\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres r\'eels \linebreak \`a la r\`egle et au compas}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\tps}{2h}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.8cm}
%\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\setcounter{NumLecon}{1}

\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{madonne.eps}{Autoportrait avec cigarette (1895) \fg \, et \\ \og  La madone (1895-1902)}{Edvard Munch}
{La maladie, la folie et la mort sont les anges noirs qui ont veillé sur mon berceau}{Edvard Munch}{Edvard Munch 
(1863 - 1944) est un peintre expressionniste norvégien,
souvent considéré comme le pionnier de l'expressionnisme et très tôt réputé pour son appartenance
 à une nouvelle époque artistique en Europe.
L'importance de son œuvre est aujourd'hui reconnue dans le monde. \\
Les œuvres de Munch les plus connues sont celles des années 1890, notamment  \textit{Le Cri} (1893)
(cf fin du cours), pièce de la série \textit{La Frise de la Vie}, que Munch a assemblée au tournant du siècle. 
Sa production ultérieure attire toutefois de plus en plus l'attention et semble inspirer tout spécialement les artistes actuels.\\
Munch traite d'une manière récurrente des thèmes de la vie, de l'amour, de la peur et de la mort.
La collection la plus importante de ses œuvres se trouve au le Musée Munch dans Oslo. 
Quelques-unes de ses peintures se trouvent à la galerie nationale d'Oslo. 
L'Hotel Continental d'Oslo possède de nombreuses impressions. Enfin, la pinacothèque de Paris a organisé en 2010 la superbe exposition 
\textit{Anti-Cri} regroupant de nombreux tableaux de Munch, issus de collections privées.\\
\textit{ Le Cri } et  \textit{La Madone} ont été volés le 22 août 2004 au musée Munch d'Oslo. Ils ont été récupérés dans des circonstances non connues 
en août 2006 en Norvège... Les deux œuvres ensemble sont estimées à 100 millions de dollars.}
{1.2}{0.4}{
 \item Construire précisément des longueurs grâce aux bases de la géométrie plane 
 \item Découvrir les ensembles de nombres
 \item Se repérer dans le plan
 \item Calculer des coordonnées de milieu dans un repère
 \item Calculer des distances dans repère orthonormé.
}

\thispagestyle{TitreCha}

\TITRE{anti-cri.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Euclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il 
est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est 
toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La 
géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle et 
du compas. L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou "obtenu", 
à l'aide de ces deux instruments.\\
Cette conjecture (erronée) va remettre en question la définition d'un nombre. En effet, les nombres 
rationnels (les fractions) ne suffisent pas à exprimer toutes les longueurs puisque la 
diagonale d'un carré de côté 1 est constructible, mais correspond au nombre $\sqrt{2}$ dont 
on peut démontrer qu'il ne peut pas s'écrire comme le rapport de deux entiers i.e qu'il 
n'est pas rationnel. Pourtant, on peut le construire à l'aide d'une règle et d'un compas. \\
On doit à Hippase de Métaponte la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Cette 
découverte choqua tellement la Grèce antique qu'on raconte qu'il fut jeter à la mer. En 
effet les nombres, comme le monde, ne pouvaient être que rationnels !
\\
Pire on découvrira plus tard que certains nombres ne peuvent pas être obtenus à l'aide d'une 
règle et d'un compas ! C'est la cas de $\pi$ notamment.\\

Pour ce qui est des coordonnées, elle arrive bien plus tard. Dans son ouvrage de 1637, René Descartes
(1596-1650) propose de résoudre les problèmes de géométrie par le recours systématique au calcul
algébrique.\\
A la même époque, Pierre de Fermat (1601-1665) est le premier à utiliser des coordonnées pour résoudre des problèmes 
de lieux géométriques.\\
Joseph Lagrange (1736-1813) souligne le fait plus d'un siècle plus tard : \og Tant que 
l'Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornées ; mais
lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marché ensemble
d'un pas rapide vers la perfection \fg
\end{abstract}

\newpage
\section{Constructions à la règle et au compas : concept}
On se donne deux points $O$ et $I$ non confondus.
\begin{defi}
 On dit qu'un point du plan est \textbf{constructible à la règle et au compas} lorsqu'on peut 
 le placer à partir de $O$ et $I$, en utilisant uniquement une règle \textit{non graduée} et un compas.
\end{defi}

On trace la droite $(OI)$, on l'oriente et on décide que :
\begin{itemize}
 \item $O$ est l'origine
 \item $I$ donne l'unité sur cette droite (ainsi $OI=1$ unité graphique en \textbf{abscisse})
\end{itemize}
On obtient alors un repère $(O,I)$ de dimension 1, car on peut décrire la position de tout 
point $M$ sur la droite par son \textbf{abscisse} $x$, et ce, de manière unique.
\begin{center}
\rotatebox{5}{\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.76,-0.5)(7.8,0.5)
\psline{->}(-2.76,0)(7.8,0)
\rput[tl](-0.1,-0.2){$O$}
\rput[tl](0.9,-0.2){$I$}
\rput[bl](-0.1,0.2){$0$}
\rput[bl](0.9,0.2){$1$}
\rput[tl](5.6,-0.2){$M$}
\rput[bl](5.6,0.2){$x$}
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(5.7,0)
\end{pspicture*}
}
\end{center}
Réciproquement, tous les nombres que vous connaissez correspondent à un unique point de cette 
droite.\\
%Les nombres que vous connaissez aujourd'hui s'appellent des nombres \textbf{réels}
%\footnote{Il en existe bien d'autres, bien plus même. On les appelle les nombres \textbf{imaginaires} ou \textbf{complexes}.
%Vous les découvrirez peut-être au lycée suivant votre orientation.}.\\
%On appelle donc cette droite la \textbf{droite des réels}, puisqu'elle représente exactement tous les 
%nombres réels.

\begin{defi}
 Les \textbf{nombres constructibles à la règle et au compas} sont les abscisses des points 
 constructibles de cette même manière sur la droite $(OI)$.
\end{defi}

%Dans ce chapitre, nous allons découvrir les ensembles de nombres grâce à ce type de construction.
\Question{
  Quel type de nombres connaissez-vous ? Lesquels pensez-vous pouvoir construire ?
}

\newpage
\section{Les nombres entiers naturels}

Construisons à l'aide d'une règle et d'un compas un segment de longueur $7$. En ne se servant que du compas et en reportant $7$ fois la longueur $1$ il est simple d'obtenir la figure suivante :

\begin{center}
\rotatebox{6}{\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.76,-0.6)(7.8,0.5)
\psline{->}(-2.76,0)(7.8,0)
\rput[tl](-0.1,-0.2){$0$}
\rput[tl](0.9,-0.2){$1$}
\rput[tl](6.9,-0.2){$7$}
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(7,0)
\end{pspicture*}
}
\end{center}

En procédant de la même manière pour chacun des nombres entiers (positifs) on obtient :

\begin{center}
\rotatebox{-150}{\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.76,-0.6)(7.8,0.5)
\psline{->}(-2.76,0)(7.8,0)
\rput[tl](-0.1,-0.2){$0$}
\rput[tl](0.9,-0.2){$1$}
\rput[tl](1.9,-0.2){$2$}
\rput[tl](2.9,-0.2){$3$}
\rput[tl](3.9,-0.2){$4$}
\rput[tl](4.9,-0.2){$5$}
\rput[tl](5.9,-0.2){$6$}
\rput[tl](6.9,-0.2){$7$}
\rput[tl](7.9,-0.2){$8$}
\rput[tl](8.9,-0.2){$9$}
\rput[tl](9.9,-0.2){$10$}
\rput[tl](10.9,-0.2){$11$}
\rput[tl](11.9,-0.2){$12$}
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(3,0)
\psdots(4,0)
\psdots(5,0)
\psdots(6,0)
\psdots(7,0)
\psdots(8,0)
\psdots(9,0)
\psdots(10,0)
\psdots(11,0)
\psdots(12,0)
\end{pspicture*}
}
\end{center}

\Rq{
  Pour plus de lisibilité, on prendra l'habitude de tracer $(OI)$ horizontale et orientée de gauche à droite.
  Mais ce n'est pas obligatoire.
}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.76,-0.6)(7.8,0.5)
\psline{->}(-2.76,0)(7.8,0)
\rput[tl](-0.1,-0.2){$0$}
\rput[tl](0.9,-0.2){$1$}
\rput[tl](1.9,-0.2){$2$}
\rput[tl](2.9,-0.2){$3$}
\rput[tl](3.9,-0.2){$4$}
\rput[tl](4.9,-0.2){$5$}
\rput[tl](5.9,-0.2){$6$}
\rput[tl](6.9,-0.2){$7$}
\rput[tl](7.9,-0.2){$8$}
\rput[tl](8.9,-0.2){$9$}
\rput[tl](9.9,-0.2){$10$}
\rput[tl](10.9,-0.2){$11$}
\rput[tl](11.9,-0.2){$12$}
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(3,0)
\psdots(4,0)
\psdots(5,0)
\psdots(6,0)
\psdots(7,0)
\psdots(8,0)
\psdots(9,0)
\psdots(10,0)
\psdots(11,0)
\psdots(12,0)
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{defi}
L'ensemble des nombres \textbf{entiers naturels} se note $\N$ et d\'esigne l'ensemble des nombres entiers positifs ou nul : $\N=\{0;1;2;3;4;...\}$ 
\end{defi}


\Question{
En combien d'étapes au minimum peut-on construire le nombre 7 ? Le nombre 10 ? Le nombre 100 ?
}


%\Exoi{ 
%Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$.\\
%On pose :
%$$ a=\dfrac{p+1}{2}\qquad \text{et}\qquad b=\dfrac{p-1}{2}$$
%\begin{enumerate}
%\item Donner la liste des $10$ plus petit nombres premiers.
%\item Justifier que $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
%\item Calculer $a^2-b^2$ en fonction de $p$.
%\item En déduire que tout nombre premier $p\geq 3$ peut s'écrire comme la différence de deux carrés d'entiers. \\
%Donner cette différence pour $p=29$.
%\end{enumerate}
%}
\newpage

\section{Les nombres entiers relatifs}
\subsection{Construction}
En reproduisant le même procédé que pour les entiers naturels mais dans l'autre direction,
on obtient les entiers négatifs :

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.16,-0.6)(12.8,0.5)
\psline{->}(-3.16,0)(12.8,0)
\rput[tl](-1.02,-0.2){$-1$}
\rput[tl](-2.02,-0.2){$-2$}
\rput[tl](-3.02,-0.2){$-3$}
\rput[tl](-0.02,-0.2){$0$}
\rput[tl](0.94,-0.2){$1$}
\rput[tl](1.94,-0.2){$2$}
\rput[tl](2.94,-0.2){$3$}
\rput[tl](3.94,-0.2){$4$}
\rput[tl](4.94,-0.2){$5$}
\rput[tl](5.94,-0.2){$6$}
\rput[tl](6.94,-0.2){$7$}
\rput[tl](7.94,-0.2){$8$}
\rput[tl](8.94,-0.2){$9$}
\rput[tl](9.94,-0.2){$10$}
\rput[tl](10.94,-0.2){$11$}
\rput[tl](11.94,-0.2){$12$}
\psdots(-3,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(3,0)
\psdots(4,0)
\psdots(5,0)
\psdots(6,0)
\psdots(7,0)
\psdots(8,0)
\psdots(9,0)
\psdots(10,0)
\psdots(11,0)
\psdots(12,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

Ainsi, nous pouvons graduer la droite de $1$ en $1$ d'un bout à l'autre. 
Nous pouvons construire n'importe quel entier relatif !\\

\begin{defi}
L'ensemble des entiers relatifs se note $\Z$ et repr\'esente l'ensemble des nombres entiers positifs et n\'egatifs. $\Z=\{\dots; -4;-3;-2;0;1;2;3;\dots\}$ 
\end{defi}



\Att{
\textbf{Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs.}\\
On dit que $\Z$ contient $\N$, ou encore que $\N$ est inclus dans $\Z$. 
On note $\N \subset \Z$.\\
Le symbole $\subset$ ne doit pas être confondu avec $\in$. 
On utilise $\in$ lorsque un élément appartient à un ensemble, comme par exemple $2\in \Z$.
En revanche on utilise $\subset$ lorsque un ensemble tout entier est contenu dans un autre 
ensemble, comme par exemple $\N\subset\Z$.
}

\Question{
En combien d'étapes au minimum peut-on construire le nombre $-7$ ? Le nombre $-10$ ? Le nombre $-1000$ ?
}

\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
\item Calculer $(-1)^n$ pour $n \in \Z$.
\item Calculer $n\times (-1)^n$ pour $n\in \Z$. 
\end{enumerate}
\end{ExoC}

\newpage
\subsection{Application : Repérage dans le plan}
\subsubsection{Repère orthonormé}
On sait donc contruire à la règle et au compas les graduations d'un repère de dimension 1. \\
Construisons désormais la perpendiculaire à $(OI)$ passant pr $O$ et graduons la avec la même 
unité que la droite $(OI)$. \textit{Il suffit de construire la médiatrice d'un segment bien choisi.}\\
\textit{On oriente en général cette droite vers le haut, mais ce n'est pas obligatoire.}
\begin{center}
 \psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2.5)(5,2.5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2.5)(5,2.5)
\uput{0.3000}[-135.](0,0){$O$}
\uput{0.2000}[0](0,1){$J$}
\uput{0.2000}[90.](1,0){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Appelons $J$ le point correspondant à l'unité $1$ sur cette droite.\\

Nous venons de construire un \textbf{repère orthonormé} $(O,I,J)$ du plan. En effet :
\begin{itemize}
 \item On parle de \textbf{repère} car :
 \begin{itemize}
  \item On peut décrire (\textit{repérer}) la position de tout point $M$ dans le plan par son 
  \textbf{abscisse} $x$ et 
son \textbf{ordonnée} $y$ dans le repère $(O,I,J)$, et ce, de manière unique.
\item Réciproquement, tous les couples de nombres que vous connaissez correspondent à un unique 
point du plan.
 \end{itemize}
On note la position d'un point $(x,y)$ et on appelle ce couple les \textbf{coordonnées} de $M$.\\
\textit{L'ordre est important et dépend de l'ordre des points $I$ et $J$ dans l'appellation du repère}.
 \item On qualifie le repère d'\textbf{orthonormé} car :
 \begin{itemize}
  \item le préfixe \og ortho \fg signifie que les axes sont perpendiculaires (ou orthogonaux)
  \item le suffixe \og normé \fg signifie que les axes ont la même unité (ou norme) : $OI=OJ$ 
 \end{itemize}
\end{itemize}

\newpage
\begin{ExoC}
Dans le repère orthonormé suivant, retrouver à la règle et au compas (si nécessaire)
les coordonnées des points $A$ et $B$ et placer les points $C(-1,1)$ et $D(-5,3)$ :
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.cm,yunit=2.cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-3)(2.5,2.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(3.1,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=7pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-3)(2.5,2.5)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-3,-2)
\uput{0.2}[-90](-3,-2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](2,0)
\uput{0.2}[90](2,0){\blue{$A$}}
\uput{0.2}[0](0,1){{$J$}}
\uput{0.2}[90](1,0){{$I$}}
\uput{0.2}[-135](0,0){{$O$}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{ExoC}

\Sol{On lit $A(2,0)$. \\
  Ensuite, on construit cherche la perpendiculaire à $(OI)$ passant par $B$.\\
  Il suffit de construire au compas un losange de sommet $B$ et dont l'un des diagonales est 
  sur l'axe $(OI)$, ie que deux autres de ses sommets sont sur $(OI)$. Prenons par exemple $O$.
  \begin{center}
   \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-3)(2.5,2.5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-6,0)(-3,-2)(0,0)(-3,2)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.75,0)(-2.75,0.25)(-3,0.25)(-3,0)
\psline(-3,-3)(-3,3)
\parametricplot{0.39306165295637513}{0.7836225431524532}{1*3.61*cos(t)+0*3.61*sin(t)+-3|0*3.61*cos(t)+1*3.61*sin(t)+-2}
\parametricplot{2.375294653845542}{2.709988602318567}{1*3.61*cos(t)+0*3.61*sin(t)+-3|0*3.61*cos(t)+1*3.61*sin(t)+-2}
\parametricplot{0.3228649277495301}{0.8891046887310369}{1*3.61*cos(t)+0*3.61*sin(t)+-6|0*3.61*cos(t)+1*3.61*sin(t)+0}
\parametricplot{2.2361294032963226}{2.827559466239518}{1*3.61*cos(t)+0*3.61*sin(t)+0|0*3.61*cos(t)+1*3.61*sin(t)+0}
\psline[linecolor=zzttqq](-6,0)(-3,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](-4.49,-0.94)(-4.55,-1.03)
\psline[linecolor=zzttqq](-4.45,-0.97)(-4.51,-1.06)
\psline[linecolor=zzttqq](-3,-2)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.55,-0.97)(-1.49,-1.06)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.51,-0.94)(-1.45,-1.03)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(-3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.51,0.94)(-1.45,1.03)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.55,0.97)(-1.49,1.06)
\psline[linecolor=zzttqq](-3,2)(-6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-4.45,0.97)(-4.51,1.06)
\psline[linecolor=zzttqq](-4.49,0.94)(-4.55,1.03)
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-3,-2)
\rput[bl](-2.92,-2.23){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](2,0)
\rput[bl](2.05,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0,0)
\rput[bl](0.04,0.07){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](-6,0)
\rput[bl](-6.08,-0.35){\blue{$O'$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](-3,2)
\rput[bl](-2.85,1.98){\blue{$B'$}}
\end{pspicture*}
  \end{center}
}
\Sol{
  On lit $x_B=-3$. On fait de même avec $(OJ)$ et on lit $y_B=-2$. Donc $B(-3;-2)$.\\
  Pour placer le point $C$, on construit le carré de sommets opposés $O$ et $C$.\\
\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-2.5)(3,1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(3,1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,-1)(-1,0)(0,0)(0,-1)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.25,0)(-0.25,-0.25)(0,-0.25)(0,0)
\parametricplot{2.9326476784242645}{3.375648680842743}{1*1*cos(t)+0*1*sin(t)+0|0*1*cos(t)+1*1*sin(t)+0}
\parametricplot{4.588575493040521}{4.998912482800254}{1*1*cos(t)+0*1*sin(t)+0|0*1*cos(t)+1*1*sin(t)+0}
\parametricplot{2.837337273179218}{3.4164024552430368}{1*1*cos(t)+0*1*sin(t)+0|0*1*cos(t)+1*1*sin(t)+-1}
\parametricplot{4.251790511636019}{5.058331829672764}{1*1*cos(t)+0*1*sin(t)+-1|0*1*cos(t)+1*1*sin(t)+0}
\psline[linecolor=zzttqq](-1,-1)(-1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.05,-0.52)(-0.95,-0.52)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.05,-0.48)(-0.95,-0.48)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,0)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.52,0.05)(-0.52,-0.05)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.48,0.05)(-0.48,-0.05)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(0,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](0.05,-0.48)(-0.05,-0.48)
\psline[linecolor=zzttqq](0.05,-0.52)(-0.05,-0.52)
\psline[linecolor=zzttqq](0,-1)(-1,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.48,-1.05)(-0.48,-0.95)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.52,-1.05)(-0.52,-0.95)
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-3,-2)
\rput[bl](-2.92,-2.23){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](2,0)
\rput[bl](2.05,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](-1,-1)
\rput[bl](-1.23,-1.21){\darkgray{$C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
Pour placer le point $D$, on construit le rectangle approprié.
}


\begin{ExoF}
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1.5,3)$, $B(3,4)$ et $C(0,-1)$.\\
Soit $f$ la fonction affine définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=-2x+6$.\\
On appelle $d$ la droite représentant $f$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer $f(4)$. En déduire les coordonnées du point $M$ appartenant à $d$ d'abscisse $4$.
        \item Quelle est l'image pas $f$ du nombre $-1$ ? En déduire les coordonnées du point $N$ appartenant à $d$ d'abscisse $-1$.
        \item Tracer la droite $d$.
       \end{enumerate}
\item On note $E$ et $F$ les points d'intersection respectifs de $d$ avec l'axe des abscisses
      et l'axe des ordonnées.
      \begin{enumerate}
	\item Lire les coordonnées de $E$ et $F$.
        \item Retrouver ces résultats par le calcul.
        \end{enumerate}
\item Justifier, sans calcul, que les droite $(FC)$ et $(BE)$ sont parallèles.
\item Les points $F$, $A$ et $E$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\subsubsection{Repère orthogonal}
On peut également facilement choisir une autre unité sur l'axe $(OJ)$. Par exemple, on peut choisir 
$OJ=2OI$
\begin{center}
  \psset{xunit=1.5cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1.5)(6,2.5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,ysubticks=2]{->}(0,0)(-4,-1.5)(6,2.5)
\uput{0.2000}[-135.](0,0){$O$}
\uput{0.2000}[0](0,1){$J$}
\uput{0.2000}[90.](1,0){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Nous venons de construire un \textbf{repère orthognal} $(O,I,J)$ du plan. En effet :
\begin{itemize}
 \item On peut encore repérer chaque point du plan par un unique couple de coordonnées $(x,y)$,
 et chaque couple correspond à un unique point du plan.\\
$(O,I,J)$ est donc un \textbf{repère} du plan. 
 \item On qualifie le repère d'\textbf{orthogonal} car ses axes sont orthogonaux (ou perpendiculaires).
 Cette fois, on ne précise rien sur les normes des axes (ou unité).
\end{itemize}


\begin{ExoC}
Toutes les constructions sont à faire à la règle et au compas.
 \begin{enumerate}
  \item Construire un repère orthonormé $(O,I,J)$ tel que $OI=OJ=1$ cm.
  \item Placer les points $A(-4,6)$ , $B(-2,3)$, $C(2,0)$, $D(0,3)$ et $E(2,3)$.
  \item Quelles sont les coordonnées des points $A$ et $B$ dans le repère $(O,C,D)$ ? dans le repère $(O,D,C)$ ?
  \item Quelles sont les coordonnées du point $O$ dans le repère $(E,C,D)$ ? dans le repère $(E,C,B)$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoC}

\newpage
\begin{ExoF}
Construire à la règle et au compas, deux repères du plan $(O,I,J)$ possibles tels que 
 $(O,I,J)$ soit orthogonal et $OI=2OJ$.
 \begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-4)(2,4)
\uput{0.2000}[-80](0,0){\textcolor{red}{$O$}}
\uput{0.2000}[-90](1,0){\textcolor{red}{$I$}}
\psdots[dotstyle=x](0,0)
\psdots[dotstyle=x](1,0)
\end{pspicture*} \qquad 
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-4)(1.5,4)
\uput{0.2000}[-80](0,0){\textcolor{red}{$O$}}
\uput{0.2000}[-90](1,0){\textcolor{red}{$I$}}
\psdots[dotstyle=x](0,0)
\psdots[dotstyle=x](1,0)
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{ExoF}

\Rq{
Il serait donc intéressant d'orienter les angles, mais ce sera pour un autre chapitre.
}

\Question{
  Quel nouveau nombre venez-vous de construire à la règle et au compas ? Savez-vous en construire d'autres 
  de ce type ?
}

\newpage


\section{Les nombres rationnels}
\subsection{Construction}
Nous pouvons placer $\dfrac{1}{2}$ en construisant à l'aide de la règle et du compas la
médiatrice de $[OI]$ :

\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=|,dotsize=4pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.4,-1.2)(2.46,1.14)
\psplot{-1.4}{2.46}{(-0-0*x)/0.99}
\psline{->}(-1.4,0)(2.46,0)
\rput[tl](-0.16,-0.1){$0$}
\rput[tl](1.16,-0.1){$1$}
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(1,0){2}
\psline(0.49,-1.2)(0.49,1.14)
\rput[tl](0.55,-0.1){$\dfrac{1}{2}$}
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots[dotstyle=*](0.49,0.87)
\psdots[dotstyle=*](0.49,-0.87)
\end{pspicture*}
\end{center}

Supposons que l'on souhaite à l'aide de la règle et du compas diviser le segment $[OI]$ en $5$.
On va utiliser le théorème  de Thalès, mais pour commencer on place n'importe où un point $J$ et sur la demi-droite $[OJ)$ 
on remporte $5$ fois la longueur $OJ$ :
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=4pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.74,-0.29)(5.59,10.3)
\psline(-1.52,0.56)(3.4,2.84)
\psline(-1.52,0.56)(-0.9,2.32)
%\pscircle(-0.9,2.32){1.87}
\psplot{-1.52}{5.59}{(--3.02--1.76*x)/0.62}
%\pscircle(-0.28,4.08){1.87}
%\pscircle(0.34,5.84){1.87}
%\pscircle(0.96,7.6){1.87}
\psdots[dotstyle=x](-1.52,0.56)
\rput[bl](-2.06,0.55){$O$}
\psdots[dotstyle=x](3.4,2.84)
\rput[bl](3.52,2.95){$I$}
\psdots(-0.9,2.32)
\rput[bl](-1.4,2.44){$J$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.28,4.08)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.34,5.84)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.96,7.6)
\psdots(1.58,9.36)
\rput[bl](1.9,9.45){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On veut alors construire la parallèle à $(AI)$ passant par $J$, car d'après Thalès,
elle coupera le segment $[OI]$ au cinquième de sa longueur.\\
Pour cela, on construit donc le parallélogramme $AIJB$ au compas.\\
On a bien $(AI) // (JB)$. On prolonge $(JB)$, elle coupe $[OI]$ en $C$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=4pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.15,-0.53)(6.31,10.66)
\psline(-1.52,0.56)(3.4,2.84)
\psline(-1.52,0.56)(-0.9,2.32)
\psplot{-1.52}{6.31}{(--3.02--1.76*x)/0.62}
\psline(1.58,9.36)(3.4,2.84)
\psplot{-5.15}{6.31}{(-1.65-6.52*x)/1.82}
\psline(-0.9,2.32)(3.4,2.84)
\psplot{-5.15}{6.31}{(--39.43--0.52*x)/4.3}
\psdots[dotstyle=x](-1.52,0.56)
\rput[bl](-2.03,0.31){$O$}
\psdots[dotstyle=x](3.4,2.84)
\rput[bl](3.52,2.95){$I$}
\psdots(-0.9,2.32)
\rput[bl](-1.4,2.2){$J$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.28,4.08)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.34,5.84)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.96,7.6)
\psdots(1.58,9.36)
\rput[bl](1.9,9.45){$A$}
\psdots[dotstyle=+](-2.72,8.84)
\rput[bl](-2.6,8.95){$B$}
\psdots[dotstyle=+](-0.54,1.02)
\rput[bl](-0.23,0.7){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le théorème de Thalès nous assure alors que :
$$ \dfrac{OC}{OI}=\dfrac{OJ}{OA}=\dfrac15 \Longleftrightarrow OC=\dfrac{1}{5}OI$$

On sait donc placer $\dfrac{1}{5}$ sur la droite graduée, et donc en reportant la 
longueur $\dfrac{1}{5}$ on peut placer $ \dfrac{2}{5}$, puis $ \dfrac{3}{5}$, etc...

\Question{
En appliquant la méthode précédente construire à l'aide de la règle et du compas le nombre $ \dfrac{5}{3}$. %On commencera par construire $\dfrac{1}{3}$.  
}


Ainsi on sait construire n'importe quel quotient de deux nombres entiers.

\begin{defi}
L'ensemble des nombres rationnels se note $\Q$ et repr\'esente l'ensemble des nombres pouvant 
s'\'ecrire comme le quotient de deux entiers : $\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \, \textrm{ o\`u } 
\, a\in\Z \,et\, b\in \Z^*\right\}$
\end{defi}




\Rq{$Z^*$ représente l'ensemble des entiers relatifs privé de $0$.\\
$b\in\Z^*$ car on ne peut pas diviser par 0.\\
Tous les entiers relatifs $a$ peuvent s'\'ecrire $a=\dfrac{a}{1}$, donc sont des rationnels. 
On a $\N \subset \Z \subset \Q$.
}

\newpage



\subsection{Application : coordonnées du milieu d'un segment dans un repère du plan}

Soit $(O,I,J)$ un repère orthonormé du plan et deux points $A$ et $B$ de coordonnées 
respectives $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$.\\
On cherche à trouver une formule pour calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$.

\begin{act}\\
\partieBac{Cas $y_A=y_B$}
\begin{minipage}{8cm}
 \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(4,3)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2)(6,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(4,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-1,1)
\rput[bl](-0.96,1.11){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](3,1)
\rput[bl](3.05,1.11){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](0.98,0.16){\blue{$I$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](-0.23,1.17){\blue{$J$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.25,-0.25){\blue{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Placer le milieu $K$ de $[AB]$ au compas.
 \item Lire les coordonnées de $A$, $B$ et $K$.
 \item Que constatez-vous ?
       \end{enumerate}
 \item On cherche à démontrer notre constat. \\
 Pour cela, on note $A(x_A;y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $K(x,y)$.\\
De plus, on a $y_A=y_B$ et $x_A<x_B$.
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi $y=y_A=y_B$.
  \item Exprimer la distance $AK$ en fonction de $x_A$ et $x$.
  \item Exprimer la distance $BK$ en fonction de $x_B$ et $x$.
  \item En déduire $x$. 
  \end{enumerate}
 \item Les formules trouvées changent-elles si $x_B<x_A$ ?
 \end{enumerate}
\end{minipage}
\\\\

\noindent \partieBac{Cas $x_A=x_B$}
Faire un dessin et en s'inspirant de la partie A, écrire un énoncé qui permettrait de traiter
le cas $x_A=x_B$.\\\\

\noindent \partieBac{Cas $x_A\neq x_B$ et $y_A \neq y_B$}
\begin{minipage}{8cm}
 \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(4,3)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2)(6,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(4,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-1,1)
\rput[bl](-0.96,1.11){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](3,2)
\rput[bl](3.05,2.11){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](0.98,0.16){\blue{$I$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](-0.23,1.17){\blue{$J$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.2,-0.17){\blue{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Placer le milieu $K$ de $[AB]$ au compas.
 \item Lire les coordonnées de $A$, $B$ et $K$.
 \item Quelle conjecture pouvez-vous faire ?
\end{enumerate}
\item On cherche à démontrer notre constat. 
Pour cela, on note $A(x_A;y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $K(x,y)$.\\
De plus, on a $x_A<x_B$ et $y_A<y_B$.
\begin{enumerate}
  \item Placer $D(x_B,y_A)$ et $E$ le milieu de $[AD]$.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer les coordonnées de $E$.
   \item Expliquer pourquoi $(KE) // (BD)$. 
   \item En déduire $x$.
  \end{enumerate}
  \item Reproduire la méthode précédente pour déterminer $y$,
  en utilisant le milieu $F$ de $[BD]$.
  \end{enumerate}
 \textit{La démonstration des autres cas $x_A>x_B$ et/ou $y_B>y_A$ se traitent de même, et on 
 retrouve les mêmes formules.}
    \end{enumerate}
\end{minipage}\\\\

\noindent\partieBac{Récapitulatif}
\begin{enumerate}
 \item Les formules trouvées dans la partie C sont-elles encore valables pour les cas 
 $x_A=x_B$ et $y_A=y_B$ ? 
   \item Cette démonstration reste-t-elle valable si le repère n'est pas orthonormé ?
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{prop}
 On considère dans le plan muni d'un repère $(O,I,J)$ les points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$.\\
Alors le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $K\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
\end{prop}


\Rq{
Il s'agit de la \textbf{moyenne} de chacune des coordonnées.
}

\textbf{\underline{Illustrations dans un repère orthonormé} :}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$A\left(-\dfrac32;\dfrac32\right)$ et $B\left(3;\dfrac32\right)$\\
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-1.5000,1.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](3,1.5000)
\uput{0.1500}[90](-1.5000,1.5000){$A$}
\uput{0.1500}[65](3,1.50000){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.75000,1.5000)
\uput{0.1500}[90](0.75000,1.50000){$K$}
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-1.5000,1.50000)(3,1.5000)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dl](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}\\
$K\left(\dfrac34;\dfrac32\right)$

$A\left(-2;\dfrac12\right)$ et $B\left(\dfrac52;3\right)$\\
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-2,0.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.5000,3)
\uput{0.2000}[130](-2,0.5000){$A$}
\uput{0.3000}[90](2.5000,3){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.500,0.5000)
\uput{0.2000}[-40](2.500,0.5000){$D$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](0.2500,0.5000)
\uput{0.2000}[-40](0.25000,0.5000){$E$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.50](2.5000,1.750)
\uput{0.3000}[-40](2.5000,1.7500){$F$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](0.2500,1.750)
\uput{0.3500}[60](0.2500,1.7500){$K$}
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2,0.5000)(2.5000,3)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=green]{-}(-2,0.5000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=green]{-}(2.5000,3)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linestyle=dashed, linecolor=cyan]{-}(0.25000,-0.5000)(0.2500,3.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linestyle=dashed, linecolor=cyan]{-}(-1.5000,1.75000)(3.500,1.75000)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dr](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}\\
$K\left(\dfrac14;\dfrac74\right)$
\end{center}
\end{multicols}


\begin{ExoC}
 Le plan est rapporté à un repère $(O,I,J)$. 
 On considère les points $E(-3,\sqrt{2})$, et $F(2,-\sqrt{2})$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées du milieu $A$ de $[EF]$.
  \item Calculer les coordonnées de $B$ tel que $E$ soit le milieu de $[BF]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoC}

\Question{Peut-on contrôler les résultats à l'aide d'une figure à la règle et au compas ?
}

\newpage
\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on donne les points $A(-3;-4)$, $B(7;-4)$ et $C(5,2)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[OB]$
  \item Calculer les coordonnées du milieu $L$ de $[AC]$
  \item Contrôler les résultats à l'aide d'une figure.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé, $A\left(\dfrac12 ; \dfrac23 \right)$, $B\left(2 ; \dfrac34 \right)$ 
 et $C\left(-1 ; \dfrac12 \right)$
 sont trois points.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$.
  \item Les points $B$ et $C$ sont-ils symétriques par rapport au point $A$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on donne les points $A(2;5)$ et $B(-5;1)$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire une figure.
  \item Calculer les coordonnées du point $M$ tel que $O$ soit le milieu de $[AM]$
  \item Calculer les coordonnées du point $N$ tel que $A$ soit le milieu de $[BN]$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  Dans un repère orthonormé, on donne les points $R(-1;4)$, $S(5.5;-1.5)$, $T(4.5;3)$
  et $U(0;-0.6)$.\\
  Le quadrilatère $RSTU$ est-il un parallélogramme ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  Dans un repère orthonormé, on donne les points $M(-1;2)$, $N(5,4)$ et $P(2;-3)$.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer les coordonnées du point :
  \begin{enumerate}
   \item $Q$ tel que $MNPQ$ soit un parallélogramme.
   \item $R$ tel que $MRNP$ soit un parallélogramme.
  \end{enumerate}
\item Démontrer que $M$ est le milieu de $[RQ]$ :
\begin{enumerate}
 \item Avec les coordonnées.
 \item Sans les coordonnées.
\end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{ExoF}


\newpage

\section{Les nombres réels}

\subsection{Définition}

Vous connaissez d'autres nombres que ceux pouvant s'écrire sous la forme d'un quotient d'entiers.\\
Ainsi, c'est le cas de  $\sqrt{2}$ (admis). \\
Par conséquent $\sqrt{2}\notin \Q$,
de même que $\sqrt{3} \notin Q$, ou $\sqrt{5}\notin \Q$, ou encore $\sqrt{6}\notin \Q$. 
En revanche $\sqrt{4}=2=\dfrac{2}{1}\in \Q$. 


\Question{
Quel autre irrationnel n'étant pas une racinne carré connaissez-vous ?}

\Sol{
$\pi$. On appelle ce nombre un nombre irrationnel transcendant !
}

\begin{defi}
Les nombres ne pouvant pas s'écrire sous la forme de quotient d'entiers s'appellent les nombres 
\textbf{irrationnels}. \\
L'ensemble des nombres \textbf{r\'eels} se note $\R$ et repr\'esente l'ensemble des nombres 
que vous connaissez aujourd'hui, à savoir la réunion des rationnels et des irrationnels
\footnote{Il en existe bien d'autres, bien plus même. On les appelle les nombres \textbf{imaginaires} ou \textbf{complexes}.\\
Vous les découvrirez peut-être au lycée suivant votre orientation.}. \\
Géométriquement, on peut représenter $\R$ par la droite $(OI)$ entière (il n'y a pas de trou).\\
En effet, dans le repère $(O,I)$, l'abscisse de n'importe quel point de la droite est un nombre réel et réciproquement. \\
C'est pourquoi on appelle parfois $(OI)$ la \textbf{droite des réels}.
\end{defi}

\begin{prop}
Tous les nombres rationnels sont r\'eels. On a $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$. 
\end{prop}

\newpage

\subsection{Construction des racines carré}

\begin{act}
 \begin{enumerate}
  \item Suivre le protocole de construction suivant, \textbf{à la règle et au compas} :
  \begin{enumerate}
   \item Construire un repère orthonormé $(O,I,J)$
   \item Dans ce repère, placer le point $A(-1,0)$ et $B(7,0)$.
   \item Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$ puis le placer.
   \item Tracer un demi-cercle $\mathscr C$ de centre $K$ et de diamètre $[AB]$.
    \item On appelle $C$ le point d'intersection de $\mathscr C$ et de l'axe $(OJ)$.\\
    Tracer le triangle $ABC$
   \begin{center}
    \fbox{\textbf{STOP PROF}}
   \end{center}
  \end{enumerate}
 \item Recherche de la longueur $[OC]$ :
 \begin{enumerate}
  \item Donner les longueurs $OA$, $OB$ et $AB$.
  \item Trouver les trois triangles rectangles tracés dans cette figure.
  \item En déduire les trois égalités de Pythagore correspondantes.
  \item En déduire $OC$.
     \begin{center}
    \fbox{\textbf{STOP PROF}}
   \end{center}
 \end{enumerate}
\item Adapter le protocole de la question 1 pour construire $\sqrt{10}$
 \end{enumerate}
\end{act}


\subsection{What about $\pi$ ??}

Certains nombres, comme $\pi$, sont irrationnels et on sait qu'ils sont non constructibles
à la règle et au compas. 
Il n'existe aucune construction permettant d'obtenir un segment de longueur $\pi$ 
en utilisant juste une règle et un compas. 
Mais ce résultat est bien trop complexe pour être développé en classe de seconde.

\newpage
\subsection{Application : distance dans un repère orthonormé du plan}


\begin{act}
Soit $(O,I,J)$ un repère \textbf{orthonormé} du plan et deux points $A(-2,1)$ et $B(3,4)$.\\
On cherche une méthode pour calculer la distance $AB$.
\begin{enumerate}
 \item Construire la figure à la règle et au compas.
 \item Tracer la parallèle à $(OI)$ passant par $A$, puis la parallèle à $(OJ)$ passant par $B$.\\
 Elles se coupent en $C$.
      \begin{center}
    \fbox{\textbf{STOP PROF}}
   \end{center}
   \item Lire les coordonnées de $C$.
 \item Donner les longueurs $AC$ et $BC$.
 \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier.
 \item En déduire la longueur $AB$.
       \begin{center}
    \fbox{\textbf{STOP PROF}}
   \end{center}
   \item On donne cette fois deux points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$.\\
   Conjecturer une formule donnant la longueur $AB$ en fonction des coordonnées de $A$ et $B$.
\end{enumerate}
\end{act}


\begin{prop}
On considère un repère \textbf{orthonormé} $(O,I,J)$ du plan et les points 
$A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. On a 
$$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$$
Autrement dit, la distance entre les points $A$ et $B$ est :
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
(l'unité de longueur étant celle commune aux deux axes)
\end{prop}

\Expl{
\begin{minipage}{7cm}
Avec $A\left(-2;\dfrac12\right)$ et $B\left(\dfrac52;3\right)$
\begin{eqnarray*}
AB^2 &=&\left(\dfrac52-(-2)\right)^2+\left(3-\dfrac12\right)^2\\
&=&4.5^2+2.5^2\\
&=&26.5\\
AB&=& \sqrt{26.5} \simeq 5.1 
\end{eqnarray*}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\textbf{\underline{Illustration} :}\\
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-1.2)(4.2,4.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=2pt, gridcolor=lightgray, griddots=4, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-1)(4,4)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}

\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](-2,0.5000)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.5000,3)
\uput{0.2000}[140](-2,0.5000){$A$}
\uput{0.3000}[90](2.5000,3){$B$}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.5](2.500,0.5000)
\uput{0.2000}[20](2.500,0.5000){$C$}

\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2,0.5000)(2.5000,3)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(-2,0.5000)(2.500,0.5000)
\pcline[linewidth=1pt, linecolor=red]{-}(2.5000,3)(2.500,0.5000)

\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,ticksize=2pt -2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
 \uput[dr](1,0){\small $I$}
 \uput[dl](0,1){\small $J$}
 \uput[dl](0,0){\small $O$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
}

\begin{ExoC}
 Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-1,1)$, $B(3,2)$, $C(-2,5)$ et
 $D(2,6)$.\\
 Démontrer dans l'ordre que  $ABCD$ est :\\
   $\ast$ un parallélogramme \qquad\qquad\qquad
   $\ast$ un losange \qquad\qquad\qquad
   $\ast$ un rectangle \qquad\qquad\qquad
   $\ast$ un carré 
\end{ExoC}

\newpage



\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-3,-2)$ et $B(5,2)$.
 Calculer la distance $AB$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé, on considère les points $M(3,-2)$, $N(-2,-3)$ et $P(-4,3)$.\\
 Le triangle $MNP$ est-il rectangle ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-5,-2)$, $B(-4,-3)$, $C(-4,-5)$
 et $D(3,-1)$.
   \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les longueurs $DA$, $DB$, $DC$.
  \item Que peut-on en déduire ?
 \end{enumerate}
   \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Dans repère orthonormé $(O,I,J)$ du plan,
on donne les points $A(-3,0)$, $B(5,-1)$, $C(9,6)$ et $D(1,7)$. 
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont même milieu.\\
  Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
  \item Calculer les longueurs $AB$ et $BC$.\\
  Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
  \item Le quadrilatère $ABCD$ est-il un carré ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill \textbf{Vrai ou Faux ?}\\
 Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère les points $A(-1,3)$ , $B(5,7)$, $C(19,30)$ et $D(5,-5)$.
\begin{enumerate}
 \item Le point $D$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon 10.
 \item Le triangle $DAB$ est isocèle.
 \item Le point $C$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill \textbf{Algo}\\
 On se place dans un repère orthonormé. Pour deux points $A$ et $B$, on souhaite automatiser le calcul de la longueur $AB$.\\
Quel(s) est (sont) le(s) algorithme(s) correct(s) ?\\
 \begin{minipage}{5.5cm}
  \Algo{5.5cm}{
    \Entree{
      $x_A$, $y_A$, $x_B$ et $y_B$ sont des nombres réels.
    }
    \Variable{ 
    $c$ et $d$ sont des nombres réels.
    }
    \Deb{
    $c:=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$\\
    $d:=\sqrt{c}$\\
    Renvoyer $d$.
    }
  }
 \end{minipage}\quad 
 \begin{minipage}{5.5cm}
  \Algo{5.5cm}{
    \Entree{
      $x_A$, $y_A$, $x_B$ et $y_B$ sont des nombres réels.
    }
    \Variable{ 
    $c$ et $d$ sont des nombres réels.
    }
    \Deb{
    $c:=(x_B-y_B)^2+(x_A-y_A)^2$\\
    $d:=\sqrt{c}$\\
    Renvoyer $d$.
    }
  }
 \end{minipage}\quad
 \begin{minipage}{5.5cm}
  \Algo{5.5cm}{
    \Entree{
      $x_A$, $y_A$, $x_B$ et $y_B$ sont des nombres réels.
    }
    \Variable{ 
    $c$ et $d$ sont des nombres réels.
    }
    \Deb{
    $c:=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2$\\
    $d:=\sqrt{c}$\\
    Renvoyer $d$.
    }
  }
 \end{minipage}\\
Ecrire sur le même principe un algorithme pour calculer les coordonnées du milieu d'un segment.\\
Pour aller plus loin : Programmer les algorithmes sur votre calculatrice.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$.\\
 On considère les points $A(-5,2)$ et $B(2,y)$. Déterminer les valeurs de $y$ dans les cas suivants :\\
\indent \begin{minipage}{3.5cm}
   $AB=7$    
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.5cm}
   $AB=7\sqrt{2}$   
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.5cm}
       $OA=OB$   
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
  $B$ appartient à la médiatrice de $[IJ]$.
\end{minipage}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}  Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, placer les points $A(-2,0)$ et $B(2,2)$. \hfill \textbf{Cactus}\\
 La perpendiculaire  à la droite $(AB)$ en $B$ coupe l'axe $(IJ)$ en $C$ et l'axe $(OI)$ en $D$.
 \begin{enumerate}
  \item Placer les points $C$ et $D$.
  \item Déterminer les coordonnées de $C$ et $D$ par le calcul 
  %\footnote{Placer $C(0,y)$ et   utiliser le théorème de Pythagore.}.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, placer les points $A(2,5)$ et $B(4,1)$. \hfill \textbf{Cactus}\\
  Existe-t-il un ou des points $C$ de l'axe des ordonnées tels que $ABC$ soit isocèle en $A$ ?
\end{ExoF}


\begin{ExoF}  On veut approvisionner en eau deux réservoirs $A$ et $B$. \hfill \textbf{Problème ouvert}\\
 Pour cela, on peut les relier par des tuyaux à deux canaux d'irrigation $C_1$ et $C_2$,
 perpendiculaires entre eux. \\
 Le réservoir $A$ est situé à $2.6$ km à l'est de $C_1$ et à $3.4$ km au nord de $C_2$.\\
 Le réservoir $B$ est situé à $5.3$ km à l'est de $C_1$ et à $2.8$ km au nord de $C_2$.\\
  \begin{minipage}{8cm}
%\begin{center}
 \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(6,4)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=0pt 0]{-}(0,0)(-1,-0.5)(6,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](0,2.8)(5.3,2.8)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](5.3,2.8)(5.3,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](2.6,0)(2.6,3.4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=blue](0,3.4)(2.6,3.4)
\rput[tl](-0.5,3){\rotatebox{90}{Canal $C_1$}}
\rput[tl](4.03,-0.14){Canal $C_2$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](2.6,3.4)
\rput[bl](2.64,3.51){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](5.3,2.8)
\rput[bl](5.35,2.91){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](1,0)
\uput{0.2000}[-90](1,0){1}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x](0,1)
\uput{0.2000}[180](0,1){1}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
%\end{center} 
 \end{minipage} 
 \begin{minipage}{11cm}
 On peut :
 \begin{itemize}
  \item soit relier chaque réservoir à un des deux canaux, 
  \item soit relier un réservoir à un des deux canaux et approvisionner le second réservoir en le reliant
  au premier.
 \end{itemize}
  Bien entendu, chaque liaison envisagée sera effectuée en ligne droite.
  \begin{enumerate}
   \item Coder la figure ci-contre.
   \item Déterminer la longueur minimale de tuyau nécessaire.
  \end{enumerate}
 \end{minipage}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}  
 Démontrer que si $ABC$ est un triangle isocèle en $A$, alors
 il a deux médianes de même longueur \footnote{On pourra utiliser un repère orthonormé
  d'origine $I$, milieu de $[BC]$.}\\
 Réciproquement, démontrer que si un triangle a deux médianes de même longueur, alors il est isocèle.
\end{ExoF}


\section{En Bref}

\Cadre[R\'esum\'e sur les ensembles de nombres]{
L'ensemble des nombres \textbf{entiers positifs ou nuls} se note $\N$. On a 
$$\N=\{0;1;2;3;4;5;...\}$$
Les \'el\'ements de $\N$ sont les \textbf{entiers naturels}. \newline\\

L'ensemble des nombres \textbf{entiers positifs et n\'egatifs} se note $\Z$. On a 
$$\Z=\{\dots; -4;-3;-2;0;1;2;3;\dots\}$$
Les \'el\'ements de $\Z$ sont les  \textbf{entiers relatifs}.\newline\\

L'ensemble des nombres pouvant s'\'ecrire comme le \textbf{quotient de deux entiers} se note $\Q$. On a 
$$\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \, \textrm{ o\`u } \, a\in\Z \,et\, b\in \Z^*\right\}$$
Les \'el\'ements de $\Q$ sont les \textbf{rationnels}.\newline\\

L'ensemble des \textbf{nombres connus en seconde} (rationnels et irrationnels) se note $\R$.\\
Les éléments de $\R$ sont les \textbf{réels}.

On a :
$$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$$
}

\vspace{0.5cm}


\Cadre[R\'esum\'e sur le repérage]{
Trois points \textit{non alignés} $O$, $I$ et $J$ définissent un \textbf{repère} du plan, 
 noté $(O,I,J)$ :
    \begin{itemize}
      \item Le premier point indique l'\textbf{origine} du repère : $O$
      \item Le deuxième point indique l'unité sur l'axe des \textbf{abscisses} : $OI=1$ dans la direction de $(OI)$
      \item Le troisième point indique l'unité sur l'axe des \textbf{ordonnées} : $OJ=1$ dans la direction de $(OJ)$
    \end{itemize}
  Si les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont \textit{perpendiculaires}, alors le repère est dit \textbf{orthogonal}\\
  Si les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont \textit{perpendiculaires} et $OI=OJ$ alors le repère est dit \textbf{orthonormé}.\\\\

Dans un repère $(O,I,J)$ du plan, on donne les points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$. Alors :
\begin{itemize}
 \item Le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées 
 $$K\left(\dfrac{x_A+x_B}2 ; \dfrac{y_A+y_B}2 \right)$$
 \item Si le repère est orthonormé, la distance $AB$ vaut 
 $$AB= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
\end{itemize}
}

\end{document}