\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de  l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro

\Exoi{\hfill (8 points)\\
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signe des trinômes suivants :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ 2x^2-5x-4$\\
$\Delta=b^2-4ac=25+32=57$, donc le trinôme admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{57}}{4}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{5-\sqrt{57}}{4}}&&\tx{\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x^2-5x-4}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\item $ -3x^2+7x-5$\\
$\Delta=b^2-4ac=49-60=-11<0$, donc le trinôme n'admet pas de racines et conservent un signe constant :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-3x^2+7x-5}&&&&\tx{-}&&&\cr
}$$
\item $ x^2-10x+25$\\
$\Delta=b^2-4ac=100-100=0$, donc le trinôme admet une unique racine :
$$ x_3=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{10}{2}=5$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&\tx{5}&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2-10x+25}&&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&&\cr
}$$
\item $ 4x^2+2x-1$\\
$\Delta=b^2-4ac=4+16=20$, donc le trinôme admet deux racines :
$$ x_4=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{20}}{8}\qquad \text{ou}\qquad x_5=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{20}}{8}$$
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{-2-\sqrt{20}}{8}}&&\tx{\dfrac{-2+\sqrt{20}}{8}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{4x^2+2x-1}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item Pour chacun des trinômes précédents donner, si possible, une factorisation.
$ 2x^2-5x-4=2\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$, voir $x_1$ et $x_2$ plus haut.\\
$ -3x^2+7x-5$ n'admet pas de factorisation.\\
$  x^2-10x+25=(x-5)^2$.\\
$4x^2+2x-1=4\left(x-x_4\right)(x-x_5) $, voir $x_4$ et $x_5$ plus haut.
\item {\footnotesize En vous servant des tableaux de signes de la première question, donner l'ensemble des solutions $\mathscr S$ des équations et inéquations suivantes :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-5x-4=0$.
$$ \mathscr S=\left\{x_1;x_2\right\}$$
\item $ -3x^2+7x-5\geq 0$
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $ x^2-10x+25<0$
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $ 4x^2+2x-1\leq 0 $
$$ \mathscr S=\left[x_4;x_5\right]$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
{\footnotesize Deux entiers relatifs consécutifs ont la somme de leurs carrés qui vaut $5725$. Déterminer ces entiers.}\\
Notons $n$ le plus petit des deux entiers alors :
$$ n^2+(n+1)^2=5725\Longleftrightarrow n^2+n^2+2n+1=5725\Longleftrightarrow 2n^2+2n-5724=0\Longleftrightarrow n^2+n-2862=0$$
$\Delta=1+4\times 2862=11449=107^2$, il y a donc deux solutions :
$$ n_1=\dfrac{-1-{107}}{2}=-54\qquad \text{et}\qquad n_2=\dfrac{-1+107}{2}=53$$
Si $n=-54$ alors les deux entiers solutions sont $-54$ et $-53$, par contre si $n=53$ alors les deux entiers solutions sont $53$ et $54$.
}


\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de  l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


\Exoi{\hfill (8 points)\\
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signe des trinômes suivants :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ -2x^2+5x+4$\\
$\Delta=b^2-4ac=49+60=57$, donc le trinôme admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{57}}{-4}=\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{57}}{4}$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{5-\sqrt{57}}{4}}&&\tx{\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-2x^2+5x+4}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item $ 3x^2-7x+5$\\
$\Delta=b^2-4ac=49-60=-11<0$, donc le trinôme n'admet pas de racines et conservent un signe constant :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3x^2-7x+5}&&&&\tx{+}&&&\cr
}$$
\item $ 4x^2+4x+1$\\
$\Delta=b^2-4ac=16-16=0$, donc le trinôme admet une unique racine :
$$ x_3=\dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{4}{8}=-0,5$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&\tx{-0,5}&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{4x^2+4x+1}&&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&&\cr
}$$
\item $ x^2-x-1$\\
$\Delta=b^2-4ac=1+4=5$, donc le trinôme admet deux racines :
$$ x_4=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\qquad \text{ou}\qquad x_5=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}&&\tx{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2-x-1}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item {\footnotesize Pour chacun des trinômes précédents donner, si possible, une factorisation.}\\
$ -2x^2+5x+4=-2\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$, voir $x_1$ et $x_2$ plus haut.\\
$ 3x^2-7x+5$ n'admet pas de factorisation.\\
$  4x^2+4x+1=(2x+1)^2$.\\
$x^2-x-1=\left(x-x_4\right)(x-x_5) $, voir $x_4$ et $x_5$ plus haut.
\item {\footnotesize En vous servant des tableaux de signes de la première question, donner l'ensemble des solutions $\mathscr S$ des équations et inéquations suivantes :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $-2x^2+5x+4=0$
$$ \mathscr S=\{x_2;x_1\}$$
\item $ 3x^2-7x+5\geq 0$
$$ \mathscr S=\R$$
\item $ 4x^2+4x+1<0$
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $ x^2-x-1\leq 0 $
$$ \mathscr S=[x_4;x_5]$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
{\footnotesize Déterminer trois entiers relatifs consécutifs dont la somme des carrés vaut $2030$.}\\
Notons $n$ le plus petit des trois entiers alors :
$$ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=2030\Longleftrightarrow n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=2030\Longleftrightarrow 3n^2+6n-2025=0\Longleftrightarrow n^2+2n-675=0$$
$\Delta=4+4\times 675=2704=52^2$, il y a donc deux solutions :
$$ n_1=\dfrac{-2-52}{2}=-27\qquad \text{et}\qquad n_2=\dfrac{-2+52}{2}=25$$
Si $n=-27$ alors les trois entiers solutions sont $-27$ et $-26$ et $-25$, par contre si $n=25$ alors les trois entiers solutions sont $25$ et $26$ et $27$.
}

\end{document}
