\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Interro 6 : Corrigé}
\newcommand{\Ch}{Trigonométrie avec $\dfrac{\pi}{12}$}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav

\Exoi{\begin{footnotesize}
On considère un repère orthonormal $(O;I,J)$. $8$ cm représente $1$ unité graphique. \\
On note $\mathscr C$ le cercle trigonométrique de centre $O$ passant par $I$, soiit $B$ le point de $\mathscr C$ tel que :
$$ \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{\pi}{6}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Construire la figure en laissant les traits de construction apparent.}
\item {\footnotesize Placer le point $A\in\mathscr C$ tel que  $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}{12}$}
\item {\footnotesize Construire le polygone régulier à $24$ côtés dont $A$, $I$ et $J$ sont des sommets.}
\item \begin{footnotesize}
Placer les points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ de $\mathscr C$ tels que :
$$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{\pi}{12}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{11\pi}{12}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OE}\right)=-\dfrac{11\pi}{12}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OF}\right)=\dfrac{5\pi}{12}\qquad \text{et}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OG}\right)=\dfrac{7\pi}{12}$$
\end{footnotesize}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-17.23,-13.36)(20.66,10.76)
\pscircle(0,0){6}
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(--4-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(-0--0.26*x)/0.97}
\psline[linestyle=dotted](4,-13.36)(4,10.76)
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(-0--0.97*x)/0.26}
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(-0--4*x)/4}
\psline[linestyle=dotted](-4,-13.36)(-4,10.76)
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(-4-0*x)/1}
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(-0--0.97*x)/-0.26}
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(-0--0.71*x)/-0.71}
\psplot[linestyle=dotted]{-17.23}{20.66}{(-0--0.26*x)/-0.97}
\psline(0,8)(-2.07,7.73)
\psline(-2.07,7.73)(-4,6.93)
\psline(-5.66,5.66)(-4,6.93)
\psline(-5.66,5.66)(-6.93,4)
\psline(-6.93,4)(-7.73,2.07)
\psline(-7.73,2.07)(-8,0)
\psline(-8,0)(-7.73,-2.07)
\psline(-7.73,-2.07)(-6.93,-4)
\psline(-6.93,-4)(-5.66,-5.66)
\psline(-5.66,-5.66)(-4,-6.93)
\psline(-4,-6.93)(-2.07,-7.73)
\psline(-2.07,-7.73)(0,-8)
\psline(0,-8)(2.07,-7.73)
\psline(2.07,-7.73)(4,-6.93)
\psline(4,-6.93)(5.66,-5.66)
\psline(5.66,-5.66)(6.93,-4)
\psline(6.93,-4)(7.73,-2.07)
\psline(7.73,-2.07)(8,0)
\psline(8,0)(7.73,2.07)
\psline(7.73,2.07)(6.93,4)
\psline(6.93,4)(5.66,5.66)
\psline(5.66,5.66)(4,6.93)
\psline(4,6.93)(2.07,7.73)
\psline(2.07,7.73)(0,8)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,0)
\rput[bl](8.12,0.21){\blue{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.14,0.21){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,8)
\rput[bl](0.14,8.19){\blue{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6.93,4)
\rput[bl](6.99,4.17){\darkgray{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.73,2.07)
\rput[bl](7.86,2.27){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](3.48,10.28){$d$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,6.93)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.07,7.73)
\rput[bl](2.2,7.93){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](-12.76,-13.2){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.66,5.66)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-7.73,-2.07)
\rput[bl](-7.61,-1.88){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-6.93,-4)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-5.66,-5.66)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-4,-6.93)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.07,-7.73)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-4,6.93)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-6.93,4)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6.93,-4)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,-6.93)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-8,0)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-7.73,2.07)
\rput[bl](-7.61,2.27){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.73,-2.07)
\rput[bl](7.86,-1.88){\darkgray{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.66,-5.66)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.07,-7.73)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.07,7.73)
\rput[bl](-1.95,7.93){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-5.66,5.66)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,-8)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Donner les coordonnées de $B$.}\\
Par définition du sinus et du cosinus, $B$ a pour coordonnées :
$$ \left(\cos \dfrac{\pi}{6};\sin \dfrac{\pi}{6}\right)\qquad \text{c'est-à-dire}\qquad \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right)$$
\item {\footnotesize Calculer $IB$. On donnera la valeur exacte de $IB$ puis une valeur arrondi au dixième de $IB$ en $cm$.}\\
Notons $H'$ le projeté orthogonal de $B$ sur l'axe des abscisses. Alors le triangle $BH'I$ est rectangle en $H'$. \\
Des coordonnées de $B$ on tire $H'B=\dfrac{1}{2}$ et $OH'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. De plus $OI=1$, et par conséquent $H'I=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc d'après le théorème de Pythagore on a :
\begin{eqnarray*}
& & IB^2=H'I^2+H'B^2\\
&\Longleftrightarrow & IB^2=\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\
& \Longleftrightarrow & IB^2=1-\sqrt{3}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\\
& \Longleftrightarrow & IB^2=2-\sqrt{3}\\
& \Longleftrightarrow & IB=\sqrt{2-\sqrt{3}}\simeq 0,52
\end{eqnarray*}
On vient de trouver la longueur $IB$ en unité graphique, par conséquent $IB=8\sqrt{2-\sqrt{3}}\simeq 4,1$ cm.
\item {\footnotesize On note $H$ le point d'intersection entre la droite $(OA)$ et la droite $(IB)$. Quelle est la nature du triangle $OHI$ ?}
\\
On observe que $ OB=OI=1$, ainsi le triangle $OIB$ est isocèle en $O$. De plus la droite $(OA)$ est la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)$. $(OA)$ est donc aussi une hauteur dans le triangle $OIB$, et par conséquent :
$$ (OA)\perp (IB)\Longrightarrow \text{le triangle OIH est rectangle en H.}$$
\item {\footnotesize  Montrer que $IB=2\sin \dfrac{\pi}{12}$. En déduire la valeur exacte de $\sin \dfrac{\pi}{12}$.}\\
Dans le triangle $OIH$ on a :
$$ \sin \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\Longleftrightarrow \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{HI}{OI}=HI$$
Or, $HI=\dfrac{1}{2}IB$ et donc, puisque $IB=\sqrt{2-\sqrt{3}}$ :
$$ \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$
\item {\footnotesize En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{12}$.}\\
\begin{eqnarray*}
 & & \cos^2 x+ \sin x=1\\
 &\Longrightarrow & \cos^2 \dfrac{\pi}{12}+\sin^2 \dfrac{\pi}{12}=1\\
 & \Longleftrightarrow & \cos^2\dfrac{\pi}{12}+\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^2=1\\
 & \Longleftrightarrow & \cos^2\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}=1\\
 & \Longleftrightarrow & \cos^2 \dfrac{\pi}{12}=1-\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}\\
 &\Longleftrightarrow & \cos^2 \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{4-2+\sqrt{3}}{4}\\
 &\Longleftrightarrow & \cos^2 \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\\
 & \Longleftrightarrow & \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\qquad \text{ou} \qquad \cos \dfrac{\pi}{12}=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}
\end{eqnarray*}\\
Or, $0<\dfrac{\pi}{12}<\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow \cos \dfrac{\pi}{12}>0$, on en conclut que :
$$ \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$$ 
\pagebreak
\item {\footnotesize Donner les coordonnées des points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.}\\
D'après les questions précédentes on sait que :
$$ A\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)$$
Dès coordonnées de $A$ et de la symétrie de la figure on déduit celles de $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ :
$$ C\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2};-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)$$
$$ D\left(\dfrac{-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)$$
$$ E\left(-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2};-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)$$
$$ F\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)$$
$$ G\left(-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2};\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)$$
\end{enumerate}}



\end{document}

