\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{D\'ecouvrons les nombres r\'eels \linebreak gr\^ace \`a la r\`egle et au compas}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{207}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\pagestyle{empty}

\begin{ExoC}
Dans le repère orthonormé suivant, retrouver à la règle et au compas (si nécessaire)
les coordonnées des points $A$ et $B$ et placer les points $C(-1,1)$ et $D(-5,3)$ :
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=2.cm,yunit=2.cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-3)(2.5,2.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(3.1,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=7pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-3)(2.5,2.5)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-3,-2)
\uput{0.2}[-90](-3,-2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](2,0)
\uput{0.2}[90](2,0){\blue{$A$}}
\uput{0.2}[0](0,1){{$J$}}
\uput{0.2}[90](1,0){{$I$}}
\uput{0.2}[-135](0,0){{$O$}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{ExoC}


\vspace{2cm}

\begin{ExoC}
Toutes les constructions sont à faire à la règle et au compas.
 \begin{enumerate}
  \item Construire un repère orthonormé $(O,I,J)$ tel que $OI=OJ=1$ cm.
  \item Placer les points $A(-4,6)$ , $B(-2,3)$, $C(2,0)$, $D(0,3)$ et $E(2,3)$.
  \item Quelles sont les coordonnées des points $A$ et $B$ dans le repère $(O,C,D)$ ? dans le repère $(O,D,C)$ ?
  \item Quelles sont les coordonnées du point $O$ dans le repère $(E,C,D)$ ? dans le repère $(E,C,B)$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoC}

\vspace{2cm}

\begin{ExoC}
 Le plan est rapporté à un repère $(O,I,J)$. 
 On considère les points $E(-3,\sqrt{2})$, et $F(2,-\sqrt{2})$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées du milieu $A$ de $[EF]$.
  \item Calculer les coordonnées de $B$ tel que $E$ soit le milieu de $[BF]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoC}

\newpage
Soit $(O,I,J)$ un repère orthonormé du plan et deux points $A(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$.\\
On cherche à trouver une formule pour calculer les coordonnées du milieu de $[AB]$.

\begin{act}\\
\partieBac{Cas $y_A=y_B$}
\begin{minipage}{8cm}
 \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(4,3)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2)(6,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(4,3)
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-1,1)
\rput[bl](-0.96,1.11){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](3,1)
\rput[bl](3.05,1.11){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](0.98,0.16){\blue{$I$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](-0.23,1.17){\blue{$J$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.25,-0.25){\blue{$O$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Placer le milieu $C$ de $[AB]$ au compas.
 \item Lire les coordonnées de $A$, $B$ et $C$.
 \item Que constatez-vous ?
       \end{enumerate}
 \item On cherche à démontrer notre constat. \\
 Pour cela, on note $A(x_A;y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$.\\
De plus, on a $y_A=y_B$ et $x_A<x_B$.
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi $y_C=y_A=y_B$.
  \item Exprimer la distance $AC$ en fonction de $x_A$ et $x_C$.
  \item Exprimer la distance $BC$ en fonction de $x_B$ et $x_C$.
  \item En déduire $x_C$. 
  \end{enumerate}
 \item Les formules trouvées changent-elles si $x_B<x_A$ ?
 \end{enumerate}
\end{minipage}
\\\\

\noindent \partieBac{Cas $x_A=x_B$}
Faire un dessin et en s'inspirant de la partie A, écrire un énoncé qui permettrait de traiter
le cas $x_A=x_B$.\\\\

\noindent \partieBac{Cas $x_A\neq x_B$ et $y_A \neq y_B$}
\begin{minipage}{8cm}
 \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(4,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1)(4,3)
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-1,1)
\rput[bl](-0.96,1.11){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](3,2)
\rput[bl](3.05,2.11){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](0.98,0.16){\blue{$I$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](-0.23,1.17){\blue{$J$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](-0.2,-0.17){\blue{$O$}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Placer le milieu $C$ de $[AB]$ au compas.
 \item Lire les coordonnées de $A$, $B$ et $C$.
 \item Quelle conjecture pouvez-vous faire ?
\end{enumerate}
\item On cherche à démontrer notre constat. 
Pour cela, on note $A(x_A;y_A)$, $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$.\\
De plus, on a $x_A<x_B$ et $y_A<y_B$.
\begin{enumerate}
  \item Placer $M(x_B,y_A)$ et $N$ le milieu de $[AM]$.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer les coordonnées de $N$.
   \item Expliquer pourquoi $(CN) // (BM)$. 
   \item En déduire $x_C$.
  \end{enumerate}
  \item Reproduire la méthode précédente pour déterminer $y_C$,
  en utilisant le milieu $P$ de $[BN]$.
  \end{enumerate}
 \textit{La démonstration des autres cas $x_A>x_B$ et/ou $y_B>y_A$ se traitent de même, et on 
 retrouve les mêmes formules.}
    \end{enumerate}
\end{minipage}\\\\

\noindent\partieBac{Récapitulatif}
\begin{enumerate}
 \item Les formules trouvées dans la partie C sont-elles encore valables pour les cas 
 $x_A=x_B$ et $y_A=y_B$ ? 
   \item Cette démonstration reste-t-elle valable si le repère n'est pas orthonormé ?
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage

\begin{act}
 \begin{enumerate}
  \item Suivre le protocole de construction suivant, \textbf{à la règle et au compas} :
  \begin{enumerate}
   \item Construire un repère orthonormé $(O,I,J)$
   \item Dans ce repère, placer le point $A(-1,0)$ et $B(7,0)$.
   \item Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu $K$ de $[AB]$ puis le placer.
   \item Tracer un demi-cercle $\mathscr C$ de centre $K$ et de diamètre $[AB]$.
    \item On appelle $C$ le point d'intersection de $\mathscr C$ et de l'axe $(OJ)$.\\
    Tracer le triangle $ABC$
   \begin{center}
    \fbox{\textbf{STOP PROF}}
   \end{center}
  \end{enumerate}
 \item Recherche de la longueur $[OC]$ :
 \begin{enumerate}
  \item Donner les longueurs $OA$, $OB$ et $AB$.
  \item Trouver les trois triangles rectangles tracés dans cette figure.
  \item En déduire les trois égalités de Pythagore correspondantes.
  \item En déduire $OC$.
     \begin{center}
    \fbox{\textbf{STOP PROF}}
   \end{center}
 \end{enumerate}
\item Adapter le protocole de la question 1 pour construire $\sqrt{10}$
 \end{enumerate}
\end{act}

\vspace{4cm}

\begin{ExoC}
 Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-1,1)$, $B(3,2)$, $C(-2,5)$ et
 $D(2,6)$.\\
 Démontrer dans l'ordre que  $ABCD$ est :\\
   $\ast$ un parallélogramme \qquad\qquad\qquad
   $\ast$ un losange \qquad\qquad\qquad
   $\ast$ un rectangle \qquad\qquad\qquad
   $\ast$ un carré 
\end{ExoC}



\newpage

\Cadre[R\'esum\'e sur les ensembles de nombres]{
L'ensemble des nombres \textbf{entiers positifs ou nuls} se note $\N$. On a 
$$\N=\{0;1;2;3;4;5;...\}$$
Les \'el\'ements de $\N$ sont les \textbf{entiers naturels}. \newline\\

L'ensemble des nombres \textbf{entiers positifs et n\'egatifs} se note $\Z$. On a 
$$\Z=\{\dots; -4;-3;-2;0;1;2;3;\dots\}$$
Les \'el\'ements de $\Z$ sont les  \textbf{entiers relatifs}.\newline\\

L'ensemble des nombres pouvant s'\'ecrire comme le \textbf{quotient de deux entiers} se note $\Q$. On a 
$$\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \, \textrm{ o\`u } \, a\in\Z \,et\, b\in \Z^*\right\}$$
Les \'el\'ements de $\Q$ sont les \textbf{rationnels}.\newline\\

L'ensemble des \textbf{nombres connus en seconde} (rationnels et irrationnels) se note $\R$.\\
Les éléments de $\R$ sont les \textbf{réels}.

On a :
$$\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$$
}

\vspace{1cm}


\Cadre[R\'esum\'e sur le repérage]{
Trois points \textit{non alignés} $O$, $I$ et $J$ définissent un \textbf{repère} du plan, 
 noté $(O,I,J)$ :
    \begin{itemize}
      \item Le premier point indique l'\textbf{origine} du repère : $O$
      \item Le deuxième point indique l'unité sur l'axe des \textbf{abscisses} : $OI=1$ dans la direction de $(OI)$
      \item Le troisième point indique l'unité sur l'axe des \textbf{ordonnées} : $OJ=1$ dans la direction de $(OJ)$
    \end{itemize}
  Si les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont \textit{perpendiculaires}, alors le repère est dit \textbf{orthogonal}\\
  Si les axes $(OI)$ et $(OJ)$ sont \textit{perpendiculaires} et $OI=OJ$ alors le repère est dit \textbf{orthonormé}.\\\\

Dans un repère $(O,I,J)$ du plan, on donne les points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$. Alors :
\begin{itemize}
 \item Le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées 
 $$K\left(\dfrac{x_A+x_B}2 ; \dfrac{y_A+y_B}2 \right)$$
 \item Si le repère est orthonormé, la distance $AB$ vaut 
 $$AB= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
\end{itemize}
}


\end{document}