\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}18$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dériver les fonctions définies ci-dessous :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $f(x)=4x^4-3x^2+3x+8$}\\
Pour tout $x\in \R$ on a :
$$f'(x)=16x^3-6x+3$$
\item {\footnotesize $g(x)=(2x^3+3)(3x-7)$}\\
$g$ est écrite sous la forme d'un produit de deux fonctions $u$ et $v$ avec $u(x)=2x^3+3\Longrightarrow u'(x)=6x^2$ et $v(x)=3x-7\Longrightarrow v'(x)=3$, par conséquent 
pour tout $x\in\R$ on a :
$$ g'(x)\og=u'v+uv'\fg=6x^2(3x-7)+3(2x^3+3)=18x^3-42x^2+6x^3+9=24x^3-42x^2+9$$
\item {\footnotesize $h(x)=\dfrac{2x^2+4}{3x-1}$ pour $x\neq \dfrac{1}{3}$}\\
$h$ est écrite sous la forme d'un quotient de deux fonctions $u$ et $v$ avec $u(x)=2x^2+4\Longrightarrow u'(x)=4x$ et $v(x)=3x-1\Longrightarrow v'(x)=3$, par conséquent pour tout $x\neq \dfrac{1}{3}$ on a :
$$ h'(x)\og=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\fg=\dfrac{4x(3x-1)-3(2x^2+4)}{(3x-1)^2}=\dfrac{12x^2-4x-6x^2-12}{(3x-1)^2}=\dfrac{6x^2-4x-12}{(3x-1)^2}$$
\item {\footnotesize $k(x)=(-x^3+3x^2+1)^5$}\\
$k$ est écrite sous la forme $u^n$ avec $u(x)=-x^3+3x^2+1\Longrightarrow u'(x)=-3x^2+6x$, par conséquent pour tout $x\in\R$ on a :
$$ k'(x)\og=nu^{n-1}n'\fg=5(-3x^2+6x)(-x^3+3x^2+1)^4$$ 
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C_u$ de la fonction $u$ au point d'abscisse $3$}\\
L'équation de la tangente au point d'abscisse $3$ est de la forme $$y=f'(3)(x-3)+f(3)$$
Or, $$f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$$, par conséquent $f'(3)=-\dfrac{6}{100}=-\dfrac{3}{50}$. De plus $f(3)=\dfrac{1}{10}$, par conséquent :
$$ y=\dfrac{3}{50}(x-3)+\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{50}x-\dfrac{9}{50}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{50}x-\dfrac{4}{50}$$
\end{enumerate}
}
%\pagebrea

\Exoi{{\footnotesize Dresser le tableau de variations des fonctions $h$ et $k$ de l'exercice précédent.}
\\}
On sait que $h'(x)=\dfrac{6x^2-4x-12}{(3x-1)^2}$ pour tout $x\neq \dfrac{1}{3}$ ainsi le dénominateur de cette fraction est toujours strictement positif. Par conséquent $ h'(x)$ a le même signe que $6x^2-4x-12$.\\
$\Delta=b^2-4ac=16+4\times 72=304$, le polynôme $6x^2-4x-12$ a donc deux racines qui sont :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{304}}{12}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{4+\sqrt{304}}{12}$$
On en déduit alors :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$x_1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$\frac{1}{3}$};
\node at (6*\Lrg,0) {$x_2$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$h'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (7*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (8*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$h(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$h(x_1)$};
\node[left] (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[right] (f4) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$h(x_2)$};
\node (f6) at (8*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
\draw[fleche] (f5) -- (f6);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{4*\Lrg}
\bb{4*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\underline{Remarque} : Les valeurs des limites dans le tableau de variation ne sont cette année pas exigées.
En ce qui concerne la fonciton $k$, on sait que $$ k'(x)=5(-3x^2+6x)(-x^3+3x^2+1)^4$$
Or, puisque la puissance est paire on a :
$$ (-x^3+3x^2+1)^4\geq 0$$
La dérivée est donc du signe du trinôme $5(-3x^2+6x)$ qui admet deux racines évidentes $0$ et $2$, d'où :
\\
(A l'aide d'une calculatrice on remarque que $-x^3+3x^2+1=0\Longleftrightarrow x\simeq 3.1$)
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$2$};
\node at (6*\Lrg,0) {$\simeq 3,1$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$k'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (7*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (8*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$k(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$k(0)$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$k(2)$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$$};
\node (f5) at (8*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%}

\pagebreak

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}18$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dériver les fonctions définies ci-dessous :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $f(x)=-4x^4+3x^2-3x-8$}\\
Pour tout $x\in \R$ on a :
$$f'(x)=-16x^3+6x-3$$
\item {\footnotesize $g(x)=(2x^3-3)(3x+7)$}\\
$g$ est écrite sous la forme d'un produit de deux fonctions $u$ et $v$ avec $u(x)=2x^3-3\Longrightarrow u'(x)=6x^2$ et $v(x)=3x+7\Longrightarrow v'(x)=3$, par conséquent 
pour tout $x\in\R$ on a :
$$ g'(x)\og=u'v+uv'\fg=6x^2(3x+7)+3(2x^3-3)=18x^3+42x^2+6x^3-9=24x^3+42x^2-9$$
\item {\footnotesize $h(x)=\dfrac{2x^2-4}{3x-1}$ pour $x\neq \dfrac{1}{3}$}\\
$h$ est écrite sous la forme d'un quotient de deux fonctions $u$ et $v$ avec $u(x)=2x^2-4\Longrightarrow u'(x)=4x$ et $v(x)=3x-1\Longrightarrow v'(x)=3$, par conséquent pour tout $x\neq \dfrac{1}{3}$ on a :
$$ h'(x)\og=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\fg=\dfrac{4x(3x-1)-3(2x^2-4)}{(3x-1)^2}=\dfrac{12x^2-4x-6x^2+12}{(3x-1)^2}=\dfrac{6x^2-4x+12}{(3x-1)^2}$$
\item {\footnotesize $k(x)=(x^3-3x^2-1)^5$}\\
$k$ est écrite sous la forme $u^n$ avec $u(x)=x^3-3x^2-1\Longrightarrow u'(x)=3x^2-6x$, par conséquent pour tout $x\in\R$ on a :
$$ k'(x)\og=nu^{n-1}n'\fg=5(3x^2-6x)(x^3-3x^2-1)^4$$ 
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=\dfrac{1}{x^4+1}$. Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C_u$ de la fonction $u$ au point d'abscisse $0$}\\
L'équation de la tangente au point d'abscisse $3$ est de la forme $$y=f'(3)(x-3)+f(3)$$
Or, $$f'(x)=-\dfrac{4x^3}{(x^4+1)^2}$$, par conséquent $f'(3)=-\dfrac{108}{82^2}=-\dfrac{27}{1681}$. De plus $f(3)=\dfrac{1}{82}$, par conséquent :
$$ y=-\dfrac{27}{1681}(x-3)+\dfrac{1}{82}$$
\end{enumerate}
}
%\pagebrea

\Exoi{{\footnotesize Dresser le tableau de variations des fonctions $h$ et $k$ de l'exercice précédent.}
\\}
On sait que $h'(x)=\dfrac{6x^2-4x+12}{(3x-1)^2}$ pour tout $x\neq \dfrac{1}{3}$ ainsi le dénominateur de cette fraction est toujours strictement positif. Par conséquent $ h'(x)$ a le même signe que $6x^2-4x+12$.\\
$\Delta=b^2-4ac=16-4\times 72<0$, le polynôme $6x^2-4x+12$ n'a donc pas de racines et par conséquent :
$$6x^2-4x+12>0\Longleftrightarrow h'(x)>0 $$
On en déduit alors :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\dfrac{1}{3}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$h'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$h(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[left] (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node[right] (f3) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f4) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{2*\Lrg}
\bb{2*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\underline{Remarque} : Les valeurs des limites dans le tableau de variation ne sont cette année pas exigées.
En ce qui concerne la fonciton $k$, on sait que $$ k'(x)=5(3x^2-6x)(x^3-3x^2-1)^4$$
Or, puisque la puissance est paire on a :
$$ (x^3-3x^2-1)^4\geq 0$$
La dérivée est donc du signe du trinôme $5(3x^2-6x)$ qui admet deux racines évidentes $0$ et $2$, d'où :
\\
(A l'aide d'une calculatrice on remarque que $x^3-3x^2-1=0\Longleftrightarrow x\simeq 3.1$)
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$2$};
\node at (6*\Lrg,0) {$\simeq 3,1$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$k'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (7*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (8*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$k(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$k(0)$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$k(2)$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$ $};
\node (f5) at (8*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
%}



%\pagebreak


\end{document}
