\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correciton de l'interrogation n$^{\circ}20$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (10 points)\\}
\begin{footnotesize}
$ABCD$ est un carré de côté $10$. $\mathscr C$ est le quart de cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ contenu dans le carré $ABCD$. $M$ est un point quelconque de $\mathscr C$. La tangente à $\mathscr C$ en $M$ coupe les segments $[BC]$ et $[CD]$ en $E$ et en $F$.
\\
\textbf{On se propose de trouver la position du point $M$ sur $\mathscr C$ pour que la longueur $EF$ soit minimale.}
\end{footnotesize}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.78,-0.46)(5.06,4.72)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.29,3.81)(1.11,3.42)(1.5,3.25)(1.67,3.63)
\psline[linecolor=qqzzqq](0,0)(4,0)
\psline[linecolor=qqzzqq](4,0)(4,4)
\psline[linecolor=qqzzqq](4,4)(0,4)
\psline[linecolor=qqzzqq](0,4)(0,0)
\parametricplot[linecolor=qqqqcc]{0.0}{1.5707963267948966}{1*4*cos(t)+0*4*sin(t)+0|0*4*cos(t)+1*4*sin(t)+0}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0)(1.67,3.63)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-0.32,4.55)(0.88,4)
\psline[linecolor=ccqqqq](0.88,4)(4,2.56)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4,2.56)(4.77,2.2)
\rput[tl](2.98,2.38){$\qqqqcc{\mathscr C}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.3,-0.18){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.12,-0.1){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,4)
\rput[bl](4.08,4.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,4)
\rput[bl](0.08,4.08){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.67,3.63)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.88,4)
\rput[bl](0.96,4.08){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,2.56)
\rput[bl](4.08,2.64){$F$}
\rput[bl](1.76,3.72){$M$}
%\rput[bl](1.38,3.46){\qqwuqq{$90\textrm{\degre}$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{footnotesize}
On pose $BF=x$ et $DE=y$. Le réel $x$ appartient à l'intervalle $[0;10]$.
\end{footnotesize} 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
 En comparant successivement dans les triangles $AMF $ et $ABF $ justifier que $MF=x$. Procéder de même pour justifier que  $ME=y$. En déduire que $$ EF=x+y$$
\end{footnotesize}
\\
$AM$ et $AB$ sont deux rayons d'un même cercle donc $AM=AB$, de plus les triangles $AMF$ et $ABF$ sont tous deux rectangles et possèdent la même hypoténuse. Leur troisième côté est donc de mesure identique, i.e :
$$ MF=BF=x$$
On procède de la même manière dans les triangles $ABE$ et $ADE$ pour montrer que $ME=y$.
\\
Par conséquent :
$$EF=EM+MF=y+x=x+y$$
\item \begin{footnotesize}
En considérant le triangle $CEF$, démontrer que :
$$ EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$$
puis, en utilisant le fait que $EF=x+y$, que 
$$ y(2x+20)=-20x+200$$
\end{footnotesize}\\ 
Le triangle $CEF$ est rectangle, Pythagore donne :
$$ EF^2=CE^2+CF^2\Longleftrightarrow (x+y)^2=(10-x)^2+(10-y)^2\Longleftrightarrow EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$$
et comme $EF=x+y$ on a :
$$ (x+y)^2=x^2+y^2-20x-20y+200\Longleftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2+y^2-20x-20y+200\Longleftrightarrow 2xy+20y=-20x+200$$
d'où :$$ y(2x+20)=-20x+200$$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que $ y=\dfrac{100-10x}{x+10}$
\end{footnotesize}\\ 
Comme $ y(2x+20)=-20x+200\Longleftrightarrow y=\dfrac{-20x+20}{2x+20}=\dfrac{100-10x}{x+10}$
\item \begin{footnotesize} En déduire enfin que que $EF=x+y=\dfrac{x^2+100}{x+10}$.
\end{footnotesize}\\ 
$$ EF=x+y=x+\dfrac{100-10x}{x+10}=\dfrac{x^2-10x+100-10x}{x+10}=\dfrac{x^2+100}{x+10}$$
\item \begin{footnotesize} On considère la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^2+100}{x+10}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize} Etudier les variations de la fonction $f$.\end{footnotesize}\\
Pour tout $x\neq -10$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{2x(x+10)-(x^2+100)}{(x+10)^2}=\dfrac{x^2+20x-100}{(x+10)^2}$$
ce nombre est du signe du numérateur, le dénominateur étant un carré ; ce qui revient à étudier le signe d'un trinôme :
\\
$\Delta=400+400=800$ donc le trinôme admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-20+\sqrt{800}}{2}=-10+10\sqrt{2}\qquad  \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-20-\sqrt{800}}{2}=-10-10\sqrt{2}$$
et donc sur l'intervalle $[0,10]$ on a :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-10+10\sqrt{2}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$4$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$  $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$  $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item \begin{footnotesize} En déduire que la valeur minimum de $EF$ est $20\sqrt{2}-20$ et que dans ce cas, $DE=BF$.
\end{footnotesize}\\
Par lecture directe du tableau de variation $f$ admet un minimum lorsque $x=-10+10\sqrt{2}$, ce minimum vaut $$ f\left(-10+10\sqrt{2}\right)=20\sqrt{2}-20$$
donc la valeur minimale de $EF$ est bien $20\sqrt{2}-20$ qui donc donnée pour $BF=-10+10\sqrt{2}$ et pour $DE=y=\dfrac{100-10x}{x+10}=10\sqrt{2}-10$.\\
On conclut donc que $DE=BF$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}


\end{document}
