\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{Loi binomiale}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav
\section{Exercice sur la loi binomiale}

\Exoi{On a observé le nombre d'accidents de scooters à un carrefour dangereux.\\
Pour $n$ scooters franchissant le carrefour durant une journée, on admet que la variable aléatoire $S$ qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant la journée suit une loi binomiale telle que $E(S)=0,1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p$ (en fonction de $n$) d'être accidenté pour un scooter franchissant le carrefour pendant la journée considérée.
\item Pour tout entier naturel $k$, $0\leq k\leq n$, exprimer la probabilité de l'événement $(S=k)$ en fonction de $n$ et de $k$.
\item \textbf{Application} : Sachant que $100$ scooters ont franchit le carrefour lors d'une journée de printemps, quelle est la probabilité  :
\begin{enumerate}
\item qu'aucun scooter n'ait été accidenté.
\item que moins de deux scooters n'ait été accidenté.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans le métro, il y a $9\%$ des voyageurs qui fraudent. Chaque jour, à la station alésia, on contrôle $200$ personnes.
\\
Soit $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre de fraudeurs sur ces $200$ personnes. On admet que $X$ suit une loi binomiale.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les paramètres de la loi que suit $X$.
\item Combien de personnes, en moyenne, vont être signalées en fraude lors de ce contrôle ?
\item Si le prix du ticket est de $1,70$ \euro, quel doit-être le prix de l'amende pour, qu'en moyenne, l'établissement régissant le métro ne perde pas d'argent avec les fraudeurs de la station Alésia, sachant qu'il y a $5000$ voyageurs chaque jour dans cette station.
\end{enumerate}}

\Exoi{chaque crocodile qui traverse la clairière
séparant les kékés du fleuve a une probabilité 1/3 de périr écrasé
par un éléphant sautant en parachute. Un matin, 32 crocodiles
quittent les kékés pour rejoindre le fleuve. On note $X$, le
nombre de victimes des éléphants parmi ces crocodiles. Les
survivants reviennent le soir par le même chemin. On note $Y$ le
nombre total de victimes. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que 22
crocodiles se baignent (sans périr) dans le fleuve.
\item Calculer la probabilité que $7$ crocodiles retournent sains et saufs le soir dans les kékés.
\item Calculer $E(Y)$. Comment interpréter ce résultat ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{Le ministre syldave de l'\'Education décide de donner le bac à
80\% des enfants dès leur naissance. C'est vrai ! Pourquoi
attendre 18 ans et dépenser tant d'argent quand on est même pas
sûr du résultat, tout ça pour permettre à des profs d'être payés à
être en vacances la moitié de l'année~?
\\
Le ministre découpe donc dans du carton dix carrés numérotés de 1
à 10 et propose au nouveau-né de tirer un carton au hasard. 
\begin{itemize}
\item si c'est un multiple de cinq, il est recalé,
\item si c'est un sept,il obtient la mention <<~très bien~>>,
\item si c'est un multiple de quatre, il obtient la mention
<<~bien~>>,
\item si c'est un multiple de trois, il obtient la mention
<<~assez bien~>>
\item sinon, il obtient la mention <<~passable~>>.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité pour un nouveau-né syldave d'obtenir
le bac avec la mention <<~passable~>>.
\item Le village natal du beau-frère du  ministre attend sept naissances
pour l'année qui suit. On sait qu'il y aura trois filles et quatre
garçons\footnote{Comme chacun sait, la capitale syldave s'appelle
Gattaca}. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de
garçons bacheliers et $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de
filles bachelières parmi ces bébés.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les lois de probabilité de $X$ et $Y$.
\item Compléter les deux tableaux suivants :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(X=k)$ & 0.0016 & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & 1\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$Y$ & 0 & 1 & 2 & 3 & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ & $0,008$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & $\dots\dots$ & 1\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item Calculer la probabilité d'avoir plus de bachelières que de
bacheliers. (on pourra s'aider d'un arbre)
\item Calculer la probabilité pour que ce village
dépasse l'objectif du ministre.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}

\Exoi{Suite à une étude démographique  de la  Syldavie, on estime que la probabilité pour qu'un Syldave interrogé au hasard ne connaisse pas par c\oe ur les \oe uvres du GGC (Grand Guide Charismatique) est de $p$.
\\
On a classé la population en  $m$ groupes de $n$ Syldaves. On va comparer deux stratégies pour détecter les traitres incultes dans chaque groupe :
\begin{itemize}
 \item la première consiste à interroger les syldaves un par un ;
\item on suppose que les services de renseignements syldaves ont mis au point un test rapide permettant de vérifier de manière globale si un groupe contient au moins un traitre. Si ce test global est positif, alors on interroge un a un ses membres pour identifier les traitres, sinon, on passe au groupe suivant.
\end{itemize}
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de traites et $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de groupe comportant au moins un traite.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de X et donner son espérance.
\item \begin{enumerate}
\item On considère un groupe de $n$ syldaves ($Z$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de traitre dans ce groupe), démontrer que la probabilité qu'au moins un syldave soit un traitre vaut :
$$ p(Z\geq 1)=1-(1-p)^n$$
\item Expliquer pourquoi $Y\hookrightarrow B(m;1-(1-p)^n)$.
\end{enumerate}
%\env{$E(X)=n$ et $E(Y)=n+1-n(1-p)^n$}
%\item On suppose à présent que $p=\dfrac{1}{100}$. Déterminer pour quelles valeurs de $n$ la deuxième méthode est plus économique.
%\env{$1\leq n\leq 643$}
\end{enumerate}
}

\section{Deux exercices type BAC}
\Exoi{
\emph{Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions \text{A,~ B} ou \text{C} est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee.\\
 Une r\'eponse exacte rapporte $0,5$ point . (Une r\'eponse inexacte enl\`eve $0,25$ point. L'absence de r\'eponse n'apporte ni n'enl\`eve aucun point.\\
  Si le total est n\'egatif la note de l'exercice est ramen\'ee \`a $0$.}\\
\noindent Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.
\begin{enumerate}
\item  On tire au hasard simultan\'ement 3 boules de l'urne. 
\begin{enumerate}
\item  La probabilit\'e de tirer 3 boules noires est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{1}{56}$&B.~~$\dfrac{1}{120}$&C.~~$\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
\item La probabilit\'e de tirer 3 boules de la m\^eme couleur est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~ $\dfrac{11}{56}$&	B.~~ $\dfrac{11}{120}$& 	C.~~ $\dfrac{16}{24}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\item  On tire au hasard une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on proc\`ede ainsi \`a 5 tirages successifs et deux \`a deux ind\'ependants. 
\begin{enumerate}
\item  La probabilit\'e d'obtenir 5 fois une boule noire est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^3$&	B.~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^5$&C.~~$\left(\dfrac{1}{5}\right)^5$\\
\end{tabularx}	
\item  La probabilit\'e d'obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$&	B.~~$2 \times \dfrac{5}{8} + 3 \times \dfrac{3}{8}$&C.~~$10 \times \left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$\\
\end{tabularx}	
\end{enumerate}
\item  On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : 
\begin{itemize}
\item R$_{1}$ l'\'ev\`enement : \og La premi\`ere boule tir\'ee est rouge \fg{} ;
\item N$_{1}$ l'\'ev\`enement : \og La premi\`ere boule tir\'ee est noire \fg{} ;
\item R$_{2}$ l'\'ev\`enement : \og La deuxi\`eme boule tir\'ee est rouge \fg{}; 
\item N$_{2}$ l'\'ev\`enement  : \og La deuxi\`eme boule tir\'ee est noire \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item La probabilit\'e d'obtenir une boule rouge au second tirage sachant qu'on a obtenu une boule rouge au premier tirage est : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{5}{8}$& B.~~$\dfrac{4}{7}$& 	C.~~$\dfrac{5}{14}$\\
\end{tabularx}
\item  La probabilit\'e de l'\'ev\`enement R$_{1} \cap  \text{N}_{2}$ est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{16}{49}$& B.~~$\dfrac{15}{64}$& 	C.~~$\dfrac{15}{56}$\\
\end{tabularx}
\item  La probabilit\'e de tirer une boule rouge au deuxi\`eme tirage est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{5}{8}$& B.~~$\dfrac{5}{7}$& 	C.~~$\dfrac{3}{28}$\\
\end{tabularx}
\item  La probabilit\'e de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu'on a obtenu une boule noire au second tirage est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{15}{56}$& B.~~$\dfrac{3}{8}$& 	C.~~$\dfrac{5}{7}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}}




\Exoi{
Un joueur dispose d'un d\'e cubique bien \'equilibr\'e dont les faces sont 
num\'erot\'ees de 1 \`a 6, et de trois urnes U$_1$, U$_2$ et U$_3$ contenant
 chacune $k$ boules, où $k$ d\'esigne un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a 3.\\
\noindent Il y a trois boules noires dans l'urne U$_1$, deux boules noires dans l'urne
 U$_2$ et une boule noire dans l'urne U$_3$, et toutes les autres boules contenues
 dans les urnes sont blanches.
\\
\noindent Les boules sont indiscernables au toucher.
\\
\noindent Une partie se d\'eroule de la façon suivante :
\\
\noindent le joueur lance le d\'e,
\\
\noindent $\bullet~$	s'il obtient le num\'ero 1, il prend au hasard une boule dans 
l'urne U$_1$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_1$ ;
\\
\noindent $\bullet~$	s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule
 dans l'urne U$_2$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_2$ ;
\\
\noindent $\bullet~$	si le num\'ero amen\'e par le d\'e n'est ni le 1 ni un multiple de 
trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_3$, note sa couleur et la
 remet dans l'urne U$_3$.
\\
\noindent On d\'esigne par A, B, C, et N les \'ev\`enements suivants : 
\\
A : \og  Le d\'e am\`ene le num\'ero 1. \fg{}
\\
B : \og Le d\'e am\`ene un multiple de trois. \fg{}
\\
C : \og Le d\'e am\`ene un num\'ero qui n'est ni le 1, ni un multiple de 3. \fg{}
\\
N : \og La boule tir\'ee est noire.\fg{}
\begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie.
\begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'e qu'il obtienne une boule noire est \'egale \`a 
$\cfrac{5}{3k}$.
\item Calculer la probabilit\'e que le d\'e ait amen\'e le 1 sachant que la boule
 tir\'ee est noire.
\item D\'eterminer $k$ pour que la probabilit\'e d'obtenir une boule noire soit 
sup\'erieure \`a $\cfrac{1}{2}$.
\item D\'eterminer $k$ pour que la probabilit\'e d'obtenir une boule noire soit 
\'egale \`a $\cfrac{1}{30}$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilit\'e d'obtenir une 
boule noire en jouant une partie soit \'egale \`a $\cfrac{1}{30}$.\\
Le joueur joue 20 parties, ind\'ependantes les unes des autres.
\\
\noindent Calculer, sous forme exacte puis arrondie \`a $10^{-3}$, la probabilit\'e qu'il 
obtienne au moins une fois une boule noire.
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\section{Reconnaître une situation modélisable par la loi binomiale}

\Exoi{Dans lequel des cas suivants $X$ est-elle une variable binômiale~? Donnez quand c'est possible les paramètres de la loi
ainsi que l'espérance.
\begin{enumerate}
\item Dans une classe on tire au sort et sans remise 5 élèves, $X$ est le nombre d'élèves abonné à Star'Ac mag dans le lot tiré au sort.
\item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes
noires obtenues.
\item On lance 10 dés, $X$ est le nombre de <<~5~>> obtenus.
\item Un circuit comprend 32 lampes en série, pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de 3/100, $X$ est le nombre de
lampes qui s'allument lorsqu'on appuie sur l'interrupteur. Même exercice avec cette fois des lampes en parallèle. 
\end{enumerate}
}

\Exoi{
Après le lycée, l'université : le ministre syldave a supprimé la
faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca est un ancien
boxeur, aveugle et  parkinsonien. Il arrache les dents de ses
patients au hasard. Les syldaves venant le consulter ont toujours
une seule dent de malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent
encore avant l'intervention des tenailles ou des poings, c'est
selon. On considère les dix premiers clients, en notant $X$ le
nombre de dents malades extraites à bon escient.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
$X$. Calculer la probabilité pour qu'aucun de ces patients n'y
laisse la dent malade.
\item Combien doit-il traiter de personnes pour extraire au moins
une dent malade avec une probabilité supérieure à 0,6~?
\item Le dernier client est assez obstiné : il se laisse arracher
les dents une à une tant que la dent malade n'a pas été extraite.
On note $Y$ le nombre de dents saines que ce vaillant patriote
voit tomber des mâchoires de la redoutable paire de tenailles.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour qu'il reparte complètement édenté
\item Calculer la probabilité pour qu'il ne lui reste plus qu'une dent.
\item Calculer $E(Y)$.
\end{enumerate},
\end{enumerate}
}

\section{Algorithme}
\Exoi{On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $A$, $i$ et $C$ sont des nombres entiers naturels.\\
}
{
$C:=0$\\
  \For{$i$ allant de $1$ à $9$}
{$A$ prend la valeur d'un nombre entier aléatoire entre $1$ et $7$\\
\IfThen{$A>5$}
{$C:=C+1$}
}
Afficher $C$.
}
}
\end{center}
Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre affiché par cet algorithme.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi suit $X$ ? Donner ses paramètres.
\item Que faut-il changer dans le programme pour que les paramètres de la loi suivie par $X$ soient $10$ et $0.2$ ?
\item Programmer cet algorithme sur votre calculatrice ou sur un ordinateur.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
 \\
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.
\begin{enumerate}
\item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
\item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\}
{
 $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ 
   \While{$(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou  $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$}
{
$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\
 $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\
 $e := \text{rand}(1,~50)$
}
Afficher $a, b, c, d, e$
}
}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: 
\\
$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} ; L_{2} = \{8, 17,41,34, 6\} ;$ 
\\
$L_{3} = \{12, 17,23,17, 50\} ; L_{4} = \{45, 19,43,21, 18\}$ ? 
		\item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
	\end{enumerate} 
\item À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$. 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres. 
		\item On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
	\\	 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item il a été contrôlé 5 fois exactement; 
\item il n'a pas été contrôlé; 
\item il a été contrôlé au moins une fois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} }
\pagebreak

\section{TP}
\subsection{Hasard et QCM}
\textbf{\underline{Objectif : }
Etudier, pour une situation modélisable par un schéma de Bernoulli, des variables aléatoires qui suivent ou non une loi binomiale.}
Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de $10$ questions numérotées de $1$ à $10$. Pour chacune d'elles, quatre réponses possibles
sont proposées, dont une seule est exacte.\\
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas 
le chinois (bien qu'il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon indépendante (Fabrice
déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte).
\\
\partieBac{} 
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Justifier que la méthode de Fabrice pour répondre à une question est une épreuve de Bernoulli.\\
 Préciser le succès et la probabilité qu'il se réalise.
 \item Que peut-on dire de l'expérience de Fabrice sur le QCM entier ?
\end{enumerate}
 \item \textbf{Temps d'attente de la première bonne réponse}\\
 On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste.
 On convient que $X$ prend la valeur $11$ si toutes les réponses sont fausses.
 \begin{enumerate}
  \item Préciser quelles valeurs peut prendre $X$.
  \item Calculer $P(X=11)$ et $P(X=k)$ pour $1\leq k \leq 10$
  \item $X$ suit-elle une loi binomiale ?
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Attribution d'une note}\\
 On décide de donner à Fabrice un point par réponse exacte. Soit $Y$ la variable aléatoire associant aux réponses de Fabrice sa note obtenue sur $10$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
  \item Sur la calculatrice ou le tableur, obtenir les valeurs arrondies à $10^{-6}$ de $P(Y=k)$ pour $0\leq k \leq 10$.\\
  Les présenter dans un tableau, puis sous la forme d'un histogramme.
   \item Quelle est la probabilité que Fabrice obtienne la note maximale ?
  \item Quelle est la probabilité qu'il obtienne au moins la moyenne ?
  \item Quelle est la note la plus probabilité de Fabrice ?
  \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir (ie quelle note moyenne obtiendrait-il s'il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM
  de ce type)
 \end{enumerate}
 \item Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard comme Fabrice, le gouvernement Syldave décide de toujours
 accorder $1$ point par réponse exacte, mais cette fois d'enlever $0.2$ point par réponse fausse.
 \begin{enumerate}
  \item Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire $Z$ donnant la note obtenue par Fabrice s'exprime
  par $Z=1,2Y-2$
  \item En déduire la probablité que Fabrice obtienne une note négative, puis une note supérieur à $5$.
  \item Quelle note Fabrice peut-il espérer obtenir ? L'objectif vous paraît-il atteint ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\partieBac{} 
 On suppose que $n$ candidats ($n\in\N^*$) répondent à ce QCM et qu'aucun d'entre eux ne lisant le chinois, 
ils suivent tous la méthode de Fabrice et sans copier.
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la probabilité $P_n$ qu'au moins un candidat obtienne la note $10$ ?
 \item Pour quelles valeurs de $n$ cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieur à $0.99$ ?
\end{enumerate}

 \Cadre[Loi Binomiale à la calculatrice]{
    Pour calculer $P(X=k)$ :
  \begin{itemize}
   \item \textbf{TI 82-83-84} : Taper \fbox{2nde} + \fbox{var} puis descendre avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et choisir \textbf{\texttt{0:binomFdp}}\\
   Il s'affiche \texttt{binomFdp(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}
   \item \textbf{TI 89} : Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{F3} puis se déplacer avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et choisir \textbf{\texttt{binomDdP}}\\
   Il s'affiche \texttt{TIStat.binomDdP(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}
   \item \textbf{TI Nspire CX CAS} :  Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{2} puis se déplacer avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et sélectionner \textbf{\texttt{Probabilités}} que l'on ouvre avec \fbox{enter}\\
   Ensuite, sélectionner \textbf{\texttt{Distributions}}, que l'on ouvre avec \fbox{enter}, et enfin choisir  \textbf{\texttt{Binomiale DdP}}\\
   Il s'affiche \texttt{binomPdf()} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k}
   \item \textbf{Casio} : Dans \fbox{MENU}, choisir l'icône \texttt{STAT}, puis \texttt{DIST>BINM BPD}\\
   \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$.\\
  \end{itemize}
 Pour calculer $P(X\leq k)$ : Même méthode, il suffit de choisir à la fin :
   \begin{itemize}
   \item \textbf{TI 82-83-84} :  \textbf{\texttt{A:binomFRép}}
   \item \textbf{TI 89} :  \textbf{\texttt{binomFdR}}
   \item \textbf{TI Nspire CX CAS} :  \textbf{\texttt{Binomiale FdR}}
   \item \textbf{Casio} : \texttt{DIST>BINM ?}\\
   \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$.
  \end{itemize}
  }
  
   \Cadre[Loi Binomiale à la calculatrice]{
    Pour calculer $P(X=k)$ :
  \begin{itemize}
   \item \textbf{TI 82-83-84} : Taper \fbox{2nde} + \fbox{var} puis descendre avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et choisir \textbf{\texttt{0:binomFdp}}\\
   Il s'affiche \texttt{binomFdp(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}
   \item \textbf{TI 89} : Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{F3} puis se déplacer avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et choisir \textbf{\texttt{binomDdP}}\\
   Il s'affiche \texttt{TIStat.binomDdP(} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k)}
   \item \textbf{TI Nspire CX CAS} :  Taper \fbox{CATALOG} + \fbox{2} puis se déplacer avec 
   \fbox{$\blacktriangledown$} et \fbox{$\blacktriangle$} et sélectionner \textbf{\texttt{Probabilités}} que l'on ouvre avec \fbox{enter}\\
   Ensuite, sélectionner \textbf{\texttt{Distributions}}, que l'on ouvre avec \fbox{enter}, et enfin choisir  \textbf{\texttt{Binomiale DdP}}\\
   Il s'affiche \texttt{binomPdf()} que vous devez compléter par les valeurs \texttt{n,p,k}
   \item \textbf{Casio} : Dans \fbox{MENU}, choisir l'icône \texttt{STAT}, puis \texttt{DIST>BINM BPD}\\
   \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$.\\
  \end{itemize}
 Pour calculer $P(X\leq k)$ : Même méthode, il suffit de choisir à la fin :
   \begin{itemize}
   \item \textbf{TI 82-83-84} :  \textbf{\texttt{A:binomFRép}}
   \item \textbf{TI 89} :  \textbf{\texttt{binomFdR}}
   \item \textbf{TI Nspire CX CAS} :  \textbf{\texttt{Binomiale FdR}}
   \item \textbf{Casio} : \texttt{DIST>BINM ?}\\
   \texttt{Numtrial} correspond au paramètre $n$.
  \end{itemize}
  }
  
  \pagebreak

\subsection{Méthode du poolage}
\textbf{\underline{Objectif : }
Etudier une méthode utilisée par exemple pour les tests sanguins}\\
La méthode de poolage est utilisée dans la détection des porteurs d'un parasite au sein d'un ensemble donnée de $N$ individus tirés au sort de façon indépendante,
dans une population très vaste par rapport à $N$ (ce qui permet de considérer que le tirage est équivalent à un tirage avec remise).\\
La proportion de porteurs du parasite dans la population est $p$ ($0<p<1$).\\
On dispose d'un test permettant de savoir de façon certaine qu'un échantillon de sang contient ou non le parasite, le résultat du test étant dit positif dans le premier cas, négatif dans le second.\\
Pour chacun des $N$ individus, on possède un prélèvement sanguin.\\
La méthode de poolage consiste à répartir les $N$ prélèvements par groupes de $n$ prélèvements ($n<N$).\\
On mélange les prélèvements des $n$ individus et on teste ces mélanges.\\
Si le mélange est positif dans un des groupes, on teste le prélèvement de chaque individu du groupe concerné.\\
La question est de savoir dans quelles conditions le poolage permet d'économiser des tests par rapport au fait de tester 
chacun des $N$ prélèvements.\\
\partieBac{Etude d'un cas particulier}
On prend $N=60$ et on fait $20$ groupes de $3$, que l'on numérote de $1$ à $20$.\\
Pour chaque groupe $i$ ($i$ entier de 1 à 20), on note $H_i$ le mélange des prélèvements des trois individus du groupe.\\
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de groupes pour lesquels le test de $H_i$ est négatif.\\
Soit $T$ la variable aléatoire qui correspond au nombre total de tests effectués.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que la probabilité que le test de $H_i$ soit négatif est $(1-p)^3$.
 \item Quelle est la loi de la variable $X$ ? En déduire son espérance mathématique.
 \item Prouver que $T=80-3X$ et en déduire l'espérance mathématique de $T$ en fonction de $p$.
 \item Le nombre de tests à effectuer étant de $60$ lorsque l'on teste les prélèvements de chaque individu, on consièdre que le poolage est rentable si $E(T)$
 est inférieur ou égal à $60$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $E(T)\leq 60 \iff \dfrac13-(1-p)^3 \leq 0$
  \item Etudier le sens de variation de la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\dfrac13-(1-x)^3$.
  \item En déduire que l'équation $g(x)=0$ a une unique solution, puis en déterminer une valeur approchée à $0,1$ près.\\
  \textit{On pourra utiliser un tableau de valeurs}
  \item Conclure en précisant pour quelles valeurs de $p$ la méthode du poolage est rentable.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\partieBac{Autre cas particulier }
On a toujours $N=60$, mais cette fois, on fait 15 groupes de 4, que l'on numérote de $1$ à $15$.\\
En s'inspirant de la méthode précédente, préciser pour quelles valeurs de $p$ ce poolage est rentable.\\
\partieBac{ Un problème d'optimisation}
Si $N$ est le nombre d'individus, on fait $\dfrac{n}{n}$ groupes de $n$ individus (on suppose que $N$ est assez grand devant $n$
pour négliger le fait qu'un groupe pourrait ne pas être complet).\\
La démarche et les notations restent celles de la partie $A$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi suivie par $X$.
 \item Exprimer $T$ en fonction de $X$, puis déduire que $E(T)=N\left(1+\dfrac1n - (1-p)^n\right)$
 \item Montrer que $E(T)$ est minimal si et seulement si $1+\dfrac1n-(1-p)^n$ est minimale.
 \item Pour chacune des valeurs suivantes de $p$ : $0,1 \, ; \, 0.01 \, $ et $ \, 0.001 \,$ déterminer à l'aide d'une calculatrice
 ou d'un tableur la valeur de $n$ telle que $E(T)$ soit minimale.
 \item Vérifier dans chacun de ces cas que le poolage est rentable.
\end{enumerate}
\pagebreak
\subsection{Affaire Castaneda contre Partida}
Des arguments de type probabiliste peuvent être avancés et pris en compte dans les cours de justice. En novembre 1976, 
Rodrigo Partida, d'originie mexicaine, était condamné à huit ans de prison
pour vol et tentative de viol dans un comté du sud du Texas. Il attaqua le jugement sous motif que la désignation des jurés 
dans l'Etat du Texas était discriminatoire pour les Américains d'origine mexicaine. 
Son argument était que ceux-ci 
n'étaient pas suffisamment représentés dans les jurys populaires.
\Cadre[Attendu de la Cour Suprême des Etats-Unis (affaire Castaneda contre Partida)]{
 \og Si les jurés étaient tirés au hasard dans l'ensemble de la population, le nombre d'américains 
 mexicains dans l'échantillon
 pourrait alors être modélisé par une distribution binomiale ... \\
 Etant donnée que $79.1\%$ de la population est mexico-américaine, 
 le nombre attendu d'américains mexicains parmi les $870$ personnes convoquées en tant que grands jurés
 pendant la période de 11 ans est approximativement de $688$.
 Le nombre observé est $339$. \\
 Bien sûr, dans n'importe quel tirage considéré, une certaine fluctuation par rapport au nombre 
 attendu est prévisible.
 Le point essentiel, cependant, est que le modèle statistique montre que les résultats d'un tirage au 
 sort tombent vraisemblablement
 dans le voisinage de la valeur attendue ...\\
 La mesure des fluctuations prévues par rapport à la valeur attendue est l'écart-type, défini 
 pour la distribution
 binomiale comme la racine carré de la taille de l'échantillon (ici $870$) multiplié par la probabilité de sélectionner un américain mexicain 
 (ici $0.791$) et par la probabilité de sélectionner un non américain mexicain (ici $0.209$) ...
 Ainsi, dans ce cas, l'écart-type est approximativement de $12$. \\
 En règle générale, pour de si grands échantillons, si la différence entre la valeur attendue
 et le nombre observé est plus grande que deux ou trois écarts-types, alors l'hypothèse que le tirage 
 du jury 
 était au hasard serait suspecte à un spécialiste des sciences humaines. \\
 Les données sur 11 années reflètent ici une différence d'environ
 29 écarts-types. Un calcul détaillé revèle qu'un éloignement aussi important de la valeur attendue 
 se produirait avec
 moins d'une chance sur $10^{140}$.\fg\\
\quad \hfill \begin{small}Source : \og \textit{Prove it with Figures (Statistics for Social Science and Behaviour Sciences)}\fg, 
 Hans Zeisel et David Kaye ; Springer (2006)          \end{small}     
}
\begin{enumerate}
 \item Définir la variable aléatoire $X$ qui, dans cette situation, suit une loi binomiale. Donner ces paramètres.
  \item A quel calcul correspond la valeur $688$ ?
 \item Effectuer le calcul de l'écart-type de $X$. A quoi correspond la \og différence de $29$ écarts-types \fg ?
 \item A quel événement correspond la probabilité de $10^{-140}$ ? Faites le calcul à l'aide d'un tableur. Etes-vous d'accord ?
 \item Peut-on considérer que la consitution des jurys résultait du hasard ?
 \item La cour d'appel a donc finalement donné raison à la défense Partida. Cependant, elle exclut une démonstration
 mathématique de discrimination raciale. N'allez pas croire qu'il y ait eu un complot !\\
 Quel critique pouvez-vous faire sur la modélisation ? Qu'est-ce qui peut justifier une telle composition de jury ?
\end{enumerate}

 Il est alors aussi de notre responsabilité d’être critique à l’égard des chiffres sur lesquels toute la 
simulation repose. 

\og Alors que $79,1\%$ de la population de comté était d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoqués 
pour être jurés lors d’une certaine période de référence, il n’y eût que 339 personnes d’origine mexicaine. \fg

Que signifie : \og lors d’une certaine période de référence \fg ? En réalité, cette période de référence correspond 
à l’étude des listes des jurés lors des 11 années qui ont précédé le jugement de Partida. Sur ces listes, 339 
citoyens d’origine mexicaine ont été comptabilisés sur 870. Or, non seulement il n’est pas raisonnable de penser 
que durant cette longue période la proportion de citoyens d’origine mexicaine est resté constante et égale à $79,1\%$
mais en plus sur la période de deux ans et demi précédent le jugement de l’affaire opposant le shérif 
Castaneda au prévenu Partida, la proportion de citoyens d’origine mexicaine ayant été membre d’un jury dans ce 
même comté était d’environ $56\%$. Cet argument a été soutenu par l’accusation sans succès car la sous 
représentation des citoyens d’origine mexicaine restait trop importante.

Une deuxième piste pour contredire la thèse du complot repose sur l’étude des modalités de sélection des jurés. 
D’abord des listes de citoyens sont éditées de manière aléatoire mais ensuite, conformément à la loi, 
le juge du comté vérifie que le citoyen est alphabétisé et de \og bonnes m\oe urs \fg. Ainsi, la loi elle-même 
impose une sous représentation d’une partie de la population qui est moins alphabétisée.

Enfin, il faut remarquer que la cour suprême ne conclut pas à la démonstration formelle de discrimination raciale. 
Elle précise, en effet: \og Etant donné les nombreuses facettes de la motivation humaine, il serait peu approprié de 
prendre comme loi établie que des humains appartenant à un groupe ne pratiqueront pas de discrimination à l’égard 
des membres d’un autre groupe \fg.
 \pagebreak
\subsection{Loi géométrique tronquée}

Le \og président \fg \, de Syldavie pense que les filles de son pays sont trop intelligentes et 
risquent de renverser son pouvoir, pourtant bien établi depuis $30$ ans.\\
Pour limiter le nombre de filles en Syldavie il décide que chaque famille aura au moins un enfant et
arrêtera de procréer après la naissance d'un garçon, dans un maximum de 4 enfants par famille.\\
On considère que chaque enfant autant de chances d'être un garçon qu'une 
fille, indépendamment du sexe d'éventuel(s) enfant(s) précédent(s).  \\
On se demande si ce choix a la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles 
dans la population.
\begin{enumerate}
 \item On présente l'algorithme suivant :
\Algo{12cm}{
\Entree{ 
X, NbeEnfants, NbeFilles sont des nombres entiers
}
{
  NbeEnfants$=0$, $X=0$\\
    \While{$X==0$ et NbeEnfants$<4$}
  {Affecter à X un entier aléatoire entre 0 et 1\\
    NbeEnfants$=$NbeEnfants$+1$}
    \IfThenElse{$X==1$}
      {NbeFilles$=$NbeEnfants$-1$\\
Afficher \og La famille a eu \fg , NbeFilles , \og fille(s) et $1$ garçon\fg}
    {La famille a eu $4$ filles et $0$ garçon}\\
\\
}
}
\begin{enumerate}
 \item Que fait-il ?
 \item Modifier cet algorithme pour qu'il simule les naissances dans $N$ familles quelconque en Syldavie et qu'il
renvoit le nombre de garçons et le nombre de filles.
 \item Programmer votre algorithme sur Scilab.
 \item Conjecturer une réponse au problème posé.
\end{enumerate}
\item Le \og président \fg \, de Syldavie appelle $S$ (pour Succès) et $E$ (pour Echec) 
les événements suivants :\\
$S$ : \og La famille a un garçon \fg \qquad \qquad et \qquad \qquad $E$ : \og La famille n'a pas de garçon \fg
\begin{enumerate}
       \item Schématiser la situation par un arbre.
 \item On appelle $X$ la variable aléatoire égale à $k$ si le premier Succès est rencontré au $k^{ième}$ 
enfant, et à $0$ si aucun Succès n'a été obtenu.\\
Déterminer la loi de $X$.
\item Répondre au problème posé.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Un exemple de devoir}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $10$ et $p$ avec $p> \dfrac12 $.\\
 Sachant que $V(X)=2$, calculer $p$ puis $E(X)$.
}


\Exoi{ \hfill (8 points)\\
Le ministre syldave a supprimé la
faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca est un ancien
boxeur, à moitié-aveugle et parkinsonien. \\
Les syldaves venant le consulter se font toujours arracher une dent. \\
Le dentiste arrive à peu près à discerner la dent malade 
grâce aux indications des patients, et essaie toujours d'extraire celle-ci,
mais sa maladie le faisant trembler, il n'a qu'une probabilité de $0.4$ de réussir.\\
Le dentiste reçoit quinze clients par jour, en on note $X$ le
nombre de dents malades extraites à bon escient sur ces quinze clients.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \textit{Justifier.}
\item Calculer la probabilité pour qu'aucun des patients n'y laisse une dent malade.
\item Calculer la probabilité que le dentiste arrache exactement 11 dents malades.
\item Calculer la probabilité pour que le dentiste arrache au moins 2 dents malades.
\item Finalement, le dentiste a extrait 7 dents malades. Peut-il être satisfait de lui-même ?
\item Parmi les deux diagrammes en barres suivant, lequel peut représenter la loi de probabilité de $X$ ? \textit{Justifier}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.45]{loi1.eps} \quad \includegraphics[scale=0.45]{loi2.eps}
\end{center}
\item Avant chaque intervention, le patient paie $30 \euro$, puis 
le dentiste lui arrache une dent. Si c'est la bonne, le patient doit encore payer $20\euro$.
\begin{enumerate}
 \item Combien le dentiste peut-il espérer gagner d'argent en une journée ? Justifier.
 \item Les tremblements du dentiste empirant, sa probabilité d'extraire une dent malade risque de baisser.\\
 A partir de quelle probabilité de réussite ce métier lui permet-il de gagner plus de $510\euro$ par jour ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{ \hfill (10 points)\\
Une compagnie de transports désire optimiser les contrôles afin de limite l'impact des fraudes.
 Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les 20 jours ouvrables d'un mois,
 soit au total $40$ trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité
 pour tout voyageur d'être contrôlé est égale à $p$.\\
 Un trajet côute $10 \euro$. En cas de fraude, l'amende est de $100\euro$.\\
 Théo fraude systématiquement lors des $40$ trajets étudiés (ce n'est pas bien du tout !).\\
 Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de trajets où Théo a été contrôlé.
\begin{enumerate}
 \item Quelle loi suit $X$. Justifier.
 \item On suppose que $p=0.05$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer à $10^{-4}$ près $P(X=5)$. Interpréter.
  \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au moins une fois.
  \item Calculer à $10^{-4}$ près la probabilité que Théo soit contrôlé au plus deux fois.
  \end{enumerate}
\item Soit $Z$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par le fraudeur.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $Z=400-110X$.
        \item Calculer $E(Z)$.
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item La fraude est-elle favorable ou non pour Théo ?
        \item Pour quelles valeurs de $p$ en serait-il autrement ?
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\end{document}

