\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\usepackage{booktabs}
\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
{\footnotesize Dans un plan muni d'un repère on considère deux points $A(-1,5;2)$ et $B(4;-1)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la droite $(AB)$.}\\
$(AB)$ est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées puisque $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse, par conséquent $(AB)$ admet une équation de la forme $y=ax+b$. Des coordonnées de $A$ on tire l'équation $2=-1,5a+b$, de celle de $B$ on tire $-1=4a+b$. En soustrayant les deux équations membre à membre, on obtient :
$$ 2-(-1)=-1,5a+b-4a-b\Longleftrightarrow 3=-5,5a\Longleftrightarrow a=\dfrac{3}{-5,5}=-\dfrac{6}{11}$$
En utilisant la première équation et la valeur de $a$ on obtient :
$$ 2=-1,5\times \left(-\dfrac{6}{11}\right)+b\Longleftrightarrow 2=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{6}{11}+b\Longleftrightarrow 2-\dfrac{18}{22}=b\Longleftrightarrow \dfrac{22}{11}-\dfrac{9}{11}=b\Longleftrightarrow b=\dfrac{13}{11}$$
On conclut alors que :
$$ (AB) : y=-\dfrac{6}{11}x+\dfrac{13}{11}$$
\item {\footnotesize On considère la fonction $f$ dont la courbe représentative est la droite $(AB)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de $f$.}\\
La fonction est donc définie par $f(x)=-\dfrac{6}{11}x+\dfrac{13}{11}$. Le coefficient directeur, ici négatif, permet d'affirmer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$, par conséquent :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des ordonnées.}\\
On cherche le point de $(AB)$ dont l'abscisse vaut $0$ :
$$ f(0)=-\dfrac{6}{11}\times 0+\dfrac{13}{11}=\dfrac{13}{11}$$
Le point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des ordonnées a pour coordonnées :
$$ \left(0;\dfrac{13}{11}\right)$$
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des abscisses.}\\
On cherche le point de $(AB)$ dont l'ordonnée vaut $0$ :
$$ f(x)=0\Longleftrightarrow -\dfrac{6}{11}x+\dfrac{13}{11}=0\Longleftrightarrow -\dfrac{6}{11}x=-\dfrac{13}{11}\Longleftrightarrow x=-\dfrac{13}{11}\times \dfrac{-11}{6}=\dfrac{13}{6}$$
Le point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des abscisses a pour coordonnées :
$$ \left(\dfrac{13}{6};0\right)$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de la fonction $f$.}\\
Puisque $f$ est strictement décroissante sur $\R$ et puisque $f\left(\dfrac{13}{6}\right)=0$ on déduit immédiatement le signe de $f$ suivant les valeurs de $x$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{13}{6}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère l'algorithme suivant :
\Algo{6cm}{
\Entree{ 
$x$ et $c$ sont des nombres réels.\\
}
{
Entrer la valeur de $x$. \\
$c:=x^2$.\\
\IfThenElse{$x\geq c$}
{Afficher $x$}
{Afficher $c$}
}
}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur entre $x=\dfrac{1}{2}$ ?}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c$\\
\midrule  
 & $\dfrac{1}{2}$ & \\
 &  & $\dfrac{1}{4}$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
Puisque $\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{4}$ l'algorithme affiche $\dfrac{1}{2}$.
\item {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur entre $x=5$ ? $x=-2$ ? $x=1$ ?}
\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c$\\
\midrule  
 & $5$ & \\
 &  & 25\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c$\\
\midrule  
 & $-2$ & \\
 &  & $4$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c$\\
\midrule  
 & $1$ & \\
 &  & $1$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}
Lorsque l'utilisateur entre $5$ l'algorithme affiche $25$ car $25>5$.\\
Lorsque l'utilisateur entre $-2$ l'algorithme affiche $4$ car $4>-2$.\\
Lorsque l'utilisateur entre $1$ l'algorithme affiche $1$ car $1=1$.
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $x-x^2=x(1-x)$.}
$$ \forall x\in \R, \qquad x(1-x)=x\times 1-x\times x=x-x^2 $$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de l'expression $x(1-x)$.}
\\
$x(1-x)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou} \qquad 1-x=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou} \qquad x=1$, d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x}&&\tx{-}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{1-x}&&&\tx{+}&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{x(1-x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles $x$ est supérieur ou égal à $x^2$. }\\
D'après le tableau précédent $x-x^2\geq 0\Longleftrightarrow x\in [0;1]$, ainsi :
$$ x\geq x^2\Longleftrightarrow x\in [0;1]$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vfill 

\underline{\textbf{\textit{Enigme de la semaine}}} : Quelle est la probabilité pour qu'en lançant trois dés on obtienne les longueurs des côtés d'un triangle non plat ?

\pagebreak


\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
{\footnotesize Dans un plan muni d'un repère on considère deux points $A(1,5;2)$ et $B(-4;-1)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la droite $(AB)$.}\\
$(AB)$ est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées puisque $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse, par conséquent $(AB)$ admet une équation de la forme $y=ax+b$. Des coordonnées de $A$ on tire l'équation $2=1,5a+b$, de celle de $B$ on tire $-1=-4a+b$. En soustrayant les deux équations membre à membre, on obtient :
$$ 2-(-1)=1,5a+b+4a-b\Longleftrightarrow 3=5,5a\Longleftrightarrow a=\dfrac{3}{5,5}=\dfrac{6}{11}$$
En utilisant la première équation et la valeur de $a$ on obtient :
$$ 2=1,5\times \dfrac{6}{11}+b\Longleftrightarrow 2=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{6}{11}+b\Longleftrightarrow 2-\dfrac{18}{22}=b\Longleftrightarrow \dfrac{22}{11}-\dfrac{9}{11}=b\Longleftrightarrow b=\dfrac{13}{11}$$
On conclut alors que :
$$ (AB) : y=\dfrac{6}{11}x+\dfrac{13}{11}$$
\item {\footnotesize On considère la fonction $f$ dont la courbe représentative est la droite $(AB)$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de $f$.}\\
La fonction est donc définie par $f(x)=\dfrac{6}{11}x+\dfrac{13}{11}$. Le coefficient directeur, ici positif, permet d'affirmer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$, par conséquent :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{2.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des ordonnées.}\\
On cherche le point de $(AB)$ dont l'abscisse vaut $0$ :
$$ f(0)=\dfrac{6}{11}\times 0+\dfrac{13}{11}=\dfrac{13}{11}$$
Le point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des ordonnées a pour coordonnées :
$$ \left(0;\dfrac{13}{11}\right)$$
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des abscisses.}\\
On cherche le point de $(AB)$ dont l'ordonnée vaut $0$ :
$$ f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{6}{11}x+\dfrac{13}{11}=0\Longleftrightarrow \dfrac{6}{11}x=-\dfrac{13}{11}\Longleftrightarrow x=-\dfrac{13}{11}\times \dfrac{11}{6}=-\dfrac{13}{6}$$
Le point d'intersection entre $(AB)$ et l'axe des abscisses a pour coordonnées :
$$ \left(-\dfrac{13}{6};0\right)$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de la fonction $f$.}\\
Puisque $f$ est strictement croissante sur $\R$ et puisque $f\left(-\dfrac{13}{6}\right)=0$ on déduit immédiatement le signe de $f$ suivant les valeurs de $x$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\dfrac{13}{6}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
}



\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère l'algorithme suivant :
\Algo{6cm}{
\Entree{ 
$x$, $c_a$ et $c_u$ sont des nombres réels.\\
}
{
Entrer la valeur de $x$. \\
$c_a:=x^2$.\\
$c_u:=x^3$.\\
\IfThenElse{$c_a\geq c_u$}
{Afficher $c_a$}
{Afficher $c_u$}
}
}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur entre $x=\dfrac{1}{2}$ ?}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c_a$ & $c_u$ \\
\midrule  
 & $\dfrac{1}{2}$ & & \\
 &  & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{8}$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
Puisque $\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8}$ l'algorithme affiche $\dfrac{1}{4}$.
\item {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur entre $x=5$ ? $x=-2$ ? $x=1$ ?}
\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c_a$ & $c_u$\\
\midrule  
 & $5$ & & \\
 &  & 25 & 125\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c_a$ & $c_u$\\
\midrule  
 & $-2$ & &  \\
 &  & $4$ & $-8$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{l|c|c|c|}  
\toprule  
Variable & $x$ & $c_a$ & $c_u$\\
\midrule  
 & $1$ & & \\
 &  & $1$ & $1$\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}
Lorsque l'utilisateur entre $5$ l'algorithme affiche $125$ car $125>25$.\\
Lorsque l'utilisateur entre $-2$ l'algorithme affiche $4$ car $4>-8$.\\
Lorsque l'utilisateur entre $1$ l'algorithme affiche $1$ car $1=1$.
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $x^2-x^3=x^2(1-x)$.}
$$ \forall x\in \R, \qquad x^2(1-x)=x^2\times 1-x^2\times x=x^2-x^3 $$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de l'expression $x(1-x)$.}
\\
$x^2(1-x)=0\Longleftrightarrow x^2=0\qquad \text{ou} \qquad 1-x=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou} \qquad x=1$, d'où  :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{1}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2}&&\tx{+}&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
\tx{1-x}&&&\tx{+}&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{x^2(1-x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item {\footnotesize En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles $x^2$ est supérieur ou égal à $x^3$. }\\
D'après le tableau précédent $x^2-x^3\geq 0\Longleftrightarrow x\leq 1$ , ainsi :
$$ x^2\geq x^3\Longleftrightarrow x\in ]-\infty;1]$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\vfill 

\underline{\textbf{\textit{Enigme de la semaine}}} : Quelle est la probabilité pour qu'en lançant trois dés on obtienne les longueurs des côtés d'un triangle non plat ?

\end{document}
