\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercice

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{Trigonométrie}	
\newcommand{\Cl}{2nde}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
\begin{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutExoDav
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Les exos

\section{Le pentagone régulier}
\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Voici ici une construction à l'aide de la règle non graduée et du compas du pentagone régulier.\\
Reproduire une figure identique, puis en se basant sur le fait que :
$$ \cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$
justifier cette construction.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.34,-4.48)(12.22,5.82)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.34,-4.48)(12.22,5.82)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4,0)(1.24,3.8)(-3.24,2.35)(-3.24,-2.35)(1.24,-3.8)
\psline(5,0)(11,0)
\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1*3*cos(t)+0*3*sin(t)+8|0*3*cos(t)+1*3*sin(t)+0}
\psline(5,0)(6,2.24)
\psline(6,2.24)(11,0)
\rput[tl](6.1,1){$\sqrt{5}$}
\psline(6,0)(6,2.24)
\pscircle(6,0){1}
\rput[tl](6.28,-2.22){Le segment [ED] a pour longueur :}
\rput[tl](8.62,-2.78){$\sqrt{5}-1$}
\pscircle(0,0){4}
\psline(6,1)(6,2.24)
\pscircle[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0){1.24}
\psline(0,0)(6,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1.24,-4.48)(1.24,5.82)
\psline[linecolor=zzttqq](4,0)(1.24,3.8)
\psline[linecolor=zzttqq](1.24,3.8)(-3.24,2.35)
\psline[linecolor=zzttqq](-3.24,2.35)(-3.24,-2.35)
\psline[linecolor=zzttqq](-3.24,-2.35)(1.24,-3.8)
\psline[linecolor=zzttqq](1.24,-3.8)(4,0)
\rput[tl](3.64,5.18){On se base sur le fait que :}
\rput[tl](4.54,4.62){$\cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6,0)
\rput[bl](6.08,0.04){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](11,0)
\rput[bl](11.08,0.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6,2.24)
\rput[bl](5.68,2.24){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6,1)
\rput[bl](6.08,1.04){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,0.04){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.24,0)
\rput[bl](1.32,0.04){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.24,3.8)
\rput[bl](1.32,3.84){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.08,0.04){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.24,2.35)
\rput[bl](-3.16,2.4){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.24,-2.35)
\rput[bl](-3.16,-2.32){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.24,-3.8)
\rput[bl](1.32,-3.76){\darkgray{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item Préciser le signe de $\sin\dfrac{2\pi}{5} $.
\item Sachant que $\cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$, déterminer :
$$\sin\dfrac{2\pi}{5} $$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\section{L'heptagone régulier}

\Exoi{
On se propose de construction une approximation de l'heptagone régulier à l'aide de la règle non graduée et du compas.
\begin{enumerate}
\item A l'aide de votre calculatrice donner une valeur approchée de :
$$ \cos \dfrac{2\pi}{7}\qquad \text{et de }\qquad \sin\dfrac{2\pi}{7}$$
\item Proposer une construction d'un \og presque \fg{} heptagone régulier.
\item A l'aide de votre calculatrice donner une valeur approchée de :
$$ \cos \dfrac{\pi}{7}\qquad \text{et de }\qquad \sin \dfrac{\pi}{7}$$
\item Proposer une nouvelle construction d'un \og presque \fg{} heptagone régulier.
\item Quelle est la plus précise de vos deux constructions, pourquoi ?
\end{enumerate}}

\pagebreak

\Exoi{Dans un vieux manuel d'architecture on trouve la construction suivante, effectuée à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas, d'un \og presque \fg{} heptagone régulier :
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.17,-1.11)(1.38,1.15)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.17,-1.11)(1.38,1.15)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,1)(0.78,0.63)(0.98,-0.22)(0.44,-0.9)(-0.44,-0.9)(-0.98,-0.22)(-0.78,0.63)
\pscircle(0,0){4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-1.17}{1.38}{(-0.5-0*x)/1}
\psline(0,1)(-0.87,-0.5)
\psline(0,1)(0.87,-0.5)
\psline(0.87,-0.5)(-0.43,0.25)
\psline(-0.87,-0.5)(0.43,0.25)
\pscircle[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,1){3.48}
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(0.78,0.63)
\psline[linecolor=zzttqq](0.78,0.63)(0.98,-0.22)
\psline[linecolor=zzttqq](0.98,-0.22)(0.44,-0.9)
\psline[linecolor=zzttqq](0.44,-0.9)(-0.44,-0.9)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.44,-0.9)(-0.98,-0.22)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.98,-0.22)(-0.78,0.63)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.78,0.63)(0,1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.02,0.02){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.02,1.02){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-0.87,-0.5)
\rput[bl](-0.85,-0.48){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.87,-0.5)
\rput[bl](0.89,-0.48){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-0.43,0.25)
\rput[bl](-0.41,0.27){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.43,0.25)
\rput[bl](0.45,0.27){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-0.78,0.63)
\rput[bl](-0.76,0.64){$F$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.78,0.63)
\rput[bl](0.8,0.64){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-0.98,-0.22)
\rput[bl](-0.96,-0.2){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-0.44,-0.9)
\rput[bl](-0.42,-0.88){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.98,-0.22)
\rput[bl](0.99,-0.2){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.44,-0.9)
\rput[bl](0.46,-0.88){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,-0.5)
\rput[bl](0.02,-0.49){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\textbf{Objectif} : Démontrer la presque exactitude de cette construction.
\begin{enumerate}
\item On considère la figure suivante :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.13,-0.19)(2.89,1.11)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.13,-0.19)(1.89,1.11)
\parametricplot{0.0}{1.5707963267948966}{1*1*cos(t)+0*1*sin(t)+0|0*1*cos(t)+1*1*sin(t)+0}
\psline(0,0)(0.62,0.78)
\psline(0.62,0.78)(1,0)
\psline(1,0)(0,0)
\psline(0.62,0.78)(0.62,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.900076553541734}{0.12*cos(t)+0|0.12*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[tl](1.21,0.78){On donne :}
\rput[tl](1.19,0.67){$AI=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad OI=OA=1$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.05,-0.08){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.01,0.01){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.01,1.01){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.62,0.78)
\rput[bl](0.64,0.79){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.62,0)
\rput[bl](0.64,0.01){$H$}
\rput[bl](0.12,0.05){\qqwuqq{$\alpha$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur $OH$ en fonction de $\alpha$. En déduire la longueur $IH$ en fonction de $\alpha$.
\item Exprimer la longueur $AH$ en fonction de $\alpha$.
\item En raisonnant dans le triangle rectangle $IHA$ démontrer que $ \cos \alpha=\dfrac{5}{8}$.
\item En déduire la valeur de l'angle $\alpha$ en degré à $10^{-1}$ près.
\item Convertir en degré, à $10^{-1}$ près, l'angle suivant donné en radian $\beta=\dfrac{2\pi}{7}$.
\end{enumerate}
\item On raisonne cette fois sur la figure trouvée dans le vieux manuel d'architecture.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\item Que représentent les droites $(AL)$, $(BO)$ et $(CO)$ pour le triangle $ABC$ ?
\item Préciser la longueur $AL$.
\item On note $AB=a$, en se plaçant dans le triangle rectangle $ABL$, déterminer $a$, puis donner $BL$. En déduire $AD$. En déduire enfin la longueur d'un côté du presque heptagone régulier construit par ses architectes. Conclure.
\end{enumerate}
\item Proposer une construction plus simple en se servant d'une règle non graduée et d'un compas d'un segment de longueur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Effectuer alors la construction d'un presque heptagone régulier.
\end{enumerate}
}


\Exoi{Nous pouvons obtenir la construction exacte de l'heptagone régulier, pour cela nous utilisons en plus de la règle et du compas, les coniques (i.e des paraboles et des hyperboles)
Voici la construction que nous allons réalisé à l'aide du logiciel géogébra sans soucis de justifications.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.44,-1.51)(2.45,1.51)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.44,-1.51)(2.45,1.51)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,0)(0.62,0.78)(-0.22,0.97)(-0.9,0.43)(-0.9,-0.43)(-0.22,-0.97)(0.62,-0.78)
\pscircle(0,0){4}
\psline[linestyle=dotted](0.25,-1.51)(0.25,1.51)
\pscircle[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,0){4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-1.4422222222222223}{2.448888888888889}{-x+(7^(0.5)+1)/4}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-1.4422222222222223}{2.448888888888889}{x+(7^(0.5)-1)/4}
\psplot[linestyle=dotted]{-1.44}{2.45}{(--0.66-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dotted]{-1.44}{2.45}{(--1.98-0*x)/1}
\pscircle[linecolor=red](0.25,0.66){1.4}
\rput{0}(0.25,0.66){\parametricplot[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1]{-0.99}{0.99}{0.35*(1+t^2)/(1-t^2)|0.35*2*t/(1-t^2)}}
\rput{0}(0.25,0.66){\parametricplot[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1]{-0.99}{0.99}{0.35*(-1-t^2)/(1-t^2)|0.35*(-2)*t/(1-t^2)}}
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(0.62,0.78)
\psline[linecolor=zzttqq](0.62,0.78)(-0.22,0.97)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.22,0.97)(-0.9,0.43)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.9,0.43)(-0.9,-0.43)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.9,-0.43)(-0.22,-0.97)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.22,-0.97)(0.62,-0.78)
\psline[linecolor=zzttqq](0.62,-0.78)(1,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.08,-0.09){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.03,0.01){$A_0$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.25,0.66)
\rput[bl](0.33,0.6){$\varOmega$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.5,1.32)
\rput[bl](-0.48,1.34){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1.32)
\rput[bl](1.03,1.33){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.5,0)
\rput[bl](-0.53,0.02){$F'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.62,0.78)
\rput[bl](0.65,0.79){$A_1$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.6,0.66)
\rput[bl](0.53,0.67){$S$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.22,0.98)
\rput[bl](-0.35,1){$A_2$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.22,0.97)
\rput[bl](-0.2,0.99){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.9,0.43)
\rput[bl](-1.01,0.46){\darkgray{$A_3$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.9,-0.43)
\rput[bl](-1.02,-0.44){\darkgray{$A_4$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.22,-0.97)
\rput[bl](-0.22,-1.07){\darkgray{$A_5$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.62,-0.78)
\rput[bl](0.65,-0.83){\darkgray{$A_6$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\textbf{Protocole de construction} :
\begin{enumerate}
\item Construire un cercle trigonométrique $\mathscr C$ dont le centre est appelé $O$ et le point de départ $A_0$.
\item Construire le cercle $\Gamma$ de centre $A_0$ et de rayon $1$.
\item Construire la droite $d$ d'équation $x=\dfrac{1}{4}$.
\item Le point $\varOmega$ est un des points d'intersection entre la droite $d$ et le cercle $\Gamma$.
\item Construire les droites $\mathscr \Delta$ et $\Delta'$ d'équation respectives :
$$ \Delta : y= x + \dfrac{\sqrt{7}-1}{4}\qquad \text{et}\qquad  \Delta' : y= -x + \dfrac{\sqrt{7}+1}{4}$$
\item Construire la droite $d'$ perpendiculaire à $d$ passant par $\varOmega$.
\item Le point $F$ est le symétrique de $A_0$ par rapport à $\varOmega $.
\item Le point $G$ est le symétrique de $A_0$ par rapport à $d'$.
\item Le point $F'$ est le symétrique de $F$ par rapport à $d'$.
\item Construire le cercle $\mathscr C'$ de centre $\varOmega$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
\item Les points $S$ et $S'$ sont les points d'intersection entre le cercle $\mathscr C'$ et la droite $d'$, ce sont les sommets de l'hyperbole $\mathscr H$.
\item Construire l'hyperbole passant par les points $S$, $A_0$, $F$, $F'$ $G$ et $S'$.
\item L'intersection entre $\mathscr H$ et $\mathscr C$ donne les points $A_1$, $A_2$ et $A_4$.
\item Terminer la construction.
\end{enumerate}
}
\pagebreak

%\section{Une construction du polygone régulier à 17 côtés}
\section{L'heptakaidecagone régulier}
\begin{theo}[Gauss-Wantzel]
Un polygone à $n$ côtés est constructible si et seulement si $n$ est le produit d'une puissance de $2$ et d'un nombre fini de nombres premiers de Fermat distincts.
\end{theo}

\Exoi{Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme $2^{2^n} + 1$, avec $n$ entier. Le $n$-ème nombre de Fermat, $2^{2^n} + 1$, est noté $F_n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $F_0$ ; $F_1$ ; $F_2$ ; $F_3$ et $F_4$.
\item Vérifier si $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$ sont premiers.
\end{enumerate}}

\Rqs{\item Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont $F_0$, $F_1$, $F_2$, $F_3$ et $F_4$.
\item On sait que les nombres de Fermat de $F_5$ à $F_{32}$ ne sont pas des nombres premiers.
\item On ignore si $F_{33}$ est premier ou non.}

\Exoi{En appliquant le théorème de Gauss-Wantzel, déterminer tous les polygones réguliers à $n$ côtés pour $n$ allant de $2$ à $20$ constructible à l'aide de la règle non graduée et du compas. }

A titre contemplatif, voici la construction la plus célèbre de l'heptakaidecagone régulier.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.37,-1.08)(1.58,1.1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.37,-1.08)(1.58,1.1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,0)(0.93,0.36)(0.74,0.67)(0.45,0.9)(0.09,1)(-0.27,0.96)(-0.6,0.8)(-0.85,0.53)(-0.98,0.18)(-0.98,-0.18)(-0.85,-0.53)(-0.6,-0.8)(-0.27,-0.96)(0.09,-1)(0.45,-0.9)(0.74,-0.67)(0.93,-0.36)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.08,0.22)(-0.05,0.14)(0.03,0.17)(0,0.25)
\pscircle(0,0){4}
\psline(0,0.25)(1,0)
\parametricplot[linecolor=qqqqcc]{0.0}{3.141592653589793}{1*0.56*cos(t)+0*0.56*sin(t)+0.44|0*0.56*cos(t)+1*0.56*sin(t)+0}
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(0.93,0.36)
\psline[linecolor=zzttqq](0.93,0.36)(0.74,0.67)
\psline[linecolor=zzttqq](0.74,0.67)(0.45,0.9)
\psline[linecolor=zzttqq](0.45,0.9)(0.09,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0.09,1)(-0.27,0.96)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.27,0.96)(-0.6,0.8)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.6,0.8)(-0.85,0.53)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.85,0.53)(-0.98,0.18)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.98,0.18)(-0.98,-0.18)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.98,-0.18)(-0.85,-0.53)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.85,-0.53)(-0.6,-0.8)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.6,-0.8)(-0.27,-0.96)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.27,-0.96)(0.09,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](0.09,-1)(0.45,-0.9)
\psline[linecolor=zzttqq](0.45,-0.9)(0.74,-0.67)
\psline[linecolor=zzttqq](0.74,-0.67)(0.93,-0.36)
\psline[linecolor=zzttqq](0.93,-0.36)(1,0)
\psline[linecolor=red](-0.27,0)(-0.27,0.96)
\psline[linecolor=red](0.45,0)(0.45,0.9)
\parametricplot[linecolor=qqqqcc]{0.0}{3.141592653589793}{1*0.36*cos(t)+0*0.36*sin(t)+0.09|0*0.36*cos(t)+1*0.36*sin(t)+0}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{0}{1.58}{(--0.02-0.25*x)/0.09}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{0}{1.58}{(--0.05-0.25*x)/0.2}
\psplot{-1.37}{0}{(-0.18-0.25*x)/-0.73}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-1.37}{0}{(-0.03-0.25*x)/-0.12}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.02,0.01){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.04,0.02){$A_0$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0.25)
\rput[bl](0.02,0.26){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.09,0)
\rput[bl](0.1,0.01){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.73,0)
\rput[bl](-0.71,0.01){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.12,0)
\rput[bl](-0.11,0.01){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0.35)
\rput[bl](0.02,0.36){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.45,0)
\rput[bl](0.46,0.01){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.27,0)
\rput[bl](-0.26,0.01){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.45,0.9)
\rput[bl](0.46,0.9){$A_3$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.27,0.96)
\rput[bl](-0.24,1){$A_5$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.85,0.53)
\rput[bl](-0.92,0.55){$A_7$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.98,-0.18)
\rput[bl](-1.04,-0.19){$A_9$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.6,-0.8)
\rput[bl](-0.69,-0.84){$A_{11}$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.09,-1)
\rput[bl](0.11,-1.04){$A_{13}$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.74,-0.67)
\rput[bl](0.77,-0.69){$A_{15}$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.93,0.36)
\rput[bl](0.95,0.37){$A_1$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.93,-0.36)
\rput[bl](0.96,-0.38){$A_{16}$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.74,0.67)
\rput[bl](0.75,0.68){$A_2$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.09,1)
\rput[bl](0.1,1.03){$A_4$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.6,0.8)
\rput[bl](-0.66,0.83){$A_6$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.98,0.18)
\rput[bl](-1.05,0.19){$A_8$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.85,-0.53)
\rput[bl](-0.91,-0.56){$A_{10}$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.27,-0.96)
\rput[bl](-0.36,-1){$A_{12}$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.45,-0.9)
\rput[bl](0.5,-0.93){$A_{14}$}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.45,0.9)
%\rput[bl](0.46,0.9){\darkgray{$I$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.09,1)
%\rput[bl](0.11,1){\darkgray{$J$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.27,0.96)
%\rput[bl](-0.26,0.97){\darkgray{$K$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.6,0.8)
%\rput[bl](-0.59,0.8){\darkgray{$L$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.85,0.53)
%\rput[bl](-0.83,0.54){\darkgray{$M$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.98,0.18)
%\rput[bl](-0.97,0.19){\darkgray{$N$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.98,-0.18)
%\rput[bl](-0.97,-0.18){\darkgray{$P$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.85,-0.53)
%\rput[bl](-0.83,-0.52){\darkgray{$Q$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.6,-0.8)
%\rput[bl](-0.59,-0.79){\darkgray{$R$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.27,-0.96)
%\rput[bl](-0.26,-0.95){\darkgray{$S$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.09,-1)
%\rput[bl](0.11,-0.99){\darkgray{$U$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.45,-0.9)
%\rput[bl](0.46,-0.89){\darkgray{$W$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.74,-0.67)
%\rput[bl](0.75,-0.67){\darkgray{$D_1$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.93,-0.36)
%\rput[bl](0.95,-0.35){\darkgray{$F_1$}}
%\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1,0)
%\rput[bl](1.02,0.01){\darkgray{$H_1$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

Au final nous avons réalisé le calcul suivant :
$$ \cos \dfrac{\pi}{17}=\dfrac{1}{16}\left(1-\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{ 68+12\sqrt{17}+ 2\sqrt{ 34-2\sqrt{17} } +16 \sqrt{ 34+2\sqrt{17} }-2 \sqrt{ 578 -34\sqrt{17} } }\right)$$

\pagebreak
\section{Exercices d'applications}

\Exoi{Calculer les longueurs d'arcs de cercle dans les cas suivants :
\begin{enumerate}
\item un arc de cercle de rayon $1$ et d'angle $10^\circ$
\item un arc de cercle de rayon $10$ et d'angle $10^\circ$
\item un arc de cercle de rayon $1$ et d'angle $270^\circ$
\item un arc de cercle de rayon $3$ et d'angle $45^\circ$
\item un arc de cercle de rayon $\pi$ et d'angle $80^\circ$
\item un arc de cercle de rayon $1$ et d'angle $120^\circ$
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans le cercle trigonométrique, convertir en degré les mesures d'angles données en radians :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{\pi}{5}$
\item $ \dfrac{7\pi}{5} $
\item $ \dfrac{5\pi}{3}$
\item $2\pi$
\item $ \dfrac{2\pi}{3}$
\item $ \dfrac{5\pi}{6}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
%
\begin{defi}La mesure d'un angle en radian comprise dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ est \underline{la mesure principale} d'un angle en radian\end{defi}
\Exoi{
\begin{enumerate}
\item On donne des mesures d'angles en radian, déterminer la mesure principale de chacun de ses angles :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{75\pi}{3}$
\item $-\dfrac{98\pi}{5}$
\item $ \dfrac{59\pi}{11}$
\item $ -\dfrac{94\pi}{7}$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\item Ecrire un algorithme demandant de saisir une mesure d'angle en radian (i.e un nombre réel quelconque) et donnant la mesure principale de cet angle, puis le progammer.
\end{enumerate}
}
%
%
\Exoi{Placer sur le cercle trigonométrique $\mathscr C$ de centre $O$ et d'origine $I$ les points $P$, $Q$, $R$ et $S$ tels que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\widehat{IOP}=\pi$ rad
\item $\widehat{IOQ}=-\dfrac{\pi}{2}$ rad
\item $\widehat{IOR}=6\pi$ rad
\item $ \widehat{IOS}=\dfrac{7\pi}{6}$ rad
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Exoi{Déterminer, à l'aide d'un cercle trigonométrique, les sinus et cosinus des nombres réels suivants :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{\pi}{2} $
\item $-\dfrac{\pi}{3}$
\item $ \dfrac{7\pi}{3}$
\item $ \dfrac{\pi}{13}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Exoi{Déterminer les solutions dans $]-\pi;\pi]$ des équations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sin x=0,5$
\item $\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\cos x=-1$
\item $\sin x= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\cos x= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\item $\sin x=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
%
%\Exoi{Calculer le sinus et le cosinus des réels $x$, $y$, $z$, $t$ et $u$ vérifiant les conditions suivantes :
%\begin{enumerate}
%\item $2\cos x=\sqrt{2}$ et $x\in[0;\pi]$ 
%\item $\sin y+1=0$
%\item $\cos z=\sin z$ et $z\in [-\pi;0]$
%\item $2\sin t=-1$ et $t$ compris entre $-\pi$ et $0$
%\item $\cos u\times \sin u=0$ et $u\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ 
%\end{enumerate}}
%\Exoi{\begin{enumerate}
%\item Tracer un cercle trigonométrique dans un repère orthonormé $(O,I,J)$. Soit $M$ tel que $\widehat{IOM}=x$ rad avec $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2} ;\dfrac{\pi}{2}\right]$
%\item \begin{enumerate}
%\item On appelle $N$ le symétrique de $M$ par rapport à l'axe $(OI)$. Donner en fonction de $x$, une mesure de l'angle orienté $ \widehat{ION}$
%\item En déduire l'expression de $\cos(-x)$ et $\sin(-x)$ en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ 
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item On appelle $L$ le symétrique de $M$ par rapport au point $O$. Donner, en fonction de $x$, la mesure orienté de l'angle $ \widehat{IOL}$
%\item En déduire l'expression de $\cos(\pi+x)$ et $\sin(\pi+x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ 
%\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item On appelle $K$ le symétrique de $M$ par rapport à l'axe $(OJ)$. Donner, en fonction de $x$, la mesure orienté de l'angle $ \widehat{IOK}$
%\item En déduire l'expression de $\cos(\pi-x)$ et $\sin(\pi-x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}
%
\Exoi{\begin{enumerate}
\item Rappeler les valeurs exactes de $\sin\dfrac{\pi}{3}$ et $\cos \dfrac{\pi}{3}$.
\item En déduire les valeurs exactes des sinus et cosinus des réels : $-\dfrac{\pi}{3}$ ; $ \dfrac{2\pi}{3}$ ; $ \dfrac{4\pi}{3}$ 
\end{enumerate}}
%
\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle trigonométrique dans un repère orthonormé $(O,I,J)$. Soit $M$ tel que $\widehat{IOM}=x$ rad avec $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2} ;\dfrac{\pi}{2}\right]$
\item
 \begin{enumerate}
\item On appelle $N$ le symétrique de $M$ par rapport à la bissectrice de l'angle $ \widehat{IOJ}$. Donner, en fonction de $x$, la mesure orienté de l'angle $ \widehat{ION}$
\item En déduire l'expression de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ 
\end{enumerate}
\item En déduire l'expression de $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ 
\end{enumerate}
}
%
%\Exoi{
%\begin{enumerate}
%\item Sur le cercle trigonométrique, marquer les points associés au réel tel que $\sin x=0,2$
%\item Colorier en rouge l'arc de cercle correspondant aux points tels que $\sin x>0,2$
%\end{enumerate}}
%\Exoi{
%\begin{enumerate}
%\item Sur le cercle trigonométrique, marquer les points associés au réel tel que $\cos x=0,2$
%\item Colorier en rouge l'arc de cercle correspondant aux points tels que $\cos x>0,2$
%\end{enumerate}}
%
%\Exoi{On sait que $\sin a<\sin b$. Comparer les réels $a$ et $b$ dans chacun des cas :
%\begin{enumerate}
%\item si $a$ et $b$ sont compris entre $0$ et $ \dfrac{\pi}{2}$
%\item si $a$ et $b$ sont compris entre $ \dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$
%\item si $a$ et $b$ sont compris entre $\pi$ et $ \dfrac{3\pi}{2}$
%\end{enumerate}}
%
\Exoi{
On considère un repère orthonormé $(O,I,J)$ et le cercle trigonométrique $\mathscr C$
\begin{enumerate}
\item Placer les points $M$, $N$ et $P$ de $\mathscr C$  tels que :
$$ \widehat{IOM}=\dfrac{\pi}{6}\qquad \widehat{ION}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi}{3}\qquad \widehat{IOP}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{4\pi}{3}$$
\item Démontrer que l'aire $\mathscr A$ du triangle $MNP$ vaut :
$$\mathscr A=\dfrac{3\pi}{4}$$ 
\end{enumerate}}
%
%\Exoi{
%On considère un repère orthonormé $(O,I,J)$ et le cercle trigonométrique $\mathscr C$
%\begin{enumerate}
%\item Placer les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ de $\mathscr C$  tels que :
%$$ \widehat{IOM}=\dfrac{-41\pi}{3}\qquad \widehat{ION}=\dfrac{41\pi}{3}\qquad \widehat{IOP}=\dfrac{-41\pi}{3}+\pi\qquad \widehat{IOQ}=\dfrac{41\pi}{3}+\pi$$
%\item Quelle est l'aire du quadrilatère $ABCD$ ?
%\end{enumerate}}
%\Exoi{Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère le cercle $\mathscr C$ de centre $O$ et de rayon $r$. Soit $I'$ le point de $[OI)$ tel que $OI'=r$.\\
%Soit $P$ un point du cercle tel que $[PI']$ en soit un diamètre.\\
%Soit $M$ un point du cercle tel que l'angle $\widehat{IOM}=\dfrac{\pi}{3}$ rad.
%\begin{center}
%\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-4.3,-4.46)(5.44,6.3)
%\psline{->}(0.56,0.62)(2.6,0.6)
%\psline{->}(0.56,0.62)(0.58,2.66)
%\pscircle(0.56,0.62){4}
%\psline(0.56,0.62)(4.56,0.58)
%\psline(0.56,0.62)(2.59,4.06)
%\psline(2.59,4.06)(4.56,0.58)
%\psline(-3.44,0.66)(0.56,0.62)
%\psline(-3.44,0.66)(2.59,4.06)
%\pscustom[fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.009803607479295975}{1.0373939437173016}{0.6*cos(t)+0.56|0.6*sin(t)+0.62}\lineto(0.56,0.62)\closepath}
%\pscustom[fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.009803607479295975}{0.5137951681190028}{0.6*cos(t)+-3.44|0.6*sin(t)+0.66}\lineto(-3.44,0.66)\closepath}
%\rput[bl](0.26,0.32){\darkgray{$O$}}
%\rput[bl](2.68,0.26){\darkgray{$I$}}
%\rput[bl](0.66,2.78){\darkgray{$J$}}
%\rput[bl](1.46,0.3){$i$}
%\rput[bl](0.4,1.62){$j$}
%\rput[bl](-2.28,3.7){$\mathscr c$}
%\rput[bl](0.6,4.76){\darkgray{$J'$}}
%\rput[bl](4.78,0.56){\darkgray{$I'$}}
%\rput[bl](2.68,4.18){\darkgray{$M$}}
%\rput[bl](-3.72,0.64){\darkgray{$P$}}
%\rput[bl](1.16,0.88){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}{3}$}}
%\rput[bl](-2.78,0.72){\qqwuqq{$\alpha$}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer la nature du triangle $I'OM$, en déduire la mesure de l'angle $ \widehat{MI'O}$ ainsi que la longueur du segment $[I'M]$
%\item A l'aide du théorème de Pythagore, déterminer $PM$ en fonction de $r$
%\item Déterminer la valeur de $\cos \alpha$.
%\item Déterminer $\alpha$
%\item Que vient-on de démontrer ?
%\end{enumerate}}
%
%\Exoi{On considère un repère orthonormé $(O,I,J)$.\\
%Soit le point $M$ appartenant au cercle de centre $O$ et de rayon $r$ (où $r$ est un nombre réel strictement positif). L'angle $ \widehat{IOM}=\alpha$ rad. 
%\begin{enumerate}
%\item Faire une figure
%\item La demi-droite $[OM)$ coupe le cercle trigonométrique $\mathscr C$ en $M'$. Montrer que $ \overrightarrow{OM}=r \overrightarrow{OM'}$
%\item Déterminer les coordonnées de $M'$ en fonction de $\alpha$.  En déduire les coordonnées de $M$ en fonction de $r$ et $\alpha$. 
%\item Ecrire un algorithme qui demande le rayon $r$ et l'angle $\alpha$ en radian, retourne l'abscisse et l'ordonnée du point $M$
%\end{enumerate}
%  }
%
%  \begin{multicols}{2}
%\Exoi{Soit un pentagone régulier $ABCDE$ inscrit dans un cercle de rayon $r$ et de centre $O$.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $x$, mesure en degré de l'angle $ \widehat{AOB}$
%\item Déterminer $\alpha$, mesure en radian de l'angle $ \widehat{AOB}$
%\item Sachant que $ \cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ calculer $\sin^2 \dfrac{2\pi}{5}$, et en déduire que $$ \sin \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{2(5+\sqrt{5}}}{4}$$
%\item Montrer que le triangle $AOB$ est isocèle en $O$.
%\item Soit $H$ le pied de la hauteur du triangle $AOB$ passant par $B$. Calculer $BH$. En déduire l'aire du triangle $AOB$ en fonction de $r$
%\item En déduire l'aire du pentagone $ABCDE$ en fonction de $r$
%\end{enumerate}}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-2.3,-4.46)(9.44,6.3)
%\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](4.94,2.64)(1.7,4.53)(-1.09,2.04)(0.41,-1.39)(4.14,-1.02)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.31,1.93)(3.14,2.31)(2.75,2.14)(2.92,1.76)
%\pscircle(2.02,1.36){3.19}
%\psline(2.02,1.36)(4.94,2.64)
%\psline[linecolor=zzttqq](4.94,2.64)(1.7,4.53)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.7,4.53)(-1.09,2.04)
%\psline[linecolor=zzttqq](-1.09,2.04)(0.41,-1.39)
%\psline[linecolor=zzttqq](0.41,-1.39)(4.14,-1.02)
%\psline[linecolor=zzttqq](4.14,-1.02)(4.94,2.64)
%\psline(1.7,4.53)(2.02,1.36)
%\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.41312883227840136}{1.6697658937143176}{0.6*cos(t)+2.02|0.6*sin(t)+1.36}\lineto(2.02,1.36)\closepath}
%\psline(1.7,4.53)(2.92,1.76)
%\rput[tl](0.26,-2.02){ABCDE est un pentagone régulier}
%\psdots[dotstyle=*](2.02,1.36)
%\rput[bl](1.72,1.12){$O$}
%\psdots[dotstyle=*](4.94,2.64)
%\rput[bl](5.04,2.6){$A$}
%\rput[bl](-0.34,3.92){$\mathscr C$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.14,-1.02)
%\rput[bl](4.22,-1.3){\darkgray{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.41,-1.39)
%\rput[bl](0.16,-1.74){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.09,2.04)
%\rput[bl](-1.5,1.94){\darkgray{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.7,4.53)
%\rput[bl](1.6,4.66){\darkgray{$B$}}
%\rput[bl](2.32,1.92){\qqwuqq{$\alpha$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.92,1.76)
%\rput[bl](2.9,1.42){\darkgray{$H$}}
%\end{pspicture*}
%\end{multicols}
%
%\newpage
\Exoi{\begin{multicols}{2}
Soit le carré PETI de côté $a$. Ses diagonales se coupent en $O$. Soit $(TJ)$ la bissectrice de l'angle $ \widehat{ITO}$ telle que le point $J$ soit sur le segment $[OI]$. $H$ est le projeté orthogonal de $J$ sur $(TI)$. L'objectif de cet exercice est de trouver les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{\pi}{8}$
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.3,0.36)(5.44,4.3)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid, opacity=0.1](-0.9,0.74)(2.04,0.68)(2.1,3.62)(-0.84,3.68)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.4,1.98)(0.59,1.78)(0.8,1.98)(0.6,2.18)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.18,0.98)(0.9,0.99)(0.9,0.7)(1.18,0.7)
\psline(-0.9,0.74)(2.04,0.68)
\psline(2.04,0.68)(2.1,3.62)
\psline(2.1,3.62)(-0.84,3.68)
\psline(-0.84,3.68)(-0.9,0.74)
\psline(2.04,0.68)(-0.84,3.68)
\psline(-0.9,0.74)(2.1,3.62)
\psline(1.2,1.56)(1.18,0.7)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.02040533068653807}{0.3722937510121859}{0.6*cos(t)+-0.9|0.6*sin(t)+0.74}\lineto(-0.9,0.74)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.37229375101218587}{0.7649928327109099}{0.5*cos(t)+-0.9|0.5*sin(t)+0.74}\lineto(-0.9,0.74)\closepath}
\rput[tl](-0.2,1){\qqwuqq{$\alpha$}}
\psplot{-0.9}{9.44}{(--2.29--0.82*x)/2.1}
\rput[bl](-1.26,0.6){\darkgray{$T$}}
\rput[bl](2.2,0.52){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](2.22,3.64){\darkgray{$P$}}
\rput[bl](-1.12,3.72){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](0.54,2.32){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](1.28,1.68){\darkgray{$J$}}
\rput[bl](1.06,0.4){\darkgray{$H$}}
\rput[bl](-0.36,1.04){\qqwuqq{$\alpha$}}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $a$, la longueur du segment $[TO]$
\item En utilisant dans les triangles $JOT$ et $JTH$ le cosinus de deux angles égaux, montrer que $OT=OH$ et exprimer la longueur du segment $[TH]$ en fonction de $a$. En déduire $HI$.
\item Déterminer la nature du triangle $IJH$ et en déduire $JH$ en fonction de $a$
\item Déterminer la nature du triangle $THJ$ et déduire des questions précédentes les longueurs des $3$ côtés de ce triangle.
\item Déduire de la question précédente que :
$$ \cos \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\qquad\text{ et }\qquad \sin \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$$
\item Vérifier que :
$$ \cos^2 \dfrac{\pi}{8}+\sin^2 \dfrac{\pi}{8}=1 $$
\end{enumerate} }
%\Exoi{Soit, dans un repère orthonormé, le point $A(0;5)$ et $M(x;y)$ un point du cercle de centre $A$ et de rayon $5$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $x^2+y^2-10y=0$
%\item Trouver les coordonnées des points d'ordonnée $8$ qui appartiennent au cercle.
%\item Trouver tous les points à coordonnées entières qui appartiennent au cercle.
%\end{enumerate}}
%\Exoi{On sait que $\cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
%\begin{enumerate}
%\item Vérifier que $\sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
%\item En déduire $\sin \dfrac{11\pi}{12}$
%\end{enumerate} }
\Exoi{ Soit $x\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin x=\dfrac{1}{3}$. Déterminer $\cos x$ }
\Exoi{Soit $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ tel que $\cos x=\dfrac{3}{5}$. Déterminer $\sin x$}
\Exoi{$ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=5$ et $AD=4$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire $\mathscr A$ du parallélogramme est : $\mathscr A=20\times \sin \widehat{BAD}$
\item Calculer la valeur exacte de $\mathscr A$ si $ \widehat{BAD}=\dfrac{\pi}{4}$
\item Pour quelles valeurs en degrés de $ \widehat{BAD}$, l'aire du parallélogramme est-elle égale à $10$ ?
\item Pour quelle valeur de  $\widehat{BAD}$, $\mathscr A$ est-elle maximale ? Quelle est dans ce cas la nature du parallélogramme ?
\end{enumerate}}
%
\Exoi{$\mathscr C$ est un cercle trigonométrique de centre $O$. Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ construits sur le cercle $\mathscr C$ ci-dessous. Justifier les réponses.}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.76,-5.48)(7.98,5.28)
\psline(-0.08,0.74)(2.1,0.74)
\psline(-0.08,0.74)(-0.08,2.92)
\psline(-0.08,0.74)(-0.08,-1.44)
\psline(-0.08,0.74)(-2.26,0.74)
\pscircle(-0.08,0.74){2.18}
\pscircle(2.1,0.74){2.18}
\pscircle(0.02,-1.18){1.92}
\psplot{-5.76}{7.98}{(--1.31-2.17*x)/2.01}
\rput[bl](-0.34,0.44){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](2.32,0.66){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](-0.1,3.04){\darkgray{$J$}}
\rput[bl](-0.16,-1.8){\darkgray{$J'$}}
\rput[bl](-2.48,0.66){\darkgray{$I'$}}
\rput[bl](-2.28,1.68){$c$}
\rput[bl](0.96,2.8){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](0.94,-1.5){\darkgray{$B$}}
\rput[bl](1.9,-0.46){\darkgray{$C$}}
\rput[bl](-2.04,-0.7){\darkgray{$D$}}
\rput[bl](1.34,-1.22){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](-1.64,2.52){\darkgray{$F$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}