\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les fonctions num\'eriques}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

%\setcounter{NumLecon}{1}

\Chacha{hs.eps}{Krazy Kat}{George Herriman}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Krazy 
Kat est un comic strip américain créé par George Herriman et publié dans les journaux du pays, entre 1913 et 1944. La première publication se fit dans le New York Evening 
Journal. La série mêle surréalisme, poésie insouciance enjouée, ce qui en 
a fait l'une des BD préférées des passionnés et des critiques depuis plus de 80 ans.
Les strips sont centrés sur une relation triangulaire entre son personnage éponyme, 
un chat innocent et désinvolte de sexe indéterminé (mais le plus souvent considéré comme une femelle),
son antagoniste Ignatz Mouse, et le sergent Pupp (Officer Pupp), officier de police. Krazy est 
transi d'amour pour Ignatz mais celui-ci le méprise, et passe son temps à chercher à lui lancer une 
brique à la tête. Ce que Krazy interprète comme une preuve d'amour… Pupp, en tant que garant de 
l'ordre de la région de Coconino, fait tout pour empêcher Ignatz d'arriver à son but et enferme bien 
souvent la souris en prison.\\
En dépit de la simplicité de l'intrigue, la créativité verbale et visuelle d'Herriman, fait 
de Krazy Kat l'une des 
premières bandes dessinées à avoir été considérée comme de l'art par les intellectuels. Gilbert 
Seldes, célèbre critique d'art de l'époque, écrivit en 1924 qualifia le strip 
de « travail artistique le plus amusant, fantastique et satisfaisant de l'Amérique 
contemporaine ». Le poète renommé E. E. Cummings, autre admirateur de George Herriman, écrivit 
l'introduction du premier album de Krazy Kat. Plus récemment, beaucoup de scénaristes et 
dessinateurs constatent que le strip a eu une influence majeure sur leurs œuvres.}			% Présentation auteur
{0.5}		% Ratio portrait
{0.15}		% Ratio Image
{
\item 
 \item 
 \item 
 \item 
}

\TITRE{fonctions.eps}{0.5}						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}

 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
\noindent Le concept de fonction a mis des siècles à s'établir en math\'ematiques. 
La notion intuitive comme relation entre plusieurs quantités est assez ancienne, mais il faut attendre le $XVII^e$ siècle pour
qu'elle soit formalisée. Découvrir les fonctions, apprendre à les représenter et à étudier certaines de leurs propriétés
représente une partie importante du programme de seconde.
\begin{itemize}
\item C'est le français Pierre de Fermat (16010-1665) qui met en place la notion fondamentale d'équation d'une courbe, 
associant donc ainsi les fonctions à une courbe du plan, et s'intéresse aux extrema de fonctions.\\
\textit{Fermat est essentiellement connu pour ses théorèmes en arithmétique, notamment pour son grand théorème, 
qu'il prétendit avoir démontré dans une note de bas de page, mais dont la preuve ne fut trouvée qu'en 1994.}
 \item En 1673, l'allemand Gottfried von Leibniz (1646-1716), à la fois philosophe et math\'ematicien, utilise 
pour la première fois le mot \og fonction \fg \, et introduit le vocabulaire.\\
\textit{Leibniz est essentiellement connu en sciences pour avoir d\'ecouvert conjointement avec Newton le calcul infinit\'esimal,
c'est-\`a-dire dans l'infiniment petit.}
\item En $1698$, le suisse Jean Bernoulli (1667-1748) reprit le terme et en donne une première définition. 
Il proposa alors la notation $f(x)$.\\
\textit{Bernoulli développa le calcul exponentiel et la théorie des probabilités.}
\item Euler, math\'ematicien form\'e par Bernoulli, adopte cette notation en $1734$ et d\'efinit en $1748$ une fonction
d'une variable comme combinaison d'opérations à partir de cette variable et de nombres  constants. \\
\textit{Euler travailla essentiellement sur le calcul infinit\'esimal lui aussi et sur la th\'eorie des graphes (utiliser pour les GPS)
}
\end{itemize} 
En fait, le lien entre l'expression algébrique d'une fonction et sa courbe représentative en permet une étude 
plus approfondie. Le concept de fonction et l'étude de leur propriété a révolutionné la recherche mathématique.
jusqu'\`a aujourd'hui.\\
Compte tenu du nombre incroyable d'applications en physique, en économie et dans quasiment tous les domaines, 
l'étude des fonctions est l'un des objectifs majeurs du lycée en mathématiques. \\

Dans ce chapitre, nous allons essentiellement découvrir le vocabulaire, travailler les calculs
 et l'approche graphique. Cependant, tout cela nous permettra également de réfléchir aux différents types de nombres
et ensembles les désignant, ainsi qu'à 
la pertinence d'une écriture d'expression algébrique plutôt qu'une autre. }
\end{Intro}

Tout au long du chapitre, on peut faire des exercices de révision sur le développement et la factorisation.\\
Voir la fiche révision ou encore les exercices n$^{\circ}$ 18 à 27 p 48 + \no{44} p 52 
\newpage

\section{Notion de fonction}

\subsection{Activité découverte}

%\Act{
%Dans un récipient de forme cylindrique et de rayon $4$ cm, on verse de l'eau jusqu'à une hauteur de $5,25$ cm.
%On veut alors placer une bille dans le récipient de façon à ce que le liquide la recouvre exactement.
%Le problème consiste à déterminer le rayon de la bille.
%}

%\textbf{Objectifs :} Introduire les notions d'inconnue, de dépendance entre deux quantités, 
%mettre en équation d'un problème, montrer l'utilité d'un tableau de valeur et/ou 
%représentation graphique, discuter de la comparaison de valeurs approchées, vérifier qu'un nombre est solution 
%d'une équation. 

%\textbf{Transversalement : rappels des volumes du cylindre et de la sphère, calcul littéral}

\begin{act}
 A la Cavayère, le responsable aménage une zone de baignade surveillée de forme rectangulaire, dont l'un des côtés
 est évidemment sur la rive du lac.\\
 Il dispose d'un cordon flottant de 160 m de longueur et de deux bouées. \\
 Le responsable cherche à placer ses bouées pour que l'aire de baignade soit maximale.\\
 Pouvez-vous l'aider ?\\

 \textbf{Prolongement possible}  :
En utilisant le graphique, dire pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire de la zone de baignade 
soit égale à 2500 m$^2$.\\\\
 \end{act} 
 
\textbf{\textit{Objectifs} :} modéliser d'un problème, introduire la notion de variable, 
faire le lien entre deux quantités, introduire la notion de fonction, réinvestir les intervalles en introduisant 
la notion de valeurs interdites,
constater la pertinence de faire un tableau de valeurs et/ou de représenter une fonction 
(choix de l'échelle : 1cm=400 m$^2$).

\begin{Ccl}
Pour chaque longueur $x$, on a fait correspondre un nombre $A$ égal à l'aire de
la zone de baignade. \\
Par exemple, on a \quad $25 \longmapsto 2750$ \quad et \quad $43\longmapsto 3182$.\\
De façon générale on note \quad $A: x \longmapsto x(160-2x)$. \quad Ceci se lit \og $A$ qui à $x$ associe $x(160-2x)$ \fg.\\
Pour préciser de plus que les valeurs de $x$ sont dans l'intervalle $[0;80]$ on écrira :
$$\begin{array}{ccccl}
   A & : & [0;80] & \longrightarrow & \R \\
     &   & x      & \longmapsto & x(160-2x) 
  \end{array}$$
\begin{center}
 \newrgbcolor{ttzzff}{0.2 0.6 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.4,1.1)(10.5,4.4)
\rput{0}(2.5,3){\psellipse[linecolor=red,fillcolor=red,fillstyle=solid,opacity=0.25](0,0)(1.8,1)}
\psline{|->}(5,3)(6,3)
\rput{0}(8.5,3){\psellipse[linecolor=ttzzff,fillcolor=ttzzff,fillstyle=solid,opacity=0.25](0,0)(1.79,0.98)}
\rput[tl](5.3,3.5){$A$}
\rput[tl](2.3,3.2){$x$}
\rput[tl](7.64,3.2){$x(160-2x)$}
\rput[tl](1.16,1.72){Nombre de départ}
\rput[tl](6.9,1.72){Nombre correspondant}
\rput[tl](1.46,1.32){entre 0 et 80}
%\rput[tl](7.54,1.32){entre 0 et 3200}
\end{pspicture*}
\end{center}
La valeur de $A$ varie \textbf{en fonction de} $x$, $A$ est donc appelée une \textbf{fonction}. \\
%: c'est une \og machine \fg mathématique qui à un nombre donnée $x$ fait correspondre un autre nombre.
$x$ est appelé la \textbf{variable} et on note la valeur de l'aire correspondante $A(x)$. 
Ceci se lit \og $A$ de $x$ \fg.\\
On a donc \quad $A(x)=x(160-2x)$.\qquad 
Par exemple \quad $A(25)=2750$ \quad et \quad $A(43)=3182$.
\end{Ccl}


\Rq{Chaque fois qu'une valeur $y$ dépend d'une valeur $x$, on dit que la première est une fonction de 
la seconde.\\
Par exemple, l'aire $A$ d'un cercle est une fonction de son rayon $r$ : $A(r)=\pi r^2$
On va ici développer cette notion de fonction.
}

\subsection{Définition et notations}
\begin{defi}
Une \textbf{fonction} est une relation qui fait correspondre un élément donné d'un ensemble de d\'epart
à \textit{au maximum} un \'el\'ement d'un ensemble d'arriv\'ee (donc à 0 ou 1 élément).\\
Nous ne nous intéresserons qu'aux fonctions associant un nombre à un autre. 
On parle de fonction \textbf{num\'erique à une variable}, la variable étant le nombre de départ.\\
Fabriquer une fonction $f$ sur un ensemble de départ $D$ c'est donner un algorithme 
(une proc\'edure ici calculatoire) qui \`a chaque \'el\'ement $x\in D$ associe \textbf{au plus} 
un nombre, souvent not\'e $f(x)$.
\end{defi}


\textbf{\underline{Illustration} :}
\begin{center}
\scalebox{1} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.6)(16,3)
\psset{dotstyle=x,dotsize=0.15}
\psbezier[linewidth=0.04](1.8037467,1.4698179)(2.771089,1.7232912)(5.510614,-0.37842974)(5.203747,-1.3301821)(4.8968797,-2.2819345)(1.1955498,-2.4362645)(0.6037467,-1.6301821)(0.011943579,-0.82409954)(0.8364043,1.2163446)(1.8037467,1.4698179)
\psbezier[linewidth=0.04](12.003747,2.669818)(11.143788,2.1594536)(10.146678,-0.4997159)(10.703747,-1.3301821)(11.260816,-2.1606483)(13.926682,-2.2596028)(14.703747,-1.6301821)(15.480811,-1.0007614)(15.789301,1.2591846)(15.203747,2.069818)(14.618193,2.8804512)(12.863705,3.180182)(12.003747,2.669818)
\psdots(1.5037467,0.0698179)
\uput{0.20000}[150.0000](1.5037467,0.0698179){$10$}
\psdots(12.503747,2.069818)
\uput{0.3000}[0.0000](12.503747,2.069818){$-3$}
\psdots(14.203747,0.0698179)
\uput{0.3000}[100.0000](14.203747,0.0698179){$f(x)$}
\psdots(14.803747,1.1698179)
\uput{0.3000}[0.0000](14.803747,1.1698179){$4$}
\psdots(11.503747,-0.6301821)
\uput{0.3000}[0.0000](11.503747,-0.6301821){$-1$}
\psdots(12.903747,-1.3301821)
\uput{0.3000}[0.0000](12.903747,-1.3301821){$0$}
\psdots(11.803747,0.8698179)
%\uput{0.3000}[0.0000](11.803747,0.8698179){$g$}
\psdots(11.503747,0.4698179)
\uput{0.3000}[-20.0000](11.503747,0.4698179){$f(a)$}
\psdots(2.2037468,0.7698179)
\uput{0.3000}[160.0000](2.2037468,0.7698179){$0$}
\psdots(4.103747,-0.7301821)
\uput{0.3000}[170.0000](4.103747,-0.7301821){$\dfrac43$}
\psdots(1.9037467,-1.730182)
%\uput{0.3000}[0.0000](1.9037467,-1.730182){$k$}
\psdots(2.6037467,-0.5301821)
\uput{0.3000}[90.0000](2.6037467,-0.5301821){$2$}
\psdots(3.4037466,-1.230182)
\uput{0.3000}[180.0000](3.4037466,-1.230182){$-13.2$}
\psdots(3.0037467,0.4698179)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.0037467,0.4698179){$n$}
\psdots(1.0037467,-0.9301821)
\uput{0.2000}[-120.0000](1.0037467,-0.9301821){$x$}
\psdots(2.2037468,-0.6301821)
%\uput{0.3000}[90.0000](2.2037468,-0.6301821){$l$}
\psdots(4.9037466,-1.3301821)
\uput{0.3000}[90.0000](4.9037466,-1.3301821){$a$}
\psdots(3.0037467,-1.730182)
%\uput{0.3000}[0.0000](3.0037467,-1.730182){$r$}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(2.2037468,0.7698179)
\lineto(4.103747,1.3198179)
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}
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{
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}
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}
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\curveto(10.753747,-1.7551821)(12.028747,-1.6301821)(12.353746,-1.5301821)
\curveto(12.678747,-1.4301821)(12.978746,-1.3301821)(12.903747,-1.3301821)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(0.97467,-0.9301821)
\lineto(2.1537466,-1.6801821)
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\curveto(6.4037466,-3.0301821)(7.853747,-3.205182)(8.303747,-3.180182)
\curveto(8.753747,-3.1551821)(9.678747,-3.1051822)(10.153747,-3.080182)
\curveto(10.628747,-3.055182)(11.653747,-2.9051821)(12.203747,-2.7801821)
\curveto(12.753747,-2.6551821)(13.478746,-2.330182)(13.653747,-2.130182)
\curveto(13.828747,-1.9301821)(14.028747,-1.5551821)(14.053747,-1.3801821)
\curveto(14.078747,-1.2051821)(14.103746,-0.8801821)(14.103746,-0.7301821)
\curveto(14.103746,-0.5801821)(14.128747,-0.3051821)(14.153747,-0.1801821)
\curveto(14.178747,-0.055182096)(14.203747,0.09481791)(14.203747,0.16981791)
}
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{
\newpath
\moveto(4.8237467,-1.3301821)
\lineto(6.6537466,-0.9801821)
\curveto(7.578747,-0.8051821)(9.203747,-0.3551821)(9.903747,-0.0801821)
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}
\psline[linewidth=0.04cm](14.003747,-0.030182097)(14.203747,0.16981791)
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\psline[linewidth=0.04cm](11.403747,-0.4301821)(11.503747,-0.6301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,-0.6301821)(11.303747,-0.7301821)
\psline[linewidth=0.04cm](11.303747,0.5698179)(11.503747,0.4698179)
\psline[linewidth=0.04cm](11.503747,0.4698179)(11.403747,0.2698179)
\psline[linewidth=0.04cm](12.403747,2.369818)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.103746,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.103746,1.9698179)(12.503747,2.069818)
\psline[linewidth=0.04cm](12.503747,2.069818)(12.303747,1.8698179)
\uput{1.50000}[-90.0000](2.5000,-2.0000){\textbf{Ensemble de d\'epart}}
\uput{1.5000}[-90.0000](13.0000,-2.0000){\textbf{Ensemble d'arriv\'ee}}
\uput{1.5000}[-90.0000](8.30000,4.50000){\textbf{Fonction $f$}}
\end{pspicture} 
}
\end{center}
Ainsi, $f(2)=-1$, $f(-13.2)=0$ et $f(0)=-3$ et $f\left(\dfrac43\right)=-3$.\hfill 
$10$ n'est associé à aucun nombre par la fonction $f$.
\Att{
On ne peut pas faire partir deux flèches d'un même nombre de l'ensemble de départ. 
}

\Expls{Vous connaissez déjà quelques fonctions numériques en géométrie : 
\begin{itemize}
 \item Le périmètre $P$ d'un cercle est une fonction. Sa variable est le rayon $R$ d'un cercle,
 et à tout nombre réel positif $R$, la fonction $P$ associe un unique nombre réel $P(R)=2\pi R$.\\
 Si $R<0$, la fonction $P$ n'associe aucune valeur correspondante.
\item La formule de l'aire $A$ d'un triangle est la fonction qui à tout couple de nombres 
réels positifs $(b,h)$ associe le nombre $A(b,h)=\dfrac{b\times h}{2}$\hfill 
Il s'agit d'une fonction numérique à deux variables $b$ et $h$.\\
\end{itemize}
}

\begin{ExoC}\\
 Calculer le périmètre d'un cercle de rayon 4. \\
 Existe-t-il un nombre tel que le périmètre du cercle vaut 4 ?
\end{ExoC}


\Rq{
Une fonction peut associer autre chose que des nombres entre eux. 
Par exemple, à deux points on peut associer le milieu du segment correspondant.
}

\begin{Exof}
 \no{1 et 2 (algo)}
\end{Exof}

\newpage
\section{Images et applications}
\subsection{Calculer une image}
\begin{defi}
 Soit $f$ une fonction qui à un nombre $x$ associe un nombre $f(x)$. On note $f : x \longmapsto f(x)$.\\
 L'\textbf{image} d'un nombre $a$ par la fonction $f$ est le nombre $b$ tel que $b=f(a)$.
 \end{defi}
 
\begin{ExoC}
Soit $g$ la fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $g(x)=5-9x^2+3x$.\\
Calculer l'image de $0$, $5$, $-2$ et $\dfrac13$.
\end{ExoC}

\Rqs{
\item L'image d'un nombre, si elle existe, est unique (une flèche maximum par nombre au départ).\\
On la calcule grâce à l'expression de la fonction. 
\item Pour obtenir rapidement plusieurs images par une même fonction ou pour vérifier des calculs, 
on peut demander à la calculatrice d'afficher un tableau de valeurs (voir fiche TI ou cadre ci-dessous).
}

\Cadre[Utilisation de la Casio]{
\begin{itemize}
 \item On rentre la fonction consid\'er\'ee dans \fbox{\texteTI{Menu}} + \fbox{\texteTI{Graph}}.
 \item On r\`egle les param\`etres du tableau de valeurs (premi\`ere, derni\`ere valeur de $x$ et pas)
 dans \\
\begin{minipage}{5cm}
 \fbox{\texteTI{Menu}} + \fbox{\texteTI{Table}} + \fbox{\texteTI{F5}} 
\end{minipage} \qquad
\fbox{\begin{minipage}{4.2cm}
 \texteTI{Start : ...} \\
\texteTI{End : ... }\\
\texteTI{Pitch : ...} (ou \texteTI{Step})
\end{minipage}
}\hfill 
Valider par \fbox{\texteTI{EXE}} deux fois.
 \item On affiche le tableau de valeurs dans le menu \fbox{\texteTI{Table}} : \texteTI{TABL \fbox{F6}}
\end{itemize}
}

\Expl{Vérifier vos calculs précédents grâce à un tableau de valeurs sur votre calculatrice.
}

\begin{Exof}
 \no{3 à 6 (calculs, fct définies par morceaux et instructions conditionnelles)}
\end{Exof}




\newpage
\subsection{Déterminer les éventuelles valeurs interdites}

\begin{act}
Soit $h$ la fonction qui \`a un nombre $x$ associe le nombre $h(x)=\dfrac{3}{6-2x}$. \\
Calculer l'image de $1$, $-4$ et $0$.
\Question{
Que dire de l'image de $3$ par la fonction $h$ ? Pourquoi ?
}
\end{act}

\begin{defi}
 Par d\'efinition d'une fonction, un \'el\'ement de d\'epart peut ne pas avoir d'image, 
 on dit alors que c'est une \textbf{valeur interdite}.
\end{defi}

\begin{ExoC}
 Déterminer les éventuelles valeurs interdite des fonctions suivantes :
 $$f: x \longmapsto \dfrac{4}{x+2} \qquad \qquad g: x \longmapsto 2x^2-3x+4 \qquad \qquad h: x \longmapsto \dfrac{3x+1}{4-5x} \qquad \qquad k: x \longmapsto \sqrt{x+1} \qquad \qquad l: x \longmapsto \sqrt{-x}$$
\end{ExoC}

\vspace{-0.5cm}

\Cadre[Méthode]{
On trouve les valeurs interdites en suivant les deux r\`egles suivantes : 
\begin{itemize}
 \item \textbf{On ne divise pas par z\'ero }
 \item \textbf{On ne prend pas racine d'un nombre strictement n\'egatif}
\end{itemize}
\textit{Eventuellement, le contexte rajoute des valeurs interdites (comme une distance négative en géométrie.}

\noindent Il faudra donc toujours se poser les questions suivantes sur l'expression $f(x)$,
\begin{itemize}
 \item Y a-t-il un quotient ? Si oui, le d\'enominateur peut-il \^etre nul ? \textit{On résout une équation}
 \item Y a-t-il une racine ? Si oui, la quantit\'e dont on prend la racine peut-elle \^etre strictement n\'egative ?
 \textit{On résout une inéquation}.
\end{itemize}
}

\begin{defi}
 Le \textbf{domaine de définition} d'une fonction $f$ est l'ensemble des nombres réels, sauf les valeurs interdites.\\
 On le note en général $D_f$.
\end{defi}

\begin{ExoC}
 Ecrire les domaines de définition des fonctions précédentes.\\
 Déterminer le domaine de définition de la fonction $l : x \longmapsto 3\sqrt{4x+2}+\sqrt{10-5x} $
\end{ExoC}

\begin{Exof}
 \no{7 à 9} (calculs et algo)
\end{Exof}

\newpage
\subsection{Représentation graphique}

\begin{act}
 Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)^2-3$. Compléter le tableau de valeurs suivant grâce à la calculatrice:
\begin{center}
\begin{tabular}{*{10}{|C{1cm}}|} \hline
 $x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1.5$ & $-1$ & $-0.5$ & $0$ & 1 & 2 \tabularnewline\hline
 $f(x)$ & & & & & & & & & \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
Repr\'esenter dans un rep\`ere orthonorm\'e les points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ du tableau. \\
Imaginer alors l'allure de la courbe repr\'esentative  $\mathscr C_f$ de la fonction $f$.\\
Le point $A(1.5;1.25)$ appartient-il à $\mathscr C_f$ ? Et le point $B(0.5;-0.7)$?
\end{act}


\begin{defi}
On se place dans un repère du plan.\\
La \textbf{courbe représentative} $\mathscr C_f$ (ou encore \textbf{représentation graphique}) d'une fonction $f$ d\'efinie sur $D_f$ 
est l'ensemble des points de coordonn\'ees $\left(x;f(x)\right)$ où $x$ parcourt $D_f$.\\
Autrement dit : 
$$M(x;y) \in \mathscr C_f \text{ signifie que }\left\{\begin{array}{l}
                                                                       \text{Son abscisse } x\in D_f \\ 
\text{L'image de son abscisse } x \text{ par la fonction } f \text{ est son ordonnée } y.
                                                                      \end{array} \right.$$
On dit que la courbe $\mathscr C_f$ a pour équation $y=f(x)$.
\end{defi}

\begin{minipage}{7cm}
\Expl{Représentation graphique de la fonction de l'activité précédente.\\
}
\end{minipage}\quad 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{xunit=.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(5,6)
\def\xmin{-4} \def\xmax{5} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{6}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.45cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=orange, subgridwidth=.3pt, subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(-8,-7)(10,12)
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm,dotstyle=x,dotsize=5pt 5}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[u](1,0){$I$}
\uput[r](0,1){$J$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[r](2,5){$y=(x+1)^2-3$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 add 2 exp 3 sub}
\psplot[linecolor=blue]{-4}{2}{\F}
\psdot(-4,6)
\psdot(-3,1)
\psdot(-2,-2)
\psdot(-1.5,-2.75)
\psdot(-1,-3)
\psdot(-0.5,-2.75)
\psdot(0,-2)
\psdot(1,1)
\psdot(2,6)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}\\

\Cadre[Méthode]{
Pour tracer la courbe repr\'esentative  d'une fonction, on relie les points d'un tableau de valeurs 
avec le plus de coh\'erence possible. \\
N\'eanmoins, on ne sait pas exactement comment varie la fonction entre deux points de la courbe, 
(ni en dehors du graphique).\\
Ainsi, \textbf{plus on place de points, plus l'allure de notre représentation est sera précise}.\\
On prendra donc toujours un tableau  avec \textbf{\textit{au moins 10 valeurs}} et on consultera
le tracé de la courbe sur la calculatrice pour s'aider (voir fiche TI ou cadre ci-dessous).
}


\Cadre[Utilisation de la Casio]{
\begin{itemize}
 \item On rentre la fonction consid\'er\'ee dans \fbox{\texteTI{Menu}} + \fbox{\texteTI{Graph}}
 \item On règle les param\`etres de la fenêtre graphique (début et fin du $x$, début et fin du $y$, 
 échelle) dans \\
 \begin{minipage}{5cm}
\fbox{\texteTI{Menu}} + \fbox{\texteTI{Graphe}} + \fbox{\texteTI{F5}}   
 \end{minipage}
\qquad \fbox{\begin{minipage}{4cm}
\texteTI{Xmin : ... \\
max :... \\
scale : ... \\
Ymin : ... } etc \hfill 
       \end{minipage}
       }
\hfill Valider par \fbox{\texteTI{EXE}}
 \item On affiche la courbe repr\'esentative dans le menu \fbox{\texteTI{Graphe}} : \texteTI{DRAW \fbox{F6}}.
 \item On affiche un curseur sur la courbe donnant les coordonnées des points de la courbe par \texteTI{Trace \fbox{F1}}.
\end{itemize}
}

\Expls{Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=3 \qquad\qquad g(x)=2x+1 \qquad\qquad   h(x)=-2x+1 \qquad\text{et}\qquad k(x)=\dfrac1x $$
}

\Question{
Que constatez-vous pour la dernière courbe ? Comment l'expliquer ?}

\begin{multicols}{2}
\Rq{\\
Toutes les courbes ne repr\'esentent pas des fonctions. \\
On s'appuie sur la d\'efinition pour le comprendre. \\
En effet, un \'el\'ement ne peut avoir plusieurs images.\\

Ci-contre, on constate que le nombre $4$ possède deux images : $-1$ et $4$.\\
La courbe ci-contre n'est donc pas représentative d'une fonction.\\

\Cadre[A retenir]{
Une courbe représentative de fonction ne peut pas être \og verticale \fg ni \og revenir en arrière \fg\\
Par contre, elle peut avoir des \og trous \fg, c'est là où il y a des valeurs interdites}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(6.8,6)
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(7.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(1.5000,1.5000){2.85}
\psline[linestyle=dashed](4.0000,-3.0000)(4.0000,6.0000)
%\uput{0.5000}[-120.0000](4.0000,0.0000){$x$}
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,4.0000)(7.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](-3.0000,-1.0000)(7.0000,-1.0000)
%\uput{0.3000}[-50.0000](0.0000,-1.0000){$y_1$}
%\uput{0.3000}[50.0000](0.0000,4.0000){$y_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[u](0.9,0){I}
\uput[r](0,1){J}
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\end{multicols}


\begin{ExoL}
 n$^{\circ}$ 10-11-12 p 47
\end{ExoL}

\begin{Exof}
 \no{10} (courbe)  +  \no{11} (algo) et \no{12-13} (fonctions définies par morceaux et algo)
\end{Exof}
 
\newpage

\section{Antécédents}
\begin{act}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x-2)^2-1$.
 \begin{enumerate}
  \item Compléter à l'aide de la calculatrice son tableau de valeurs ci-dessous :
 \begin{center}
\begin{tabular}{*{11}{|C{1cm}}|} \hline
 $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $1.5$ & $2$ & $2.5$ & 3 & 4 & 5\tabularnewline\hline
 $f(x)$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Représenter alors l'allure de sa courbe représentative $\mathscr C_f$ dans le repère orthonormé $(O,I,J)$ ci-dessous :
\begin{center}
\psset{xunit=.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-7,-2)(7,9)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-2} \def\ymax{9}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.5pt,subgridwidth=.4pt, subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(-7,-2)(7,9)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[u](1,0){$I$}
\uput[r](0,1){$J$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\def\F{x 2 sub 2 exp 1 sub}
%\psplot[linecolor=blue]{-4}{5}{\F}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Le point $A(-0.5;5)$ appartient-il à $\mathscr C_f$ ? Et le point $B(5;8)$ ?
\item Déterminer graphiquement les nombres suivants :
$$ f(-0.5) \qquad\qquad f(3.5) \qquad\qquad \text{l'image de } 0$$
\item Résoudre graphiquement les équations suivantes :
$$ f(x)=0 \qquad\qquad f(x)=4 \qquad\qquad (x-2)^2-1=3 \qquad\qquad (x-2)^2-1 = -1 \qquad\qquad (x-2)^2-1=-2 $$
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{defi}
 Soit $f : x \longmapsto f(x)$.\\
   Un \textbf{antécédent} d'un nombre $b$ par la fonction $f$ est un nombre $a$ dont l'image vaut $b$, ie 
   tel que $f(a)=b$.
\end{defi}

\Expls{
 Dans l'activité précédente, les antécédents de $0$ sont ... car ...\\
 l' antécédent de $-1$ est ... car ...\\
 $-2$ n'a pas d'antécédent car ...
}


\begin{ExoC}
\begin{itemize}
 \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)= 2x-1$. 
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les images de $7$, de $0$ puis de $-3$ par la fonction $f$.
  \item Déterminer les éventuels antécédents de $7$, de $0$ et de $-3$ par a fonction $f$.
 \end{enumerate}
 \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ qui à un nombre $x$ associe le nombre $g(x)=(5-3x)(4x+2)$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $g(0)$ et $g(-1)$.
  \item Déterminer les éventuels antécédents de $0$ par la fonction $g$
  \item Pouvez-vous utiliser la même méthode pour déterminer les éventuels antécédents de $-1$ 
  par la fonction $g$ ? Pourquoi ?
 \end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction qui \`a un nombre $x$ associe le nombre $h(x)=\dfrac{4}{6-2x}$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les images de $1$, $-3$ et de $0$ par la fonction $h$.
 \item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $h$.
 \item Déterminer les éventuels antécédents de $1$, de $-3$ et de $0$ par la fonction $h$.
 \item Résoudre $h(x)=3$. Traduire votre réponse en termes d'antécédents de la fonction $h$.
 \end{enumerate}
\end{itemize}
\end{ExoC}

\Rq{
 L'image d'un nombre, si elle existe, est unique et on les trouve en comptant simplement.\\
  Par contre, les nombres de l'ensemble d'arrivée peuvent avoir $0$, $1$ ou même plusieurs antécédents.\\
 On trouve les éventuels antécédents d'un nombre \textbf{en résolvant une équation}.
}

\begin{ExoC}
 Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(4-x)(x+2)$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $g(0)$, $g(8)$.
  \item Calculer l'image de $7$, de $11$ et de $3$
  \item Déterminer les éventuels antécédents de $0$.
  \item Montrer que pour tout $x\in\R$ on a $g(x)=-x^2+2x+8$.
  \item En déduire les éventuels antécédents de $8$.
  \item Montrer que pour tout $x\in\R$ on a $\left(x+1\right)^2+7=g(x)$.
  \item En déduire les éventuels antécédents de $7$, de $11$ puis de $3$.
 \end{enumerate}
\end{ExoC}


\begin{Exof}
 \no{14 à 17 (calculs et algo)}
\end{Exof}


\begin{ExoL}
 \textbf{Hyperbole} \no{7-9 p 46} (basique) + n$^{\circ}$ 28-30 p 48 (choix d'une écriture, \textbf{corrigés})\\
\end{ExoL}




\section{En bref}

\Cadre[Image et Antécédents par une fonction $f$]{
 \begin{enumerate}      
 \item L'\textbf{image} d'un nombre $a$ est le nombre $f(a)$. \\
 On le calcule, autrement dit \textbf{on compte}.
\item Les \textbf{éventuels antécédents} d'un nombre $b$ sont les nombres $x$ tels que $f(x)=b$.\\ 
 Ce sont donc les solutions de l'\textbf{équation} $f(x)=b$ que l'on doit \textbf{résoudre}.\\
\textit{Il peut y avoir aucune, une ou plusieurs solutions !}
 \end{enumerate}
}

\vspace{0.3cm}

\Cadre[Valeurs interdites et ensemble de définition d'une fonction $f$]{
 \begin{itemize}
  \item Les valeurs interdites sont les nombres qui n'ont pas d'image. \\
  Pour les trouver, on applique les deux r\`egles suivantes : 
\begin{enumerate}
 \item On ne divise pas par z\'ero : on \textbf{résout une équation} lorsque le problème se pose.
 \item On ne prend pas la racine d'un nombre strictement n\'egatif : on \textbf{résout une inéquation} lorsque le problème se pose.
\end{enumerate}
\item Le \textbf{domaine de définition} d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs \og autorisées \fg,
c'est-à-dire tous les nombres réels sauf les éventuelles valeurs interdites trouvées précédemment.\\
On le note sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalle.
 \end{itemize}
}

\vspace{0.3cm}

\Cadre[Représentation graphique]{
\begin{itemize}
 \item La représentation graphique d'une fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x;f(x))$.\\
 Pour tracer son allure :
 \begin{itemize}
  \item On obtient un tableau de valeurs de $f$ grâce à la calculatrice
  \item On place les points du tableau dans un repère (plus on en a, mieux c'est) 
  \item On les relie de manière cohérente
  \item On vérifie grâce à la calculatrice.
 \end{itemize}
\item Un point $A(x_A,y_A)$ appartient à la courbe représentative $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ 
si et seulement si $y_A=f(x_A)$\\
 Ainsi, pour savoir si $A\in\mathscr C_f$ :
 \begin{itemize}
 \item On calcule l'image de l'abscisse $x_A$, c'est-à-dire $f(x_A)$. 
 \item Si on trouve l'ordonnée $y_A$ de $A$, c'est-à-dire si $f(x_A)=y_A$, alors $A\in\mathscr C_f$, 
 sinon $A\notin \mathscr C_f$ 
\end{itemize}
\end{itemize}
}


\end{document}
