
ce cas là !
 \item $(ax+b)(cx+d)$ est positif quand $ax+b$ et $cx+d$ sont tous les deux positifs certes, 
mais aussi quand ils sont tous les deux négatifs !\\
Ceci est long à écrire, lors d'une résolution classique. Le tableau de signe s'avère alors rapide et efficace pour trouver 
le signe de ce type d'expressions.
\item On notera que $0$ multiplié par n'importe quoi donne $0$. \\
Par contre, n'importe quoi divisé par $0$ donne une valeur interdite !
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item On souhaite résoudre $(2x+1)(-x+2)\leq 0$. On a : 
$$(2x+1)(-x+2)=0 \iff 2x+1 =0 \quad \text{ou } \quad -x+2 = 0 \iff x=-\dfrac12 \quad x=2$$
Le tableau de signe de cette expression est :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,Signe de $2x+1$/1, Signe de $-x+2$/1, Signe de $(2x+1)(-x+2)$/1.2}{$-\infty$,$\dfrac{1}2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Conclusion : $(2x+1)(-x+2)=0 \text{  ssi } x\in \left\{-\dfrac12 ; 2 \right\}$
$$(2x+1)(-x+2)>0 \text{ ssi } x\in\left]-\dfrac12 ; 2\right[ \qquad \text{et} \qquad 
 (2x+1)(-x+2)<0 \text{ ssi } x\in \left]-\infty ; -\dfrac12 \right[ \cup \Bigg] 2 ; + \infty \Bigg[$$
L'ensemble des solutions de l'in\'equation $P(x)\leq 0$ est donc $S=\left]-\infty ; -\dfrac12 \right] \cup \Bigg[ 2 ; + \infty \Bigg[$
 \item Résoudre $Q(x)=\dfrac{2x+1}{-x+2} \leq 0$.\\
On sait que $2x+1=0 \iff x=-\dfrac12$ \qquad et on sait  que $-x+2=0 \iff x=2$ (valeur interdite). \\
On a donc le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2]{$x$/1,Signe de $2x+1$/1, Signe de $-x+2$/1, Signe de $\dfrac{2x+1}{-x+2}$/1.6}{$-\infty$,$\dfrac{1}2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,0,+,t,+}
\tkzTabLine{,+,t,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble des solutions de l'in\'equation $Q(x)\leq 0$ est donc $S=\left]-\infty ; -\dfrac12 \right] \cup \Bigg] 2 ; + \infty \Bigg[$
\end{enumerate}
}



\Exop{
On consid\`ere les fonctions $f$, $g$ et $h$ d\'efinies sur $\R$ par : 
$$f(x)=x^2-3x \qquad\qquad g(x)=x^3-3x \qquad \qquad h(x)=x-3 $$
\begin{enumerate}
 \item Etablir à la calculatrice un tableau de valeurs pour les trois fonctions, allant de $-2$ \`a  $4$, de pas $0.5$.
 \item Tracer dans un m\^eme rep\`ere orthogonal les repr\'esentations graphiques  $\mathscr C_f$, $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_h$ 
respectivement des fonctions $f$, $g$ et $h$ sur $[-2;4]$. \\
\textit{Unités graphiques} :  2 cm pour l'axe des abscisses, 1 cm pour l'axe des ordonnées.
\item Est-il vrai que le point de coordonn\'ees $(0.5;-1.3)$ appartient \`a $\mathscr C_g$ ? Justifier.
\item Etablir les tableaux de signes de $f$, $g$ et $h$ (on factorisera éventuellement les expressions). 
\item \`A l'aide des graphiques, d\'eterminer les coordonn\'ees des points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_h$
\item Comparaison des fonctions $f$ et $g$ :
\begin{enumerate}
 \item \`A l'aide du graphique,  d\'eterminer les coordonn\'ees des points d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$
\item Pour avoir plus de pr\'ecision, on se propose de retrouver ces r\'esultats par le calcul :
\begin{enumerate}
 \item R\'esoudre l'\'equation $f(x)=g(x)$
 \item En d\'eduire, par le calcul, les coordonn\'ees des points $A$ et $B$ d'intersection de $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$
\end{enumerate}
\item Sur quel(s) intervalle(s) a-t-on $f\leq g$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exop{
On donne la fonction $h$ définie par $h(x)=\left(x +3\right)^2-4$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'ensemble de d\'efinition de la fonction $h$ ?
 \item Tracer la courbe représentative de la fonction $h$ sur $[-6;0]$ (unité graphique : 1 cm sur chaque axe).
 \item Factoriser $h(x)$ et vérifier que, pour tout $x\in D_h$, on a $h(x)=(x+1)(x+5)$.
 \item Développer la forme 1 et vérifier que, pour tout $x\in D_h$, on a $h(x)=x^2+6x+5$
 \item En choissisant la forme la plus appropriée de $h$, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
 \item Calculer l'image de 0 puis celle de $-3$ par $h$.
 \item Calculer la valeur exacte de $h(\sqrt{2})$ (calculs d\'etaill\'es). 
 \item \begin{enumerate}
 \item Déterminer par le calcul les \'eventuels ant\'ec\'edents de 0 par $h$. 
 \item En déduire le tableau de signe de $h$ et résoudre $h(x) \leq 0$.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item D\'eterminer s'ils existent, les ant\'ec\'edents de $-4$ par $h$.
 \item En déduire alors à l'aide du graphique les solutions de $h(x) \geq -4$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
 \item D\'eterminer s'ils existent, les ant\'ec\'edents de $5$ par $h$.
 \item En déduire alors à l'aide du graphique les solutions de $h(x) \geq 5$
\end{enumerate}
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exos[Hyperbole]{8-13 p 120 + 15-17-18-19-26-28-29-31 p 121 +  34-35 p 123 + 46-48-49-50-51 p 125}

\newpage
\section{Un peu d'algo : les boucles Si et Pour}

\begin{multicols}{2}
\Exop{
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=2x^2-x+1$ et $g(x)=\dfrac{3x+1}{2x-1}$.
\begin{enumerate}
 \item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? \\
Celui de $g$ ?
 \item \textbf{Boucle Si}.
\begin{enumerate}
 \item Que fait l'algorithme 1 ?
 \item Ecrire un algorithme similaire pour la fonction $g$ (en prenant soin de traiter à part le cas de la valeur interdite)
\end{enumerate}
 \item \textbf{Boucle Pour.}
\begin{enumerate}
\item Que fait l'algorithme 2 ?
 \item Ecrire un algorithme qui donne un tableau de valeurs de $g$, pour $x$ allant de $-2$ à $3$, avec un pas de $0.5$
 (avec pour réponse \og valeur interdite \fg\, quand nécessaire). 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Exop{
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2;4]$ par :
$$f(x)=\left\{\begin{array}{lll}
               x+1 & \text{si} & x\in[-2;1] \\
	-x^2+1 & \text{si} & x\in]1;4]
              \end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
 \item Ecrire un algorithme qui permette de calculer l'image par $f$ d'un nombre $x$.
 \item Construire la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
}
\Algo{9cm}{
\Var{
$x$, $y$ et $a$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ et $y$ \\
$a$ prend la valeur $2x^2-x+1$\\
\IfThenElse{$y==a$}{Afficher \og Le point $(x;y)$ appartient à la courbe représentative de $f$\fg}{
Afficher \og Le point $(x;y)$ n'appartient pas à la courbe représentative de $f$\fg} 
}
}
\Algo{7cm}{
\Var{
$x$, $y$ et $i$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
\For{$i=-3$ \textbf{à} $5$}{
$y$ prend la valeur $2x^2-x+1$\\
Afficher $(x;y)$\\
$i$ prend la valeur $i+1$
}
}
}
 

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\Exop{On considère l'algorithme 3 :
\begin{enumerate}
 \item Faire fonctionner cet algorithme pour $x=-2$, $x=1$ et $x=3$.
 \item Cet algorithme définit une fonction $f$.
\begin{enumerate}
 \item Donner l'ensemble de définition de $f$.
 \item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
 \item Représenter graphiquement la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Algo{7cm}{
\Var{
$x$ et $y$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
\IfThenElse{$x< 1$}{$y \leftarrow x^2 $}{$y \leftarrow 2x $} \\
Afficher $y$
}
}

\end{multicols}










\section{En bref}


\Cadre[Méthodes pour déterminer graphiquement ]{
\begin{itemize}
 \item \textbf{Un ensemble de définition} : On détermine l'ensemble des abscisses de tous les points de la courbe représentative.\\
Puis on le décrit sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles, en faisant attention aux bornes (crochets ouverts ou fermés).
 \item \textbf{L'image $f(a)$ d'un réel $a$} : On place sur la courbe le point d'abscisse $a$ et on lit son ordonnée.
 \item \textbf{Les éventuels antécédents d'un réel $b$} : On place sur la courbe tous les points éventuels d'ordonnées
$b$ (on peut les mettre en 
évidence en traçant la droite parallèle à l'axe des abcisses passant par le point $(0;b)$ d'équation $y=b$) et on lit leur abscisses.
\end{itemize}
}

\end{document}
