\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Fonctions de références et variations}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav

\Exoi{Un chien errant a été signalé sur une autoroute à moins de $3$ km de la borne kilométrique $50$, mais à plus de $5$ km de la borne $54$. On appelle $x$ le réel qui repère la position du chien sur l'autoroute.
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé en utilisant des valeurs absolues.
\item Entre quelles bornes kilométriques de l'autoroute ce chien peut-il se trouver ?
\end{enumerate}}


\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|x|+|2x-4|$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, suivant les valeurs de $x$, l'expression de $|x|$, de $|2x-4|$, puis de $f(x)$, sans utiliser les valeurs absolues.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on a tracé la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par :
$$ g(x)=x-1+2\sqrt{1-x}$$
ainsi que la droite $d$ qui représente graphiquement la fonction affine $f$ définie par $f(x)=x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $I$ et $J$ sont deux points de $\mathscr C$.
\item La droite $d$ coupe $\mathscr C$ en $A$. Calculer les coordonnées du point $A$.
\item La courbe $\mathscr C$ est-elle un quart de cercle de centre $O$ ?
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=5.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.24,-0.35)(1.74,1.32)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.24,-0.35)(1.74,1.32)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x-1+2*(1-x)^0.5}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-0.24}{1.74}{(-0--1*x)/1}
\rput[tl](0.3,0.34){$\qqqqcc{\mathscr C_f : y=x-1+2\sqrt{1-x}}$}
\rput[tl](1.31,1.26){$\zzqqqq{d:y=x}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,0)
\rput[bl](1.01,0.01){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,1)
\rput[bl](0.01,1.01){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](-0.1,-0.05){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.75,0.75)
\rput[bl](0.8,0.74){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\Exoi{Déterminer le plus grand ensemble de définition possible pour la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$
\item $f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+5}}$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{2-x}}{x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exoi{On a représenté graphiquement dans un repère les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(x)=\sqrt{x+2}$
\item $g(x)=\sqrt{2-x}$
\item $h(x)=\sqrt{x}-2$
\item $k(x)=\sqrt{x^2+1}$
\end{itemize}
\end{multicols}
Associer à chacune de ces fonctions la représentation graphique qui lui correspond.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqcccc}{0 0.8 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-1.999999872000013}{8.5}{(x+2)^0.5}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{3.1527648910790768E-15}{8.5}{x^0.5-2}
\psplot[linecolor=qqzzqq,plotpoints=200]{-4.3}{1.999999999999993}{(2-x)^0.5}
\psplot[linecolor=qqcccc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2+1)^0.5}
\rput[tl](-3.24,4.04){$\qqcccc{\mathscr C_1}$}
\rput[tl](-4,2.24){$\qqzzqq{\mathscr C_2}$}
\rput[tl](5.4,2.64){$\qqqqcc{\mathscr C_3}$}
\rput[tl](2,-0.76){$\zzqqqq{\mathscr C_4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Exoi{On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$x$ et $y$ sont des nombres réels.\\
}
{
Entrer $x$ \\
  \IfThenElse{ $x>1$ }
{$y:=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$}
{Afficher \og impossible \fg.}
Afficher $y$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Tester cet algorithme pour les valeurs suivantes de $x$ : $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ et $5$.
\item Expliquer les réponses obtenues pour les valeurs de $-1$, $0$ et $1$ de $x$.
\item Déterminer l'expression algébrique, donnant $y$ en fonction de $x$, définie par cet algorithme, ainsi que l'ensemble $\mathscr D$ des réels $x$ pour lesquels elle est définie.
\item Démontrer que la fonction définie sur $\mathscr D$ par $x\longmapsto y$ est décroissante.
\end{enumerate}
}


\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$\left\{ \begin{array}{l} f(x)=\sqrt{x} \qquad \text{si} \quad x\geq 0 \\ f(x)=-\sqrt{-x}\qquad \text{si} \quad x\leq 0  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est croissante sur $]-\infty;0]$ et sur $[0;+\infty[$. Dresser le tableau de variations de $f$.
\item Tracer la représentation graphique de $f$, notée $\mathscr C_f$, dans un repère orthonormé.
\item On considère un point $M$ quelconque de $\mathscr C_f$ d'abscisse $x$ positive.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'ordonnée du point $M$ ?
\item Quelles sont les coordonnées du point $M'$ de $\mathscr C_f$ d'abscisse $-x$ ?
\item Quel est le milieu du segment $[MM']$ ?
\item Qu'en déduire pour la courbe $\mathscr C_f$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x+|x|+1$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $f(x)$ sans utiliser les valeurs absolues suivant les valeurs de $x$ dans $\R$.
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
\item Démontrer que pour tout réel $x$, $f(x)\geq 1$.
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\sqrt{|x|}$$
On appelle $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est définie sur $\R$.
\item Justifier que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
\item Démontrer que $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty;0]$.
\item On considère un point quelconque $M$ de $\mathscr C_f$ d'abscisse $x$ positive.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'ordonnée du point $M$ ?
\item Démontrer que le point $M'$ de $\mathscr C_f$ d'abscisse $-x$ a la même ordonnée que $M$.
\item Quelle propriété géométrique peut-on en déduire pour la courbe $\mathscr C_f$ ?
\item Tracer $\mathscr C_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x-1$.
\begin{enumerate}
\item Ecrire les expressions des fonctions $g$ et $h$ définies par :
$$ g(x)=|f(x)| \qquad \text{et} \qquad h(x)=f\left(|x|\right)$$
\item A l'aide de la calculatrice, conjecturer les tableaux de variation des fonctions $g$ et $h$ puis démontrer les conjectures émises.
\end{enumerate}}

\Exoi{
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=|x+3|+|2-x|$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire, selon les valeurs de $x$, l'expression de $f(x)$ sans utiliser les valeurs absolues.
\item En déduire le tableau de variation de $f$.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\leq 0$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Résoudre graphiquement, en utilisant la droite des réels :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $|x-2|=3$
\item $|x+5|=|3-x|$
\item $|x-5|\leq |x+1|$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=|x-2|-\left|-\dfrac{3}{2}x+1\right|$.\\
On désigne par $\mathscr C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère othonormal.
\begin{enumerate}
\item Pour $x\in \R$, exprimer $f(x)$ sans valeurs absolues, puis représenter graphiquement $\mathscr C_f$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=12$.
\end{enumerate}}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Ecrire un algorithme qui demande la saisie d'un nombre entier $n$ et qui renvoie la somme des entiers naturels de $0$ à $n$, c'est-à-dire le nombre :
$$ S(n)=\sum_{i=0}^{n} i=0+1+2+\dots+n$$
\item Programmer cet algorithme sur une calculatrice ou sur algobox et donner la valeur de $S(100)$.
\item Soit $\sigma$ la fonction trinôme définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ \sigma(x)=\dfrac{x(x+1)}{2}$$
Montrer que : $\forall x\in [0;+\infty[$, $\sigma(x+1)-\sigma(x)=x+1 \quad (\mathscr R)$.
\item Soit $n\in \N$. Ecrire la relation $(\mathscr R)$ pour $x=0$, $1$, $2$, $3$, $\dots$, $n$ et en déduire $S(n)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Préciser les variations de la fonction sur l'intervalle considéré.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto 3-\sqrt{x}$ sur $I=[0;+\infty[$.
\item $f:x\longmapsto 5-2x^2$ sur $I=]-\infty;0]$.
\item $f:x\longmapsto 2|x|-6$ sur $I=[0;+\infty[$.
\item $f:x\longmapsto 6-2|x|$ sur $I=]-\infty;0]$.
\item $f:x\longmapsto \sqrt{x-3}$ sur $I=[3;+\infty[$.
\item $f:x\longmapsto (x-7)^2$ sur $I=]-\infty;7]$.
\item $f:x\longmapsto |x+2|$ sur $I=[-2;+\infty[$.
\item $f:x\longmapsto |x+2|$ sur $I=]-\infty;-2]$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exoi{Ecrire sans valeur absolue puis représenter la fonction $f$ définie par:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{1}{|x|}$ sur $\R^*$
\item $f(x)=x|x|$ sur $\R$
\item $f(x)=\dfrac{x}{|x|}$ sur $\R^*$
\item $f(x)=|x|$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item 
Montrer que la somme de deux fonctions croissantes (respectivement décroissantes) sur $I$ est une fonction croissante (respectivement décroissante) sur $I$.
\item  Qu'en est-il du produit de deux fonctions croissantes ? de deux fonctions décroissantes ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère sur $\R$ la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=|x-4|+|x+6|$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $|x-4|$ et $|x+6|$ sans valeur absolue.
\item Ecrire $f(x)$ sans valeur absolue.
\end{enumerate}}
\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R\textbackslash \{3\}$ par :
$$f(x)=\dfrac{x^2-5x+5}{x-3}$$
On souhaite étudier la position de la courbe $\mathscr C$ représentant $f$ par rapport à la droite $d$ d'équation $y=x-2$.
\begin{enumerate}
\item Etudier le signe de $f(x)-(x-2)$.
\item En déduire les positions relatives de la courbe $\mathscr C$ et de la droite $d$.
\item Décrire la façon dont évolue la valeur de $f(x)-(x-2)$ lorsque $x$ devient grand \footnote{On pourra faire les calculs pour $x=10^2$, $x=10^3$ et $x=10^6$.}
\\
Interpréter géométriquement ce phénomène.
\end{enumerate}
}
\Exoi{\\
\partieBac{Une fonction auxiliaire}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=x^2+4x+5$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
$$ \forall x\in\R, \quad x^2+4x+5=(x+2)^2+1$$
\item En déduire que :
$$ \forall x\in\R, \quad g(x)\geq 0$$
\item Dresser le tableau de variation de $g$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une fonction composée}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $f$ est définie sur $\R$.
\item Etablir que la fonction $f$ admet un minimum à préciser.
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par :
$$ g(x)=x-4\sqrt{x}+4$$
\begin{enumerate}
\item \og $g$ est la somme de fonctions monotones sur l'intervalle $[0;+\infty[$, elle est donc monotone sur cet intervalle.\fg{}\\
Que penser de cette affirmation ?
\item Montrer que :
$$ \forall x\in [0;+\infty[, \quad g(x)=\left(\sqrt{x}-2\right)^2$$
\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition.\footnote{On pourra utiliser les variations de $f$ en raisonnant successivement dans l'intervalle $[0;4]$ puis dans l'intervalle $]4;+\infty[$}
\item La fonction $g$ admet-elle un minimum ? Si oui lequel ?
\item Traduire en langage courant la proposition :
$$ \forall M\geq 0, \exists x\in [0;+\infty[, f(x)\geq M$$
Démontrer cette proposition.
\item Quelle nouvelle information, relative au tableau de variations de la fonction $f$, cette proposition apporte-t-elle ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2-6x+10}$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire le trinôme sous forme canonique.
\item Lorsque $h$ parcourt $\R$, quelle propriété géométrique les points  de coordonnées $\left(3-h;f(3-h)\right)$ et $\left(3+h;f(3+h)\right)$ vérifient-ils ?
\item Qu'en déduit-on sur la représentation graphique de la fonction $f$ ?
\item Montrer que la fonction $f$ est décroissante, puis croissante sur des intervalles que l'on précisera.
\item $f$ admet-elle un minimum ?
\item Soit $M\in \R$, $M\geq 1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=M$ admet une ou deux solutions.
\item Interpréter en langage courant la proposition :
$$ \forall M\geq 1, \exists x\in\R, f(x)\geq M $$
puis la démontrer.
\item Quelle nouvelle information, relative au tableau de variations de la fonction $f$, cette proposition apporte-t-elle ?
\item Montrer que :
$$ \forall x\in\R,\quad f(x)-(x-3)=\dfrac{1}{f(x)+x-3}$$
\item En déduire que l'affirmation \og le nombre (positif) $"f(x)-(x-3)"$ peut être rendu aussi petit que l'on veut à condition que $x$ positif soit suffisamment grand \fg{} est vraie.
\item Justifier alors les différents éléments graphiques de la représentation graphique ci-dessous sachant que la courbe est tracée en bleue :
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ttffqq}{0.2 1 0}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2-6*x+10)^0.5}
\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(-3--1*x)/1}
\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(--3-1*x)/1}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=ccqqqq](3,-1.52)(3,6.3)
\rput[tl](4.46,2.86){$\qqqqcc{\mathscr C_f : y:\sqrt{x^2-6x+10}}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit la fonction $R$ définie sur $\R$ par :
$$ R(x)=|36x^2-810x+2753|$$
\begin{enumerate}
\item Quel est le plus grand entier inférieur ou égal à $\sqrt{2753}$ ? Soit $N$ cet entier naturel que l'on nomme \textbf{partie entière de $\sqrt{2753}$} et que l'on note $E(2753)$.
\item Soit $d\in\N*$ le plus petit des diviseurs de $R(0)=2753$. Voici une liste d'entier : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$.
\begin{enumerate}
\item Quelle propriété arithmétique ces entiers vérifient-ils ?
\item Vérifier qu'aucun de ces ne divise $2753$.
\item En déduire que $d\geq 53$.
\item A l'aide d'un raisonnement par l'absurde, démontrer qu'il ne peut exister d'entier $d$, strictement supérieur à $1$ et strictement inférieur à $2753$ qui soit un diviseur de $2753$.
\item Quelle conclusion peut-on faire au sujet de $2753$ ?
\end{enumerate}
\item Etablir un raisonnement analogue pour $R(1)$.
\\
Conclure sur la nature de ce nombre.
\item Ecrire sur une calculatrice ou sur algobox un algorithme qui :
\begin{itemize}
\item demande la saisie d'un entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ ;
\item teste, pour $i$ allant de $2$ à $E(\sqrt{n})$ de $1$ en $1$, si $i$ divise $n$ et renvoie \textit{vraie} si l'entier $n$ est premier et \textit{faux} sinon.
\end{itemize}
\item Coder une calculatrice ou algobox un algorithme qui :
\begin{itemize}
\item demande la saisie d'un entier naturel $m$
\item renvoie, pour $j$ allant de $0$ à $m$ de $1$ en $1$, la réponse du test de primalité (établi à la question précédente) de l'entier $R(j)$.
\\
En déduire combien d'entiers premiers successifs, la fonction $R$ génère lorsque $x$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $\dots$
\end{itemize}
\end{enumerate}}

\Cadre[Histoire des sciences]{
\begin{itemize}
\item En $1772$, Leonhard Euler, proposa la formule :
$$ E(n)=n^2+n+41$$ qui donne des nombres premiers pour $n$ allant de $0$ à $39$.
\item En 1798, le mathématicien français Adrien-Marie Legendre proposa le polynôme du second degré suivant :
$$ L(n)=2n^2+29$$ qui produit des nombres premiers pour $n$ allant de $0$ à $ 28$.
\item Aujourd'hui, le record est détenu par Russel Ruby qui proposa en $1987$ l'expression :
$$ R(n)=36n^2-810n+2753$$
L'expression $\left|R(n)\right|$ fournit le plus grand nombre consécutifs de nombres premiers.
\end{itemize}}

\Exoi{\hfill(Olympiades)\\On définit pour chaque couple de réel $(a;b)$ la fonction $f$ par :
$$f(x)=a-\sqrt{x+b}$$
Deux nombres réels $u$ et $v$ sont dits \textit{échangeables} s'il existe au moins un couple de réels $(a;b)$ tel que la fonction $f$ vérifie à la fois $f(u)=v$ et $f(v)=u$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $2$ et $3$ sont échangeables.
\item Peut-on dire autant de $4$ et $7$ ?
\item A quelle condition deux \textbf{entiers} $u$ et $v$ sont-ils échangeables ?
\end{enumerate}}


\pagebreak

\Cj{Les quantificateurs $\exists$ et $\forall$.}

\vspace{2mm}

Soit $\mathscr P(x)$ une proposition dépendant d'un élément $x$ d'un ensemble $E$. La valeur de vérité de $\mathscr P(x)$ peut dépendre de $x$. Elle peut être vraie pour au moins un $x$, pour un et un seul $x$, ou encore pour tout $x\dots$

\begin{defi}[Le quantificateur existentiel $\exists$]
\begin{itemize}
\item \underline{\textbf{Définition}} : \\
Le symbole $\exists$ est appelé le quantificateur existentiel et signifie \og il existe au moins un \fg{}.
\item \underline{\textbf{Exemple}} : \\
\og Il existe un nombre réel $x$ tel que $x^2-4x+3=0$ \fg{} se traduit en langage formel par : $ \exists x\in\R, x^2-4x+3=0$
\item \underline{\textbf{Remarque}} :\\
La proposition est vraie si $x=1$, en effet $1^2-4+3=0$. Cependant elle est encore vraie pour $x=3$. Le quantificateur $\exists$ n'implique pas l'unicité. \\
En revanche la proposition $x-3=0$ est vraie seulement pour $x=3$, on note alors : $ \exists ! x, x-3=0$
\item \underline{\textbf{Démontrer une existence}} :
\\
Soit $\mathscr P(x)$ une propriété dépendant d'un nombre $x$. Pour montrer qu'il existe un réel $x$ tel que $\mathscr P(x)$ est vraie, il suffit de trouver un exemple de valeur de $x$ qui vérifie la propriété.
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{defi}[Le quantificateur universel $\forall$]
\begin{itemize}
\item \underline{\textbf{Définition}} : \\
Le symbole $\forall$ est appelé le quantificateur universel et signifie \og pour tout \fg{}.
\item \underline{\textbf{Exemple}} : \\
\og Pour tout nombre réel $x\geq 3$, on a $x^2-4x+3\geq 0$ \fg{} se traduit en langage formel par : $ \forall x\geq 3, x^2-4x+3\geq 0$
\item \underline{\textbf{Remarque}} :\\
La proposition traduit la propriété : si $x\geq 3$ alors $x^2-4x+3\geq 0$. On peut avoir l'existence d'un réel $x<3$ tel que $x^2-4x+3\geq 0$. Il ne s'agit pas d'un si et seulement si.
\item \underline{\textbf{Démontrer \og pour tout $\dots$ \fg{}}} :
\\
Soit $\mathscr P(x)$ une propriété dépendant d'un nombre $x$. Montrer que pour tout nombre réel $x$, $\mathscr P(x)$ est vraie nécessite un raisonnement qui établira qu'en remplaçant $x$ par n'importe quel nombre réel la propriété $\mathscr P$ sera toujours vraie.
\end{itemize}
\end{defi}


\Exoi{\hfill $ \forall$ ou $\exists$ ?\\
L'égalité $x^2+2x-3=(x+1)^2-4$ est-elle vraie pour un réel $x$ au moins ou pour tout réel $x$ ?}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Traduire en langage courant les propositions mathématiques suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in \R, x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
\item $\exists x \in \R, x\neq 2, \dfrac{3}{x-2}=5$
\item $\forall \epsilon>0, \exists x>0, \dfrac{1}{x}<\epsilon$
\item $ \exists M\in \R, \forall x\in [3;+\infty[, -2x^2+6x+1\geq M$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\item Ajouter devant chaque proposition, un quantificateur possible en justifiant.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\dots,|x-3|=2$
\item $\dots,|x-3|>2$
\item $\dots,\dfrac{1-6x}{2x+5}=-3$
\item $\dots,4\sqrt{2x+7}>x+11$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{enumerate}}


\end{document}

