\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
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\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{5}


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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{empty}

\section{Décrire une expérience aléatoire}
\subsection*{Petits problèmes d'introduction}

\Pbl[Jeu du lièvre et de la tortue]{
Le jeu consiste à affronter un lièvre et une tortue pour parcourir
un plateau de \textbf{6 cases}, selon les règles suivantes :
\begin{itemize}
 \item On lance un dé équilibré à 6 faces,
 \item Si le 6 sort, le lièvre avance directement de 6 cases (et donc gagne) ; 
 \item Sinon, la tortue avance d'\textbf{une} case. 
 \item Le jeu continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant.
\end{itemize}
Quelle est la situation la plus enviable, celle du lièvre ou de la tortue ?\\
A quel point ?
}

\vspace{1.5cm}

\Pbl[Jeu des portes]{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elles
se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. 
Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux mauvaises portes, tout en conservant celle choisie par le candidat. 
Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
\newline 
Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ?  \\
Quelles sont ses chances de gagner dans le premier cas, et dans le deuxi\`eme ?
}

\vspace{1.5cm}

\Pbl[Le problème du Duc de Toscane]{
A la cour de Florence au début du $XVII^e$ siècle, de nombreux jeux de société étaient alors pratiqués. 
Parmi ceux-ci, l’un faisait intervenir la somme des numéros sortis lors du lancer de trois dés. \\
Le Duc de Toscane, qui avait sans doute observé un grand nombre de parties de ce jeu, 
avait constaté que la somme 10 était obtenue légèrement plus souvent que la somme 9 mais il ne comprenait pas
pourquoi et exposa son problème à Galilée.\\
\textit{C'est le début de l'étude des probabilités et c'est pourquoi le vocabulaire
fait parfois référence à celui des jeux.} \\
Et vous, que pensez-vous de ce problème ?
}

\vspace{1.5cm}

\Pbl[des Anniversaires]{A votre avis, quelle est la probabilité que sur l'ensemble des élèves de seconde du lycée, 
deux personnes (non jumelles) aient leur anniversaire le même jour de l'année ?  \\
Dans un groupe de 60 personnes ? Dans un groupe de 30 personnes ?\newline 
A votre avis, combien doit-on réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe
aient leur anniversaire le même jour de l'année ? 
} 


\newpage

\subsection{Modéliser une expérience aléatoire}
\begin{act}
 Un sac contient huit boules : 3 vertes (V), 2 bleues (B), 1 rouge (R) et 2 noires (N).\\
On tire une boule au hasard et on note sa couleur.\\
Compléter le tableau suivant, modélisant cette expérience :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|C{2cm}*{5}{|C{1cm}}|}\hline
  Résultats & V &  &  &  & Total \tabularnewline\hline
  Probabilités &  &  &  &  & \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{act}

\begin{defi}
\textbf{Modéliser} une expérience aléatoire, c'est décrire tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire
et choisir leurs probabilités de réalisation afin de représenter au mieux la réalité.\\
On présente souvent les résultats dans un tableau :
\begin{itemize}
 \item La première ligne contient \\
 \item la seconde contient 
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{ExoC}
 Modéliser l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux pièces de monnaie et regarder les faces obtenues
 (P ou F).
\end{ExoC}

\vspace{2.5cm}

\Rq{Dans le jeu du Duc de Toscane, les issues possibles sont \\
}




\subsection{Vocabulaire}
\noindent \begin{tabular}{|L{7cm}|C{5.5cm}|C{5.5cm}|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Vocabulaire}} & \textbf{Exemple 1} & \textbf{Exemple 2} \tabularnewline\hline
 \textbf{Exp\'erience al\'eatoire} : \\ Processus dont le r\'esultat est incertain \\(mais dont on peut prévoir 
le type) & Lancer un dé cubique et on regarde le numéro obtenu & Lancer deux pièces de monnaie et on regarde les faces obtenues \tabularnewline\hline
\textbf{Eventualit\'e} ou \textbf{Issue} : \\ R\'esultat possible d'une exp\'erience al\'eatoire  & 
\og Obtenir $6$ \fg  \\ noté $6$ & \og Obtenir deux fois Pile \fg \\noté PP \tabularnewline\hline 
\textbf{Univers} :\\ Ensemble de toutes les issues d'une exp\'erience al\'eatoire. \\
On le note souvent $\Omega$. &\flushleft{$\Omega=\Big\{ ...$}  & \flushleft{$\Omega=\Big\{ ...$} \tabularnewline\hline 
\textbf{Ev\'enement} : \\ Ensemble d'issues de l'univers. \\
(partie ou sous ensemble de $\Omega$)
& $A:$ \og Obtenir un numéro Pair \fg \\
\flushleft{$A=\Big\{...$} & $B :$\og  Obtenir \textbf{au moins} une fois pile\,\fg \\ 
\flushleft{$B=\Big\{...$}
\tabularnewline\hline 
\end{tabular}


\begin{ExoC}
 On lance deux dés à $6$ faces et on regarde la somme des faces obtenues. 
Proposer deux univers possibles pour décrire cette expérience.
\end{ExoC}


\newpage

\subsection{Loi de probabilité}

\begin{act}
Un sac rouge contient trois boules numérotées 1, 2 et 3.\\
Un sac bleu contient quatre boules numérotées 0, 1, 2 et 3.\\
On tire une boule dans chaque sac et on calcule la somme des deux numéros.\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau ci-contre.
 \item En déduire l'univers $\Omega$ de cette expérience.
 \item Déterminer la loi de probabilité de cette expérience sous forme d'un tableau.
 \item Que vaut la somme des probabilités des issues ?
 \item Quel est l'événement le plus probable (expliquer) : 
 \begin{itemize}
  \item[] A : \og Obtenir une somme supérieure ou égale à 5 \fg
  \item[ou] B : \og  Obtenir une somme supérieure ou égale à 2 \fg ?
 \end{itemize}
\end{enumerate}
 \end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|C{1cm}*{4}{|C{1.5cm}}|}\hline
 \multicolumn{2}{|c|}{\multirow{2}{*}{\textbf{Somme}}} & \multicolumn{3}{c|}{\textbf{Sac rouge}} \\\cline{3-5}
 \multicolumn{2}{|c|}{} & 1 & 2 & 3\tabularnewline\hline
 \multirow{4}{*}{\rotatebox{90}{\textbf{Sac Bleu}}} & 0 & & & \\\cline{2-5}
 & 1 & & & \\\cline{2-5}
 & 2 & & & \\\cline{2-5}
 & 3 & & & \\\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}

%Activités 4-5 p 240 de l'hyperbole pour une séance révision. 
\end{act}

\vspace{7cm}

\begin{defi}
On considère une expérience aléatoire d'univers $\varOmega=\left\{\omega_1;\omega_2;\dots ; \omega_n\right\}$ 
($n$ issues possibles). \\
Définir une \textbf{loi de probabilité} $P$ sur $\varOmega$ c'est associer à chaque éventualité $\omega_i$ 
une probabilité $p_i$ de sorte que 
\begin{itemize}
 \item ~\\
 \item ~\\
\end{itemize}
De plus, la probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, doit être \\\\
 \end{defi}

\Rqs{
\item On a $P(\Omega)=$.
\item Par convention, on pose $P(\emptyset)=$.
 \item  Pour tout événement $A$, on a $\qquad\leq P(A) \leq \qquad$.
\item Il ne faut pas confondre un événement $A$ qui est un ensemble d'issues de l'expérience et 
sa probabilité $P(A)$ qui est un nombre de l'intervalle $[0;1]$.}

\newpage

\begin{ExoC}
Soit un dé truqué dont les probabilités des faces d'apparitions sont donnés par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ 0,05$ & $ 0,05 $ & $ 0,1$ & $ 0,1 $ & $ 0,2 $ & $a$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'éventualité : \og le dé tombe sur 6 \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $A=$\og obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $B=$\og obtenir un nombre premier \fg.
\item Calculer la probabilité de l'événement $C=$ \og obtenir un nombre pair \fg.\\
\end{enumerate}  
\end{ExoC}

\subsection{L'équiprobabilité}

\begin{defi}
Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité, 
on dit qu'il y a  \\
ou encore que la loi de probabilité est 
\end{defi}

\begin{propo}
Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
$$ P(A)=\dfrac{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$$ 
\end{propo}

\begin{ExoC}
Dans un jeu de 32 cartes, déterminer la probabilité de piocher :
\begin{itemize}
 \item le valet de coeur 
 \item un valet
 \item un coeur
\end{itemize}
\end{ExoC}


\newpage

\section{Intersection, réunion et complémentaire}

\subsection{Vocabulaire et notations}
 



\begin{act}
On dispose de deux urnes $1$ et $2$ contenant 12 boules chacune.\\
L'urne $1$ contient 6 boules rouges et 6 boules jaunes.\\
L'urne $2$ contient 6 boules rouges, 4 boules bleues et 2 boules jaunes.\\
Un jeu consiste à choisir une première boule dans l'urne $1$, puis une seconde boule dans l'urne $2$.\\
On s'intéresse aux couleurs obtenues et on décrit les issues de ce jeu par 
un couple de couleurs (ordonnées).\\
\textit{Par exemple, le résultat $(J;R)$ signifie que la première boule tirée est jaune, et que la seconde 
est rouge.}
%}
\begin{enumerate}
 \item Décrire l'issue $(R;B)$ par une phrase.\\
 $(R;B) : \og ...$
 \\
  \item Déterminer l'univers $\Omega$ de cette expérience.\\
  $\Omega=\Big\{ ...$
 \\
%\item  Donner le nombre d'éléments de l'univers.
 \item Donner les issues qui réalisent les événements suivants, en complétant ci-dessous :
 \begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item A$=\og$ obtenir une boule jaune au $1^{er}$ tirage \fg \\
\item B$=\og$ obtenir une boule bleue exactement \fg \\
 \item C$=\og $ obtenir au moins une boule rouge \fg  \\
 \item D$=\og$ obtenir au plus une boule rouge \fg  \\
 \item E$=\og$ obtenir deux boules rouges \fg  \\
 
\item[] A=$\Big\{ ...$ \\
 \item[] B=$\Big\{ ...$\\
 \item[] C=$\Big\{ ...$\\
 \item[] D=$\Big\{ ...$\\
\item[] E=$\Big\{ ...$\\
\end{itemize}
 \end{multicols}
\item \begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble des issues de l'univers qui ne sont pas dans A,  noté $\overline{A}$ \hfill(se lit \og A barre \fg). \\
 $\overline{A}=\Big\{  ...$

 \item Décrire ce nouvel événement par une phrase.\\\\
\item Décrire par une phrase l'événement $\overline{B}$ puis l'événement $\overline{C}$\\
 $\overline{B} : \og ...$\\\\\\
 $\overline{C} : \og ...$\\\\
%\item Donner l'ensemble des issues qui réalisent $\overline{B}$, puis celles qui réalisent $\overline{C}$\\
%$\overline{B} =\Big\{  ...$\\\\
%$\overline{C} =\Big\{  ...$
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer l'ensemble des issues de l'univers communes à A et B,  noté A $\cap  $ B \hfill(se lit \og A inter B \fg)\\
       A$\cap $ B $=\Big\{ $
 \item Décrire ce nouvel événement par une phrase.\\\\
 \item Décrire par une phrase l'événement A $ \cap$ D.\\
A $\cap $ D : \og ... 
%\\\\
%\item Déterminer l'ensemble des issues composant A $\cap $ D.\\
%A $\cap $ D $=\Big\{ ...$ 
  \item Déterminer l'ensemble des issues composant A $\cap $ E puis $A \cap \overline{A}$\\\\
%\item Donner deux autres événements incompatibles parmi les précédents.\\
\item Décrire par une phrase C $\cap $ E puis déterminer l'ensemble des issues composant cet événement.\\
C $\cap $ E : \og ... 
\\\\\\
C $\cap $ E $=\Big\{ ...$ 
%\item Donner deux événements parmi les précédents dont l'un est inclus dans l'autre.
      \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item A votrer avis, comment traduire par une phrase l'événement A $\cup $ B ?\\\\\\
\item Déterminer l'ensemble des issues composant A $\cup $ B.\\\\
 \item Déterminer l'ensemble des issues de $A \cup \overline{A}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{1.5cm}

\noindent Soient $\Omega$ un univers, et $A$ et $B$ des événements de $\Omega$. \\

\noindent \begin{tabular}{|C{2cm}|C{4.5cm}|C{5.5cm}|C{4.8cm}|}\hline 
  \textbf{Notation} & \textbf{Vocabulaire} 
   & 
  \textbf{Définition} 
   & \textbf{Illustration} \tabularnewline\hline
   $\overline{A}$ \\~\\ \og A barre \fg  &
   Evénement \textbf{complémentaire} de A\\~\\
   ou encore \\
   Evénement \textbf{contraire} de A
   & Ensemble des issues de l'univers n'appartenant pas à A & 
~\vspace{3.5cm}
\tabularnewline\hline
$A \cap B$ \\~\\
\og A inter B \fg 
& \textbf{Intersection} de $A$ et de $B$  \\~\\
(se traduit dans une phrase en français par \og \textbf{ET} \fg)
& Ensemble des issues de l'univers \textbf{communes} à A et B\\~\\
\textit{donc celles qui réalisent \\
\textbf{A et B}}
& ~\vspace{3.5cm}
\tabularnewline\hline
A $\cup $ B \\~\\
\og A union B \fg
& \textbf{Réunion} de A et B\\~\\
(se traduit dans une phrase en français par \og \textbf{OU} \fg)
& Ensemble des issues de l'univers qui sont dans \textbf{au moins l'un des événements A ou B} \\~\\
\textit{donc celles qui réalisent \\
 \textbf{soit A, soit B, soit les deux}}
& ~\vspace{3.5cm}
\tabularnewline\hline
\end{tabular}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\textbf{Cas particuliers :}
\end{center}
\noindent  \begin{tabular}{|C{2cm}|C{4.5cm}|C{5.5cm}|C{4.8cm}|}\hline 
  \textbf{Notation} & \textbf{Vocabulaire} 
   & 
  \textbf{Conséquence(s)} 
   & \textbf{Illustration} \tabularnewline\hline
$A\cap B=\emptyset$ & $A$ et $B$ sont \textbf{disjoints} \\~ \\ou encore \\ \textbf{incompatibles}.
& On ne peut pas avoir les événements A et B  en même temps.
& ~\vspace{3.5cm}
\tabularnewline\hline
$A\subset B$ \\ A \textbf{inclus} dans B &
A est une \textbf{partie} de B\\~\\ou encore\\ un \textbf{sous-ensemble} de B& 
\flushleft{
$\rightsquigarrow$ Tous les éléments de $A$ sont dans $B$\\
$\rightsquigarrow$ On ne peut pas avoir l'événement A sans l'événement B.\\
$\rightsquigarrow$ $A\cap B = A$ \\
$\rightsquigarrow$ $A\cup B=B$
}
& ~\vspace{3.5cm}
\tabularnewline
\hline
 \end{tabular}

\vspace{1cm}

\begin{ExoC}
Dans un groupe de 500 élèves, 350 pratiquent un sport et 200 font de la musique ; 
100 élèves pratiquent les deux activités.
On note S l'événement \og l'élève fait un sport \fg et M l'événement \og l'élève fait de la musique \fg.
\begin{enumerate}
 \item Représenter la situation par un diagramme.\\\\\\\\\\\\
 \item Décrire par une phrase de chacun des événements suivants :
 \begin{itemize}
  \item $ S \cap M : \og $\\
  \item $ S \cup M : \og $\\
  \item $ \overline{S} : \og $\\
  \item $ \overline{M} : \og $\\
  \item $\overline{S \cap M} : \og $\\
  \item $\overline{S \cup M} : \og$\\
 \end{itemize}
 \item On choisit un élève au hasard. Déterminer la probabilité des événements $S$, $M$ et 
 de chacun des événements précédents.
\end{enumerate} 
\end{ExoC}

\subsection{Quelques propriétés}

\begin{act}
Dans un lycée, il y a $250$ élèves qui font partie de l'association sportive : 
$120$ élèves font partie de la section badminton, 
$90$ de la section football et 
$50$ élèves des deux sections.
\\
On désigne au hasard un élève de l'association sportive, tous les élèves ayant la même chance d'être désignés.
\\
On considère les événements suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $B$ : \og l'élève fait partie de la section badminton \fg ;
\item $F$ : \og l'élève fait partie de la section football \fg.
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Donner $p(B)$ et $p(F)$.\\\\
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer $P(\overline{B})$, puis $P(\overline{F})$. \\\\\\\\
	\item Que constatez-vous ? \\\\\\\\
      \end{enumerate}
\item En vous aidant d'un diagramme, déterminer le nombre d'élèves :\\
  \begin{itemize}
  \item qui pratiquent uniquement du badminton ; \\\\
  \item qui pratiquent uniquement du football ; \\\\
  \item qui ne font ni du badminton, ni du football.\\\\
  \end{itemize}
\item \begin{enumerate}
  \item Définir par une phrase l'événement $B\cap F$, puis calculer $p(B\cap F)$.\\\\\\\\
\item Définir par une phrase l'événement $B\cup F$, puis calculer $p(B\cup F)$.\\\\\\\\
\item Calculer $p(B)+p(F)-p(B\cap F)$. Que constate-t-on ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}


\newpage

\begin{prop}
Pour tout événement $A$ et $B$ on a :
$$ p(A\cup B)=\dots\dots \dots \dots \dots \dots   \dots \dots \dots $$
\end{prop}

\Rqs{
\item On peut également retenir cette propriété sous sa forme :
$$ $$
\item En particulier si les événements $A$ et $B$ sont disjoints (c'est-à-dire si $A\cap B=\emptyset$) on a :
$$ p(A\cup B)=\dots\dots \dots \dots \dots \dots  $$
}

\begin{ExoC}
 On lance un dé équilibré à $20$ faces numérotées de $1$ à $20$. On regarde le numéro de la face obtenue.
\\
Soit $A$ l'événement : \og obtenir un nombre multiple de $5$ \fg et $B$ l'événement : \og obtenir un nombre multiple de $3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(A)$ puis $p(B)$.\\\\
\item Décrire par une phrase $p(A\cap B)$ puis en déduire $p(A\cap B)$.\\\\\\\\
\item Décrire par une phrase $p(A\cup B)$ puis calculer $p(A\cup B)$.\\\\\\\\
\end{enumerate}
\end{ExoC}

\begin{coro}
\begin{itemize}
\item La probabilité de l'événement contraire $\overline{A}$ de $A$ est $P(\overline{A})=1-P(A)$.
\item Si $A\subset B$, alors $P(A)\leq P(B)$
\end{itemize} 
\end{coro}


\begin{ExoC}
 On choisit une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes bien battu. $F$ est l'événement : \og la carte choisie est une figure \fg et $T$ est l'événement : \og la carte choisie est un trèfle \fg.
\begin{enumerate}
\item Donner $p(F)$ et $p(T)$.\\\\
\item Décrire par une phrase les événements $\overline{F}$ et $\overline{T}$ puis 
calculer $p(\overline{F})$ et $p(\overline{T})$.
\end{enumerate}
\end{ExoC}



\end{document}