\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de  l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\Exoi{\hfill (4 points)\\
Compléter :
\begin{enumerate}
\item $\N$ désigne l'ensemble des \textbf{entiers naturels}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\N$ :
$$ 5\qquad ;\qquad 7\qquad ; \qquad 1546$$
\item $\R$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres réels}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\R$ :
$$ -5\qquad ; \qquad \dfrac{3}{7}\qquad ; \qquad \pi$$
\item $\Z$ désigne l'ensemble des \textbf{entiers relatifs}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\Z$ :
$$ -9\qquad ; \qquad -99\qquad ;\qquad 1234$$
\item $\Q$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres rationnels}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\Q$ :
$$ -\dfrac{5}{2}\qquad ; \qquad 1\qquad ;\qquad \dfrac{142}{24567889}$$
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
{\footnotesize  On veut construire à la règle et au compas un segment de longueur : $\sqrt{11}$ cm}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}\begin{footnotesize}
\item Construire un segment $[BH]$ de longueur $1$ cm.
\item Sur la demi-droite $[BH)$, placer le point $C$ tel que $HC=11$ cm.
\item Construire un demi-cercle de diamètre $[BC]$.
\item Construire la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $H$. Elle coupe le demi-cercle en $A$.
\end{footnotesize}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.49,-2.45)(11.52,7.93)
\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1*6*cos(t)+0*6*sin(t)+5|0*6*cos(t)+1*6*sin(t)+0}
\psline(-1,0)(11,0)
\psline(0,-2.45)(0,7.93)
\psline(-1,0)(0,3.32)
\psline(0,3.32)(11,0)
\rput[tl](4.87,-0.12){$11$}
\rput[tl](-0.65,-0.05){$1$}
\rput[tl](0.12,2.1){$ \sqrt{11} $}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1,0)
\rput[bl](-1.31,-0.16){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](0.19,0.04){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](11,0)
\rput[bl](11.1,0.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,3.32)
\rput[bl](-0.34,3.23){$A$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.}\\
Le triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle dont l'un de ses côtés est un diamètre (le côté $[BC]$), par conséquent il est rectangle en $A$.
\item {\footnotesize Ecrire l'égalité de Pythagore dans les triangles $ABC$, $AHC$ et $AHB$.}\\
D'après la question le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore on a :
$$ BC^2=AB^2+AC^2$$
Par construction les triangles $AHC$ et $AHB$ sont rectangles en $H$, ainsi on a d'après Pythagore :
$$ AB^2=BH^2+AH^2\qquad \text{et}\qquad AC^2=AH^2+HC^2$$
\item {\footnotesize En déduire que $AH^2=11$, conclure.}\\
D'après la question précédente on sait que $BC^2=AB^2+AC^2$, en utilisant les deux autres égalités que donnent le théorème de Pythagore on obtient :
$$ BC^2=HB^2+AH^2+AH^2+HC^2$$
Ainsi :
$$ BC^2=1+2AH^2+121$$
Par conséquent :
$$ 2AH^2=12^2-122=144-122=22$$
On en déduit :
$$ AH^2=11\Longrightarrow AH=\sqrt{11}$$
Ainsi, à l'aide de la règle et du compas on a construit un segment de longueur $\sqrt{11}$ cm, en l'occurence il s'agit du segment $[AH]$.
\end{enumerate}
}




\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de  l'interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}






\Exoi{\hfill (4 points)\\
Compléter :
\begin{enumerate}
\item $\Z$ désigne l'ensemble des \textbf{entiers relatifs}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\Z$ :
$$ -9\qquad ; \qquad -99\qquad ;\qquad 1234$$
\item $\N$ désigne l'ensemble des \textbf{entiers naturels}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\N$ :
$$ 5\qquad ;\qquad 7\qquad ; \qquad 1546$$
\item $\R$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres réels}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\R$ :
$$ -5\qquad ; \qquad \dfrac{3}{7}\qquad ; \qquad \pi$$
\item $\Q$ désigne l'ensemble des \textbf{nombres rationnels}. \\
Donnons trois exemples de nombres appartenant à $\Q$ :
$$ -\dfrac{5}{2}\qquad ; \qquad 1\qquad ;\qquad \dfrac{142}{24567889}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (6 points)\\
{\footnotesize  On veut construire à la règle et au compas un segment de longueur : $\sqrt{7}$ cm}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}\begin{footnotesize}
\item Construire un segment $[BH]$ de longueur $1$ cm.
\item Sur la demi-droite $[BH)$, placer le point $C$ tel que $HC=7$ cm.
\item Construire un demi-cercle de diamètre $[BC]$.
\item Construire la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $H$. Elle coupe le demi-cercle en $A$.
\end{footnotesize}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.35,-1.28)(7.95,4.41)
\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1*4*cos(t)+0*4*sin(t)+3|0*4*cos(t)+1*4*sin(t)+0}
\psline(-1,0)(7,0)
\psline(0,-1.28)(0,4.41)
\psline(-1,0)(0,2.65)
\psline(0,2.65)(7,0)
\rput[tl](3.31,-0.01){$7$}
\rput[tl](-0.65,-0.05){$1$}
\rput[tl](0.12,1.77){$ \sqrt{7} $}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1,0)
\rput[bl](-1.31,-0.16){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](0.19,0.04){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7,0)
\rput[bl](7.09,0.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,2.65)
\rput[bl](-0.34,2.57){$A$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.}\\
Le triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle dont l'un de ses côtés est un diamètre (le côté $[BC]$), par conséquent il est rectangle en $A$.
\item {\footnotesize Ecrire l'égalité de Pythagore dans les triangles $ABC$, $AHC$ et $AHB$.}\\
D'après la question le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore on a :
$$ BC^2=AB^2+AC^2$$
Par construction les triangles $AHC$ et $AHB$ sont rectangles en $H$, ainsi on a d'après Pythagore :
$$ AB^2=BH^2+AH^2\qquad \text{et}\qquad AC^2=AH^2+HC^2$$
\item {\footnotesize En déduire que $AH^2=7$, conclure.}\\
D'après la question précédente on sait que $BC^2=AB^2+AC^2$, en utilisant les deux autres égalités que donnent le théorème de Pythagore on obtient :
$$ BC^2=HB^2+AH^2+AH^2+HC^2$$
Ainsi :
$$ BC^2=1+2AH^2+49$$
Par conséquent :
$$ 2AH^2=8^2-50=64-50=14$$
On en déduit :
$$ AH^2=7\Longrightarrow AH=\sqrt{7}$$
Ainsi, à l'aide de la règle et du compas on a construit un segment de longueur $\sqrt{7}$ cm, en l'occurence il s'agit du segment $[AH]$.
\end{enumerate}
}

\end{document}
