\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=2x^2-7x+1$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les nombres dérivés de $f$ au point d'abscisse $a=3$, puis au point d'abscisse $a=-1$.}
\\
On calcule pour $h\neq 0$ et pour tout $a\in\R$ le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ :
$$ \tau=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{2(a+h)^2-7(a+h)+1-(2a^2-7a+1)}{h}=\dfrac{2(a^2+2ah+h^2)-7a-7h+1-2a^2+7a-1}{h}$$
On simplifie cette expression et on obtient :
$$ \tau =\dfrac{2a^2+4ah+2h^2-7a-7h+1-2a^2+7a-1}{h}=\dfrac{4ah+2h^2-7h}{h}=4a+2h-7$$
Et lorsque $h$ tends vers $0$ on obtient :
$$ f'(a)=\lim\limits_{h\to 0} 4a+2h-7=4a-7$$
On applique cette formule pour $a=3$ ce qui donne $f'(3)=12-7=5$ puis pour $a=-1$ ce qui donne $f'(-1)=-4-7=-11$
\item {\footnotesize Déterminer les deux équations des tangentes $T_3$ et $T_{-1}$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $a=3$ puis $a=-1$.}
On calcule $f(3)=2\times 9-21+1=18-21+1=-2$ et $f(-1)=2+7+1=10$. \\
On sait que l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est de la forme :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
Ce qui donne pour $a=3$ :
$$ T_3 : y=f'(3)(x-3)+f(3)=5(x-3)-2=5x-17$$
et pour $a=-1$ :
$$ T_{-1}:y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=-11(x+1)+10=-11x-11+1=-11x-10$$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
La représentation graphique $\mathscr C$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. 
En chacun des points indiqués, $\mathscr C$ admet une tangente qui est tracée.
\end{footnotesize}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,-3,0,0)(-3,1,2,1)(-1,2,-1.5,2)(2,-3,0,1)(6,1,0.6666,3)(10,1,4,0) 
\uput[ur](7.6,-2){$\mathscr C_f$}
\uput[dl](-3,1){$A$}
\uput[dr](-1,2){$B$}
\end{pspicture*} \\
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Rappeler l'interprétation graphique du nombre $f'(-3)$.}
\\$f'(-3)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $-3$. Il mesure donc la pente de la courbe au point d'abscisse $-3$.
\item  {\footnotesize Lire, en se servant du quadrillage, les nombres dérivés suivants :}
$$ f'(-3)=2\qquad\qquad f'(-1)=-1,5 \qquad\qquad f'(2)=0\qquad\qquad f'(6)=\dfrac{2}{3}$$
\item \begin{footnotesize}
Donner graphiquement l'équation de la tangente $T_A$ à $\mathscr C$,  %et $T_B$, respectivement 
en $A(-3;1)$.% et $B(6;-3)$.
\end{footnotesize}
$T_A$ admet une équation de la forme $y=ax+b$, son coefficient directeur est $a=f'(-3)=2$ et on devine son ordonnée à l'origine $b=7$ d'où :
$$ T_A:y=2x+7$$
 \item \begin{footnotesize}
Trouver par le calcul l'équation de la tangente $T_B$ à $\mathscr C$,  %et $T_B$, respectivement 
en $B(-1;2)$. \textit{On  pécisera la formule à utiliser.}
\end{footnotesize}
\\
De la forme du cours et du graphique on tire :
 $$T_B : y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=-1,5(x+1)+2=-1,5x-1,5+2=-1,5x+0,5$$
\end{enumerate}
}

\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=4x^2-2x+10$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les nombres dérivés de $f$ au point d'abscisse $a=3$, puis au point d'abscisse $a=-1$.}
\\
On calcule pour $h\neq 0$ et pour tout $a\in\R$ le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ :
$$ \tau=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{4(a+h)^2-2(a+h)+10-(4a^2-2a+10)}{h}=\dfrac{4(a^2+2ah+h^2)-2a-2h+10-4a^2+2a-10}{h}$$
On simplifie cette expression et on obtient :
$$ \tau =\dfrac{4a^2+8ah+4h^2-2a-2h+10-4a^2+2a-10}{h}=\dfrac{8ah+4h^2-2h}{h}=8a+4h-2$$
Et lorsque $h$ tends vers $0$ on obtient :
$$ f'(a)=\lim\limits_{h\to 0} 8a+4h-2=8a-2$$
On applique cette formule pour $a=3$ ce qui donne $f'(3)=24-2=22$ puis pour $a=-1$ ce qui donne $f'(-1)=-8-2=-10$
\item {\footnotesize Déterminer les deux équations des tangentes $T_3$ et $T_{-1}$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $a=3$ puis $a=-1$.}
\\
On calcule $f(3)=4\times 9-6+10=36+4=40$ et $f(-1)=4+2+10=16$. \\
On sait que l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est de la forme :
$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
Ce qui donne pour $a=3$ :
$$ T_3 : y=f'(3)(x-3)+f(3)=22(x-3)+40=22x-66+40=22x-26$$
et pour $a=-1$ :
$$ T_{-1}:y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=-10(x+1)+16=-10x-10+16=-10x+6$$
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
La représentation graphique $\mathscr C$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. 
En chacun des points indiqués, $\mathscr C$ admet une tangente qui est tracée.
\end{footnotesize}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,4,0,0)(-3,3,-2,1)(-1,-2,0.6666,3)(2,4,0,1)(6,-1,-1.5,2)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-2){$\mathscr C_f$}
\uput[dl](-3,3){$A$}
\uput[dr](-1,-2){$B$}
\end{pspicture*} \\
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Rappeler l'interprétation graphique du nombre $f'(-3)$.}\\$f'(-3)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $-3$. Il mesure donc la pente de la courbe au point d'abscisse $-3$.
\item  {\footnotesize Lire, en se servant du quadrillage, les nombres dérivés suivants :}
$$ f'(-3)=-2\qquad\qquad f'(-1) =\dfrac{2}{3}\qquad\qquad f'(2)=0\qquad\qquad f'(6)=-\dfrac{3}{2}$$
\item \begin{footnotesize}
Donner graphiquement l'équation de la tangente $T_A$ à $\mathscr C$,  %et $T_B$, respectivement 
en $A(-3;3)$.% et $B(6;-3)$.
\end{footnotesize}
\\
$T_A$ admet une équation de la forme $y=ax+b$, son coefficient directeur est $a=f'(-3)=-2$ et on devine son ordonnée à l'origine $b=-3$ d'où :
$$ T_A:y=-2x-3$$
 \item \begin{footnotesize}
Trouver par le calcul l'équation de la tangente $T_B$ à $\mathscr C$,  %et $T_B$, respectivement 
en $B(-1;-2)$. \textit{On  pécisera la formule à utiliser.}
\end{footnotesize}
\\
De la forme du cours et du graphique on tire :
 $$T_B : y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=\dfrac{2}{3}(x+1)-2=\dfrac{2}{3} x+\dfrac{2}{3}-2=\dfrac{2}{3} x-\dfrac{4}{3}$$
\end{enumerate}
}


\end{document}
