\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ correction de l'interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (7 points)\\
{\footnotesize Dans un petit hameau de Syldavie, nommé Babylone, une épidémie de grippe s'est propagée et touche $30\%$ de la population.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On choisit au hasard, $7$ individus de cette population (on assimile le choix des $7$ personnes à un tirage \textbf{avec remise}), on note $X$ le nombre de personnes atteintes par la maladie.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Justifier que $X$ suit une loi binomiale, en donner ses paramètres.}\\
On répète $7$ fois la même épreuve de Bernoulli consistant à tester si un individu ou non a attrapé la grippe. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli (avec pour probabilité de succès $p=0,3$), par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=7$ et $p=0,3$.
\item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'aucun des $7$ individus ne soient malades.}\\
Comme $X\hookrightarrow B(7;0.3)$ on a :
$$ p(X=0)=(1-0,3)^7=0,7^7\simeq 0,08$$
Dans environ $8\%$ des cas aucun individu choisit n'a contracté la grippe dans ce petit hameau.
\item {\footnotesize Calculer $p(X=3)$.}\\
Comme $X\hookrightarrow B(7;0,3)$ on a
$$ p(X=3)=\binom{7}{3}\times 0,3^3\times 0,7^4\simeq 0,23$$
Dans environ $23\%$ des cas exactement $3$ individus ont contracté la grippe.
\item{\footnotesize  Calculer $E(X)$. Interpréter.}
\\
Comme $X\hookrightarrow B(7;0,3)$ on a :
$$ E(X)=np=7\times 0,3=2,1$$
En moyenne on sur les 7 individus $2$ environ auront contracté la maladie.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Aphex Twin\footnote{Aphex Twin est un compositeur britannique de musique électronique} est un syldave de ce petit hameau. On sait désormais qu'il était atteint de la grippe, puisqu'il en a souffert de longues années durant. Malheureusement pour lui, les médecins syldave détectent la maladie dans un cas sur cinq et dans tous les autres cas ils déclarent sains le patient pourtant malade.
\\
Aphex Twin, connaissant son pays, décide de consulter $4$ médecins Syldave. \\
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de médecin qui se sont rendus compte de la maladie d'Aphex Twin.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la loi que suit la variable aléatoire $Y$ ; en donner ses paramètres.}\\
On répète $4$ fois la même épreuve de Bernoulli consistant pour Aphex à demander au médecin s'il est malade ou non. La variable aléatoire $Y$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli (avec pour probabilité de succès $p=\dfrac{1}{5}$), par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=4$ et $p=0,2$.
\item {\footnotesize Calculer $E(Y)$, interpréter.}\\
Comme $Y\hookrightarrow B(4;0,2)$ on a :
$$ E(Y)=np=4\times 0,2=0,8$$
En moyenne on sur les 4 médecins consultés un tout petit moins d'un constatera qu'Aphex est grippé.
\item {\footnotesize Aphex Twin décide de se faire soigner dès lors qu'au moins un des quatre médecin le déclare malade. Calculer la probabilité qu'Aphex Twin ait été soigné.}
Cette probabilité vaut :
$$ p(Y\geq 1)=1-p(Y=0)=1-0,8^4=0,5904$$
Dans environ $60\%$ des cas la maladie d'Aphex Twin sera détectée par au moins un des $4$ médecins.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (3 points)\\
%\begin{enumerate}
\begin{footnotesize}
Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de 10 questions numérotées 
de $1$ à $10$. Pour chacune d’elles, quatre réponses possibles sont proposées, dont une seule est exacte. 
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas le chinois 
(bien qu’il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon 
indépendante (Fabrice déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte). 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses du candidat Fabrice. Calculer $p(X\geq 1)$.}\\
On répète $10$ fois la même épreuve de Bernoulli consistant à trouver au hasard ou pas la bonne réponse à une question du QCM. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli (avec pour probabilité de succès $p=0,25$), par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,25$. On en déduit que :
$$ p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-0,75^{10}\simeq 0,94$$
Il y a donc environ $94\%$ de chances que Fabrice réponde correctement à au moins une question.
\item \begin{footnotesize}
On désigne par $Y$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste. 
On convient que $Y$ prend la valeur 11 si toutes les réponses sont fausses. \\
Compléter le tableau suivant (on explicitera au moins un calcul) :
\end{footnotesize}
Si $Y=3$, cela signifie que Fabrice a répondu faux aux deux premières questions et correctement à la troisième question (attention ici $Y$ ne suit pas une loi binomiale), on a donc :
$$ p(Y=3)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{64}$$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$k$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $1\text{0}$ & $11$ & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{3}{16}$ & $\frac{9}{64}$ & $\frac{27}{256}$ & $\frac{81}{1024}$ & $\frac{243}{4096}$ & $\frac{729}{16384}$ & $\frac{2187}{65536}$ & $\frac{6561}{262144}$ & $\frac{19683}{1048576}$ & $\dfrac{59049}{1048576}$ & $1$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Calculer $E(Y)$. Interpréter.}\\
$$ E(Y)=\dfrac{1}{4}\times 1+\dots+11\times \dfrac{59049}{1048576} =\alpha$$
En moyenne Fabrice réponds correctement pour la première fois aux environs de la question $\alpha$. (se méfier de la valeur $X=11$ qui fausse éventuellement le calcul de la moyenne...)
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill \textbf{Poker - Enigme}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{poker.eps}
\end{center}
Une main au poker est constituée de $5$ cartes tirées d’un jeu de $52$ cartes. Combien y a-t- 
il de mains contenant des carrés (XXXXY ) ? des fulls (XXXYY ) ? des brelans (XXXYZ) ? des 
doubles paires (XXYYZ) ? des paires (XXYZA) ? 
Deux lettres identiques (par exemple XX) correspondent à deux cartes de même hauteur 
(par exemple deux dames). 
\end{multicols}
}
\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ correction de l'interrogation n$^{\circ}16$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}




\Exoi{\hfill (7 points)\\}
{\footnotesize Dans un petit hameau de Syldavie, nommé Babylone, une épidémie de peste s'est propagée et touche $20\%$ de la population.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On choisit au hasard, $9$ individus de cette population (on assimile le choix des $9$ personnes à un tirage \textbf{avec remise}), on note $X$ le nombre de personnes atteintes par la maladie.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Justifier que $X$ suit une loi binomiale, en donner ses paramètres.}\\
On répète $9$ fois la même épreuve de Bernoulli consistant à tester si un individu ou non a attrapé la peste. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli (avec pour probabilité de succès $p=0,2$), par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=9$ et $p=0,2$.
\item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'aucun des $9$ individus ne soient malades.}\\
Comme $X\hookrightarrow B(9;0.2)$ on a :
$$ p(X=0)=(1-0,2)^9=0,8^9\simeq 0,13$$
Dans environ $13\%$ des cas aucun individu choisit n'a contracté la grippe dans ce petit hameau.
\item {\footnotesize Calculer $p(X=3)$.}\\
Comme $X\hookrightarrow B(9;0,2)$ on a
$$ p(X=3)=\binom{9}{3}\times 0,2^3\times 0,8^6\simeq 0,18$$
Dans environ $18\%$ des cas exactement $3$ individus ont contracté la grippe.
\item{\footnotesize  Calculer $E(X)$. Interpréter.}
\\
Comme $X\hookrightarrow B(9;0,2)$ on a :
$$ E(X)=np=9\times 0,2=1,8$$
En moyenne on sur les 9 individus $2$ environ auront contracté la maladie.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Gonjasufi\footnote{Gonjasufi est un artiste américain, composant une musique proche du hip hop, elle se révèle cependant vite marquée par d'autres influences très variées, comme le rock, le forlk ou encore la soul. } est un syldave de ce petit hameau. On sait désormais qu'il était atteint de la peste, puisqu'il en a souffert de longues années durant. Malheureusement pour lui, les médecins syldave détectent la maladie dans un cas sur trois et dans tous les autres cas ils déclarent sains le patient pourtant malade.
\\
Gonjasufi, connaissant son pays, décide de consulter $4$ médecins Syldave. \\
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de médecin qui se sont rendus compte de la maladie de Gonjasufi.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la loi que suit la variable aléatoire $Y$ ; en donner ses paramètres.}\\
On répète $4$ fois la même épreuve de Bernoulli consistant pour Gonjasufi à demander au médecin s'il est malade ou non. La variable aléatoire $Y$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli (avec pour probabilité de succès $p=\dfrac{1}{3}$), par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=4$ et $p=\dfrac{1}{3}$.
\item {\footnotesize Calculer $E(Y)$, interpréter.}\\
Comme $Y\hookrightarrow B\left(4;\dfrac{1}{3}\right)$ on a :
$$ E(Y)=np=4\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$$
En moyenne on sur les 4 médecins consultés un tout petit plus d'un constatera que gonjasufi a la peste.
\item {\footnotesize Gonjasufi décide de se faire soigner dès lors qu'au moins un des quatre médecin le déclare malade. Calculer la probabilité que Gonjasufi ait été soigné.}
Cette probabilité vaut :
$$ p(Y\geq 1)=1-p(Y=0)=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^4=\dfrac{65}{81}$$
Dans environ $65$ cas sur $81$ la maladie de Gonjasufi sera détectée par au moins un des $4$ médecins.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%}



\Exoi{\hfill (3 points)\\
%\begin{enumerate}
\begin{footnotesize}
Un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est composé de 10 questions numérotées 
de $1$ à $10$. Pour chacune d’elles, trois réponses possibles sont proposées, dont une seule est exacte. 
La difficulté réside dans le fait que ce QCM Syldave est en chinois, et que notre candidat Fabrice ne lit pas le chinois 
(bien qu’il le parle couramment, évidemment). Il se voit donc obligé de répondre à chaque question au hasard, de façon 
indépendante (Fabrice déteste ne pas répondre du tout, il veut tenter sa chance coûte que coûte). 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses du candidat Fabrice. Calculer $p(X\geq 1)$.}\\
On répète $10$ fois la même épreuve de Bernoulli consistant à trouver au hasard ou pas la bonne réponse à une question du QCM. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli (avec pour probabilité de succès $p=\dfrac{1}{3}$), par conséquent $X$ suit une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=\dfrac{1}{3}$. On en déduit que :
$$ p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\simeq 0,98$$
Il y a donc environ $98\%$ de chances que Fabrice réponde correctement à au moins une question.
\item \begin{footnotesize}
On désigne par $Y$ la variable aléatoire donnant le numéro de la première question à laquelle Fabrice répond juste. 
On convient que $Y$ prend la valeur 11 si toutes les réponses sont fausses. \\
Compléter le tableau suivant (on explicitera au moins un calcul) :
\end{footnotesize}
Si $Y=3$, cela signifie que Fabrice a répondu faux aux deux premières questions et correctement à la troisième question (attention ici $Y$ ne suit pas une loi binomiale), on a donc :
$$ p(Y=3)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{27}$$
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$k$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $1\text{0}$ & $11$ & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p(Y=k)$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{2}{9}$ & $\frac{4}{27}$ & $\frac{8}{81}$ & $\frac{16}{3^5}$ & $\frac{32}{3^6}$ & $\frac{64}{3^7}$ & $\frac{128}{3^8}$ & $\frac{256}{3^9}$ & $\frac{512}{3^{10}}$ & $\dfrac{2^{10}}{3^{10}}$ & $1$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Calculer $E(Y)$. Interpréter.}\\
$$ E(Y)=\dfrac{1}{3}\times 1+\dots+11\times \dfrac{2^{10}}{3^{10}} =\alpha$$
En moyenne Fabrice réponds correctement pour la première fois aux environs de la question $\alpha$. (se méfier de la valeur $X=11$ qui fausse éventuellement le calcul de la moyenne...)
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
}





\Exoi{\hfill \textbf{Poker - Enigme}\\
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{pompier.eps}
\end{center}
Le capitaine des pompiers de New-York réside à l’angle de la 7ème rue et de la 33ème avenue. La 
caserne se trouve à l’angle de la 15ème rue et de la 40ème avenue. Il s’y rend tous les jours à pied 
et sans perdre de temps (i.e. dans le sens des numéros croissants aussi bien pour les rues que 
pour les avenues). Sachant qu’il a commencé à travailler le jour de ses 18 ans, et sachant qu’il 
n’est jamais passé deux fois par le même chemin, quel est l’âge maximum du capitaine ?
\end{multicols}
}



\end{document}
