\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de  l'interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (7 points)
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-5x+9=0$\\
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times 9=25-72=-47<0$. \\
Ce trinôme n'admet donc aucune racine.
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $-x^2+10x-1=0$\\
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac=10^2-4\times (-1)\times (-1)=100-4=96$.\\
Ce trinôme admet donc deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10-\sqrt{96}}{-2}=\dfrac{10+\sqrt{96}}{2}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10+\sqrt{96}}{-2}=\dfrac{10-\sqrt{96}}{2}$$
$$ \mathscr S=\left\{ \dfrac{10+\sqrt{96}}{2};\dfrac{10-\sqrt{96}}{2}\right\}$$
\item $ 9x^2-6x+1=0$\\
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 9\times 1=36-36=0$.\\
Ce trinôme admet donc une racine double :
$$ x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}$$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{1}{3}\right\}$$
\item $7x^2+3x=0\Longleftrightarrow x(7x+3)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad 7x+3=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x=-\dfrac{3}{7}$
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{3}{7};0\right\}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item {\footnotesize Déterminer les points d'intersection entre la représentation graphique $\mathscr P$ de la fonction $f$ et la droite $\mathscr D$ dans les cas suivants :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=4x^2-5x+1$ et $\mathscr D : y=3x-1$.\\
On cherche les abscisses $x$ de ces points en résolvant l'équation $f(x)=y$ i.e :
$$ 4x^2-5x+1=3x-1\Longleftrightarrow 4x^2-8x+2=0\Longleftrightarrow 2x^2-4x+1=0$$
On est amené à chercher les racines d'un trinôme du second degré.\\
$$ \Delta=b^2-4ac=16-8=8$$
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8-\sqrt{8}}{4}=\dfrac{8-2\sqrt{2}}{4}=\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8+\sqrt{8}}{4}=\dfrac{4+\sqrt{2}}{2}$$
L'ordonnée du point d'abscisse $\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}$ est $3\times \dfrac{4-\sqrt{2}}{2}-1$ et celle du point d'abscisse $ \dfrac{4+\sqrt{2}}{2}$ est $3\times \dfrac{4+\sqrt{2}}{2}-1$. Ainsi $\mathscr P$ et $\mathscr D$ ont deux points d'intersection que nous noterons $A$ et $B$ dont les coordonnées sont :
$$ A\left(\dfrac{4-\sqrt{2}}{2};3\times \dfrac{4-\sqrt{2}}{2}-1\right)\qquad \text{et}\qquad B\left(\dfrac{4+\sqrt{2}}{2};3\times \dfrac{4+\sqrt{2}}{2}-1\right)$$
\item $f(x)=-x^2+10x-1$ et $\mathscr D : y=2$.\\
On cherche les abscisses $x$ de ces points en résolvant l'équation $f(x)=y$ i.e :
$$ -x^2+10x-1=2\Longleftrightarrow x^2-10x+3=0$$
On est amené à chercher les racines d'un trinôme du second degré.\\
$$ \Delta=b^2-4ac=100-12=88$$
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10-\sqrt{88}}{2}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10+\sqrt{88}}{2}$$
L'ordonnée du point d'abscisse $\dfrac{10-\sqrt{88}}{2}$ est $2$ et celle du point d'abscisse $\dfrac{10+\sqrt{88}}{2}$ est $2$. Ainsi $\mathscr P$ et $\mathscr D$ ont deux points d'intersection que nous noterons $A$ et $B$ dont les coordonnées sont :
$$ A\left(\dfrac{10-\sqrt{88}}{2};2\right)\qquad \text{et}\qquad B\left(\dfrac{10+\sqrt{88}}{2};2\right)$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
{\footnotesize Déterminer les dimensions d'un rectangle d'aire $S=10$ cm$^2$ et de périmètre $P=15$ cm.}
\\
Notons $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, on a alors $xy=10$ et $2x+2y=15\Longleftrightarrow 2y=15-2x\Longleftrightarrow y=7,5-x$.\\
Par conséquent $$ x(7,5-x)=10\Longleftrightarrow 7,5x-x^2=10\Longleftrightarrow x^2-7,5x+10=0$$
On cherche les racines de ce trinôme.\\
$$ \Delta=b^2-4ac=\left(\dfrac{15}{2}\right)^2-40=\dfrac{225}{4}-\dfrac{160}{4}=\dfrac{65}{4}$$
Il existe donc deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7,5-\sqrt{\dfrac{65}{4}}}{2}=\dfrac{15-\sqrt{65}}{4}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7,5+\sqrt{\dfrac{65}{4}}}{2}=\dfrac{15+\sqrt{65}}{4}$$
Lorsque $x=\dfrac{15-\sqrt{65}}{4}$ alors $y=7,5-x=7,5-\dfrac{15-\sqrt{65}}{4}=\dfrac{30-15+\sqrt{65}}{4}=\dfrac{15+\sqrt{65}}{4}$.\\
De même si $x=\dfrac{15+\sqrt{65}}{4}$ alors $y=7,5-x=7,5-\dfrac{15+\sqrt{65}}{4}=\dfrac{30-15-\sqrt{65}}{4}=\dfrac{15-\sqrt{65}}{4}$.\\
Dans les deux cas on trouve que ce rectangle a pour longueur $L=\dfrac{15+\sqrt{65}}{4}$ et pour largeur $\ell=\dfrac{15-\sqrt{65}}{4}$
}


%\pagebreak
\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de  l'interrogation n$^{\circ}9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (7 points)
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-5x-9=0$\\
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times (-9)=25+72=97$. \\
Ce trinôme admet donc deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{97}}{4}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{97}}{4}$$
$$ \mathscr S=\left\{ \dfrac{5-\sqrt{97}}{4};\dfrac{5+\sqrt{97}}{4}\right\}$$
\item $-x^2+x-10=0$\\
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times (-1)\times (-10)=1-40=-39<0$. \\
Ce trinôme n'admet donc aucune racine.
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $ 16x^2-8x+1=0$\\
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\times 16\times 1=64-64=0$. \\
Ce trinôme admet donc une racine double :
$$ x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{1}{4}\right\}$$
\item $7x^2-3=0\Longleftrightarrow 7x^2=3 \Longleftrightarrow x^2=\dfrac{3}{7}\Longleftrightarrow x=-\sqrt{\dfrac{3}{7}}\qquad \text{ou}\qquad x=\sqrt{\dfrac{3}{7}}$
$$ \mathscr S=\left\{-\sqrt{\dfrac{3}{7}};\sqrt{\dfrac{3}{7}}\right\}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item {\footnotesize Déterminer les points d'intersection entre la représentation graphique $\mathscr P$ de la fonction $f$ et la droite $\mathscr D$ dans les cas suivants :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=4x^2+5x-1$ et $\mathscr D : y=3x-1$.\\
On cherche les abscisses $x$ de ces points en résolvant l'équation $f(x)=y$ i.e :
$$ 4x^2+5x-1=3x-1\Longleftrightarrow 4x^2+2x=0\Longleftrightarrow 2x(2x+1)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x=-\dfrac{1}{2}$$
L'ordonnée du point d'abscisse $0$ est $3\times 0-1=-1$ et celle du point d'abscisse $ -\dfrac{1}{2}$ est $3\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)-1=-\dfrac{5}{2}$. Ainsi $\mathscr P$ et $\mathscr D$ ont deux points d'intersection que nous noterons $A$ et $B$ dont les coordonnées sont :
$$ A\left(0;-1\right)\qquad \text{et}\qquad B\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\right)$$
\item $f(x)=-x^2+x-10$ et $\mathscr D : y=2$.\\
On cherche les abscisses $x$ de ces points en résolvant l'équation $f(x)=y$ i.e :
$$ -x^2+x-10=2\Longleftrightarrow x^2-x+12=0$$
On est amené à chercher les racines d'un trinôme du second degré.\\
$$ \Delta=b^2-4ac=1-48=-47<0$$
Ce trinôme n'admet pas de racine. Ainsi $\mathscr P$ et $\mathscr D$ n'ont pas de points d'intersection 
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (3 points)\\
{\footnotesize Déterminer les dimensions d'un rectangle d'aire $S=12$ cm$^2$ et de périmètre $P=16$ cm.}\\
Notons $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, on a alors $xy=12$ et $2x+2y=16\Longleftrightarrow 2y=16-2x\Longleftrightarrow y=78-x$.\\
Par conséquent $$ x(8-x)=12\Longleftrightarrow 8x-x^2=12\Longleftrightarrow x^2-8x+12=0$$
On cherche les racines de ce trinôme.\\
$$ \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-48=64-48=16$$
Il existe donc deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8-4}{2}=2\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8+4}{2}=6$$
Lorsque $x=2$ alors $y=8-x=8-2=6$.\\
De même si $x=6$ alors $y=8-x=8-6=2$.\\
Dans les deux cas on trouve que ce rectangle a pour longueur $L=6$ et pour largeur $\ell=2$}

\end{document}
