\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correciton de l'interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=x^3-9x-12$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $P'(x)$ pour tout réel $x$.}\\
Pour tout réel $x$ on a :
$$ P'(x)=3x^2-9$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $P'$ et en déduire le tableau de variation de $P$.}\\
La dérivée est un trinôme du second degré, pour étudier son signe il faut déterminer ses racines qui sont :
$$ P'(x)=0\Longleftrightarrow 3x^2-9=0\Longleftrightarrow x^2=3\Longleftrightarrow x=-\sqrt{3}\qquad \text{ou} \qquad x=\sqrt{3}$$
On en déduit (du fait que la parabole d'équation $y=3x^2-9$ admet un minium) que :
\begin{center}
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-\sqrt{3}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$\sqrt{3}$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$P(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$6\sqrt{3}-12\simeq -1,6$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-6\sqrt{3}-12\simeq -22,4$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
En effet $P(-\sqrt{3})=\left(-\sqrt{3}\right)^3-9\times \left(-\sqrt{3}\right)-12=-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}-12=6\sqrt{3}-12\simeq -1,6$ et $P(\sqrt{3})=\left(\sqrt{3}\right)^3-9\sqrt{3}-12=-6\sqrt{3}-12\simeq -22,4$.
\item {\footnotesize Donner le maximum et le minimum de $P$ sur l'intervalle $[-5;5]$.}\\
L'image de $-5$ par $P$ vaut :
$$ P(-5)=-125+45-12=-92$$
L'image de $5$ par $P$ vaut :
$$ P(5)=125-45-12=73$$
D'après le tableau de variation sur l'intervalle $\left[-5;-\sqrt{3}\right]$ on a :
$$ -92\leq P(x)\leq 6\sqrt{3}-12$$
et sur l'intervalle $\left[\sqrt{3};5\right]$ :
$$ -6\sqrt{3}-12\leq P(x)\leq 73$$
et enfin sur l'intervalle $ \left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$ :
$$ -6\sqrt{3}-12\leq P(x)\leq 6\sqrt{3}-12$$
On peut conclure que le maximum sur $[-5;5]$ est atteint pour $x=5$ et vaut $73$, et le minimum est atteint pour $x=-5$ et vaut $-92$.
\item \begin{footnotesize}
Par lecture du tableau de variation de la fonction $P$, en déduire le nombre de solution de l'équation $P(x)=0$.\\
En donner une valeur approchée à l'aide de votre calculatrice, à $10^{-1}$ près.
\end{footnotesize}
\\
Sur l'intervalle $\left]-\infty;\sqrt{3}\right]$ on constate que $P(x)<0$ donc sur cet intervalle l'équation $P(x)=0$ n'admet pas de solution, elle en admet une en revanche sur l'intervalle $\left[\sqrt{3};+\infty\right[$ qui d'après mon ordinateur vaut $x\simeq 3,5$.
\item {\footnotesize \textbf{Application} : Un cube a une arête de $x$ cm. Un parallélépipède rectangle a pour dimensions : $1$ cm ; $3$ cm et $(3x+4)$ cm. Trouver la valeur de $x$ pour que ces $2$ solides aient le même volume}
\\
Le volume du cube vaut :
$$ x^3$$
celui du paralléllépipède rectangle vaut :
$$ 3(3x+4)=9x+12$$
On cherche à résoudre $x^3=9x+12\Longleftrightarrow x^3-9x-12=0\Longleftrightarrow P(x)=0$, cet équation admet une unique solution $x\simeq 3,5$ d'après les questions précédentes.
\end{enumerate}
%}

\Exoi{\hfill (5 points)\\}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par :
$$ f(x)=x-2+\dfrac{4}{x}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x\neq 0$. On écrira la dérivée sous la forme d'un unique quotient.}\\
Pour tout $x\neq 0$ on a :
$$ f'(x)=1+4\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $f'$ puis de variation de $f$ sur $\R^*$.}
\\
Sur $\R^*$ $x^2>0$ par conséquent la dérivée est du signe du numérateur qui est un trinôme du second degré admettant deux racines évidentes $-2$ et $2$, d'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-2$};
\node at (4*\Lrg,0) {$0$};
\node at (6*\Lrg,0) {$2$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (7*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (8*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$P(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$-6$};
\node[left] (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node[right] (f4) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$2$};
\node (f6) at (8*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
\draw[fleche] (f5) -- (f6);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{4*\Lrg}
\bb{4*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize On considère la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x-2$. On se demande qui, de la droite $\mathscr D$ ou de la représentation graphique $\mathscr C_f$ est au-dessus, et qui est en dessous.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Justifier que $$ f(x)-y=\dfrac{4}{x}$$}
Pour tout $x\neq 0$ :
$$ f(x)-y=x-2+\dfrac{4}{x}-(x-2)=\dfrac{4}{x}$$
\item {\footnotesize Etablir le tableau de signe de l'expression $\dfrac{4}{x}$ sur $\R^*$.}\\
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$4/x$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\b{2*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Conclure.}
\\
Sur l'intervalle $]-\infty;0[$ $f(x)-y<0\Longleftrightarrow f(x)<y$ et par conséquent $\mathscr C$ est en dessous de $\mathscr C_f$.\\
Sur l'intervalle $]0;+\infty[$ $f(x)-y>0\Longleftrightarrow f(x)>y$ et par conséquent $\mathscr C$ est au dessus de $\mathscr C_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}19$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


%}
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=x^3-6x-8$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $P'(x)$ pour tout réel $x$.}\\
Pour tout réel $x$ on a :
$$ P'(x)=3x^2-6$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $P'$ et en déduire le tableau de variation de $P$.}
\\La dérivée est un trinôme du second degré, pour étudier son signe il faut déterminer ses racines qui sont :
$$ P'(x)=0\Longleftrightarrow 3x^2-6=0\Longleftrightarrow x^2=2\Longleftrightarrow x=-\sqrt{2}\qquad \text{ou} \qquad x=\sqrt{2}$$
On en déduit (du fait que la parabole d'équation $y=3x^2-9$ admet un minium) que :
\begin{center}
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-\sqrt{2}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$\sqrt{2}$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$P'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$P(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$4\sqrt{2}-8\simeq -2,3$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-4\sqrt{2}-8\simeq -13,7$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
En effet $P(-\sqrt{2})=\left(-\sqrt{2}\right)^3-6\times \left(-\sqrt{3}\right)-8=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}-8=4\sqrt{2}-8\simeq -2,3$ et $P(\sqrt{2})=\left(\sqrt{2}\right)^3-6\sqrt{2}-8=-4\sqrt{3}-8\simeq -13,7$.
\item {\footnotesize Donner le maximum et le minimum de $P$ sur l'intervalle $[-5;5]$.}\\
L'image de $-5$ par $P$ vaut :
$$ P(-5)=-125+30-8=-103$$
L'image de $5$ par $P$ vaut :
$$ P(5)=125-30-8=87$$
D'après le tableau de variation sur l'intervalle $\left[-5;-\sqrt{2}\right]$ on a :
$$ -103\leq P(x)\leq 4\sqrt{2}-8$$
et sur l'intervalle $\left[\sqrt{3};5\right]$ :
$$ -4\sqrt{2}-8\leq P(x)\leq 87$$
et enfin sur l'intervalle $ \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$ :
$$ -4\sqrt{2}-8\leq P(x)\leq 4\sqrt{2}-8$$
On peut conclure que le maximum sur $[-5;5]$ est atteint pour $x=5$ et vaut $87$, et le minimum est atteint pour $x=-5$ et vaut $-103$.
\item {\footnotesize Par lecture du tableau de variation de la fonction $P$, en déduire le nombre de solution de l'équation $P(x)=0$.\\
En donner une valeur approchée à l'aide de votre calculatrice, à $10^{-1}$ près.}\\
Sur l'intervalle $\left]-\infty;\sqrt{2}\right]$ on constate que $P(x)<0$ donc sur cet intervalle l'équation $P(x)=0$ n'admet pas de solution, elle en admet une en revanche sur l'intervalle $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$ qui d'après mon ordinateur vaut $x\simeq 3$.
\item {\footnotesize \textbf{Application} : Un cube a une arête de $x$ cm. Un parallélépipède rectangle a pour dimensions : $1$ cm ; $2$ cm et $(3x+4)$ cm. Trouver la valeur de $x$ pour que ces $2$ solides aient le même volume}
\\
Le volume du cube vaut :
$$ x^3$$
celui du paralléllépipède rectangle vaut :
$$ 2(3x+4)=6x+8$$
On cherche à résoudre $x^3=6x+8\Longleftrightarrow x^3-6x-8=0\Longleftrightarrow P(x)=0$, cet équation admet une unique solution $x\simeq 3$ d'après les questions précédentes.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (5 points)\\}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R\textbackslash \{1\}$ par :
$$ f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-1}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x\neq 1$. On écrira la dérivée sous la forme d'un unique quotient.}\\
Pour tout $x\neq 1$ on a :
$$ f'(x)=1+\dfrac{-4\times 1}{(x-1)^2}=1-\dfrac{4}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-1)^2-4}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x+1-4}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$$
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $f'$ puis de variation de $f$ sur $\R\textbackslash \{1\}$.}\\
Sur $\R\textbackslash \{1\}$ $(x-1)^2>0$ par conséquent $f'$ est du signe du trinôme $x^2-2x-3$ :
$$ \Delta=b^2-4ac=4+12=16\Longrightarrow x_1=\dfrac{2+4}{2}=3\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{2-4}{2}=-1$$
On obtient donc :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$1$};
\node at (6*\Lrg,0) {$3$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (7*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (8*\Lrg,-1*\HtX) {$  $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$-5$};
\node[left] (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node[right] (f4) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$3$};
\node (f6) at (8*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
\draw[fleche] (f5) -- (f6);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{4*\Lrg}
\bb{4*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize On considère la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x-2$. On se demande qui, de la droite $\mathscr D$ ou de la représentation graphique $\mathscr C_f$ est au-dessus, et qui est en dessous.}
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Justifier que $$ f(x)-y=\dfrac{4}{x-1}$$}
\\
Pour tout $x\neq 1$ :
$$ f(x)-y=x-2+\dfrac{4}{x-1}-(x-2)=\dfrac{4}{x-1}$$
\item {\footnotesize Etablir le tableau de signe de l'expression $\dfrac{4}{x-1}$ sur $\R\textbackslash \{1\}$.}\\\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$4/(x-1)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\b{2*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Conclure.}
\\
Sur l'intervalle $]-\infty;1[$ $f(x)-y<0\Longleftrightarrow f(x)<y$ et par conséquent $\mathscr C$ est en dessous de $\mathscr C_f$.\\
Sur l'intervalle $]1;+\infty[$ $f(x)-y>0\Longleftrightarrow f(x)>y$ et par conséquent $\mathscr C$ est au dessus de $\mathscr C_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
