  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Second degré}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Second degré}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Surveillé 4}


\Exoi{\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de signe des trinômes suivants :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ -2x^2+5x+4$\\
$\Delta=b^2-4ac=49+60=57$, donc le trinôme admet deux racines :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{57}}{-4}=\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{57}}{4}$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{5-\sqrt{57}}{4}}&&\tx{\dfrac{5+\sqrt{57}}{4}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-2x^2+5x+4}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\item $ 3x^2-7x+5$\\
$\Delta=b^2-4ac=49-60=-11<0$, donc le trinôme n'admet pas de racines et conservent un signe constant :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3x^2-7x+5}&&&&\tx{+}&&&\cr
}$$
\item $ 4x^2+4x+1$\\
$\Delta=b^2-4ac=16-16=0$, donc le trinôme admet une unique racine :
$$ x_3=\dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{4}{8}=-0,5$$
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&\tx{-0,5}&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{4x^2+4x+1}&&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{+}&&\cr
}$$
\item $ x^2-x-1$\\
$\Delta=b^2-4ac=1+4=5$, donc le trinôme admet deux racines :
$$ x_4=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\qquad \text{ou}\qquad x_5=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}&&\tx{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2-x-1}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item {\footnotesize Pour chacun des trinômes précédents donner, si possible, une factorisation.}\\
$ -2x^2+5x+4=-2\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$, voir $x_1$ et $x_2$ plus haut.\\
$ 3x^2-7x+5$ n'admet pas de factorisation.\\
$  4x^2+4x+1=(2x+1)^2$.\\
$x^2-x-1=\left(x-x_4\right)(x-x_5) $, voir $x_4$ et $x_5$ plus haut.
\item {\footnotesize En vous servant des tableaux de signes de la première question, donner l'ensemble des solutions $\mathscr S$ des équations et inéquations suivantes :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $-2x^2+5x+4=0$
$$ \mathscr S=\{x_2;x_1\}$$
\item $ 3x^2-7x+5\geq 0$
$$ \mathscr S=\R$$
\item $ 4x^2+4x+1<0$
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $ x^2-x-1\leq 0 $
$$ \mathscr S=[x_4;x_5]$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill 4 points)\\
\begin{footnotesize}
On donne les équations des paraboles $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ :
$$ \mathscr P :y=x^2-6x+10\qquad \text{et}\qquad \mathscr P':y=-2x^2+18x-30$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les éventuels points d'intersection des paraboles $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ avec l'axe des abscisses.}
\begin{itemize}
\item $\mathscr P$ avec l'axe des abscisses :
$$ x^2-6x+10=0$$
$\Delta=36-4\times 10=-4<0$ donc $\mathscr P$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
\item $\mathscr P'$ avec l'axe des abscisses :
$$-2x^2+18x-30=0 $$
$\Delta=18^2-4\times 2\times 30=84$, donc $\mathscr P'$ coupe l'axe des abscisses en deux points dont voici les abscisses :
$$ x_1=\dfrac{-18-\sqrt{84}}{-4}=\dfrac{18+\sqrt{84}}{4}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-18+\sqrt{84}}{-4}=\dfrac{18-\sqrt{84}}{4}$$
$\mathscr P'$ coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées $(x_1;0)$ et $(x_2;0)$. 
\end{itemize}
\item {\footnotesize Déterminer les événtuels points d'intersection de $\mathscr P$ et $\mathscr P'$.}
\\
On cherche les éventuels abscisses de ces points en résolvant :
$$ x^2-6x+10=-2x^2+18x-30\Longleftrightarrow 3x^2-24x+40=0$$
$\Delta=b^2-4ac=(-24)^2-4\times 3\times 40=96$, il y a par conséquent deux solutions :
$$ x_1=\dfrac{24-\sqrt{96}}{6}\qquad \text{et} \qquad x_2=\dfrac{24+\sqrt{96}}{6}$$
L'ordonnée de ces points vaut :
$$ y_1=\left(\dfrac{24-\sqrt{96}}{6}\right)^2-6\times\dfrac{24-\sqrt{96}}{6} +10\qquad \text{et}\qquad y_2=\left(\dfrac{24+\sqrt{96}}{6}\right)^2-6\times\dfrac{24+\sqrt{96}}{6} +10$$
$\mathscr P$ et $\mathscr P'$ ont deux point d'instersection de coordonnées $(x_1;y_1)$ et $(x_2;y_2)$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
On dispose de deux boîtes $B_1$ et $B_2$ contenant chacune des boules blanches et des boules noires, indiscernables au toucher.\\
La boîte $B_1$ contient $n$ boules noires et $1$ boule blanche ; la boîte $B_2$ contient $n$ boules noires et $3$ boules blanches ($n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $1$ ). On tire au hasard une boule dans la boîte $B_1$ puis une boule dans la boîte $B_2$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire cette expérience aléatoire.}\\
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$B$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$B$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$N$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$B$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$B$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$\dfrac{1}{n+1}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$\dfrac{3}{n+3}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\dfrac{n}{n+3}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$\dfrac{n}{n+1}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$\dfrac{3}{n+3}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$\dfrac{3}{n+3}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
\item {\footnotesize Déterminer l'entier $n$ tel que la probabilité de tirer successivement deux boules blanches soit égale à $ \dfrac{1}{120}$.}
$$ p(\text{\og obtenir deux boules blanches \fg})=\dfrac{1}{n+1}\times \dfrac{3}{n+3}=\dfrac{3}{(n+1)(n+3)}$$
On cherche $n$ tel que :
$$ \dfrac{3}{(n+1)(n+3)}=\dfrac{1}{120}\Longleftrightarrow  3\times 120=(n+1)(n+3)\Longleftrightarrow 360=n^2+3n+n+3\Longleftrightarrow n^2+4n-357=0$$
$\Delta=16+4\times 357=1444=38^2$\\
$$x_1=\dfrac{-4+38}{2}=16\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-4-38}{4}=-21$$
Au final pour $n=16$ la probabilité de tirer successivement deux boules blanches est égale à $ \dfrac{1}{120}$
\item {\footnotesize Déterminer l'entier $n$ tel que la probabilité de tirer successivement deux boules noires soit égale à $\dfrac{25}{32}$.}\\
$$ p(\text{\og obtenir deux boules noires \fg})=\dfrac{n}{n+1}\times \dfrac{n}{n+3}=\dfrac{n^2}{(n+1)(n+3)}$$
On cherche $n$ tel que :
$$ \dfrac{n^2}{(n+1)(n+3)}=\dfrac{25}{32}\Longleftrightarrow 32n^2=25(n+1)(n+3)\Longleftrightarrow 32n^2=25(n^2+4n+3)\Longleftrightarrow 7n^2-100n-75=0$$
$\Delta=100^2+4\times 7\times 75=110^2$ d'où :
$$ x_1=\dfrac{100-110}{14}<0\qquad \text{et} \qquad x_2=\dfrac{100+110}{14}=15$$
Au final pour $n=15$ la probabilité de tirer successivement deux boules noire est égale à $ \dfrac{25}{32}$
\item {\footnotesize Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles la probabilité de tirer successivement deux boules blanches est strictement inférieure à $\dfrac{1}{1000}$.}
\\
On cherche $n$ tel que $$\dfrac{3}{(n+1)(n+3)}<\dfrac{1}{1000}\Longleftrightarrow 3000<(n+1)(n+3)\Longleftrightarrow 0<n^2+4n-2997$$
$\Delta=16+4*2997=12004$.
$$ x_1=\dfrac{-4-\sqrt{12004}}{2}<0\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-4+\sqrt{12004}}{2}\simeq 52,8$$
Par conséquent dès que $n\geq 53$ on a $n^2+4n-2997>0$ et donc la probabilité de tirer successivement deux boules blanche strictement inférieure à $0,001$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Six entiers naturels consécutifs sont tels que le produit des deux plus petits nombres est égal au triple de la somme des quatre plus grands. Déterminer ces six entiers.}
\\
Notons $n$ le plus petit des six entiers. $n$ vérifie :
$$ n(n+1)=3\left(n+2+n+3+n+4+n+5\right)\Longleftrightarrow n^2+n=3(4n+14)\Longleftrightarrow n^2+n=12n+42\Longleftrightarrow n^2-11n-42=0$$
$\Delta=121+4\times 42=289=17^2$, ainsi :
$$ n_1=\dfrac{11-17}{2}=-3\qquad \text{ou}\qquad n_2=\dfrac{11+17}{2}=14$$
Seul $n=14$ est possible, ainsi les $6$ entiers consécutifs vérifiant la condition voulue sont $14$, $15$, $16$, $17$, $18$ et $19$.
\item {\footnotesize Trouver toutes les suites de $5$ entiers consécutifs tels que la somme des carrés des trois premiers nombres soit égale à la somme des carrés des deux derniers.}
\\
Notons $n$ le plus petit de ces entiers, $n$ vérifie :
$$ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2\Longleftrightarrow n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=n^2+6n+9+n^2+8n+16\Longleftrightarrow n^2-8n-20=0$$
$\Delta=64+80=144=12^2$, il y a donc deux solutions :
$$ n_1=\dfrac{8-12}{2}=-2\qquad \text{et} \qquad n_2=\dfrac{8+12}{2}=10$$
Il existe deux séries de $5$ entiers consécutifs vérifiant la condition voulue, la première $-2$, $-1$, $0$, $1$ et $2$ et la deuxième $10$, $11$, $12$, $13$ et $14$.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (4 points)
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère la trinôme suivant : $ x^2-(2m+3)x+m^2$\\
Pour quelle valeur de $m$ a-t-il une unique racine ?
\\
Calculer alors la valeur de cette racine.
\end{footnotesize}\\
Le trinôme  $ x^2-(2m+3)x+m^2$ admet une racine unique si et seulement si $\Delta=0\Longleftrightarrow (2m+3)^2-4m^2=0$. Et :
$$ (2m+3)^2-4m^2=0\Longleftrightarrow 4m^2+12m+9-4m^2=0\Longleftrightarrow 12m=-9\Longleftrightarrow m=-\dfrac{3}{4}$$
Pour $m=-\dfrac{3}{4}$ le trinôme admet une racine unique. De plus il s'écrit :
$$ x^2-(2m+3)x+m^2=x^2-4,5x+\dfrac{9}{4}$$
et la racine est : 
$$ x_1=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4,5}{2}=\dfrac{9}{4}$$
\item \begin{footnotesize}
On considère la courbe $\mathscr C_f : y=3x^2-2x+1$ et la droite $\mathscr D : y=m$. \\
Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$ ont exactement deux points d'intersection.
\end{footnotesize}
\\
$3x^2-2x+1=m\Longleftrightarrow 3x^2-2x+1-m=0$. \\
$\mathscr C_f$ et $\mathscr D$ ont exactement deux points d'intersection si et seulement si le discriminant du trinôme $3x^2-2x+1-m$ est strictmement positif i.e :
$$ \Delta>0\Longleftrightarrow 4-12(1-m)>0\Longleftrightarrow 4-12+12m>0 \Longleftrightarrow -8+12m>0\Longleftrightarrow 12m>8\Longleftrightarrow m>\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$$
Par conséquent $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$ ont exactement deux points d'intersection si et seulement si $m>\dfrac{2}{3}$.
\end{enumerate}}




\Exoi{\hfill\textbf{Question Cactus}\\
{\footnotesize Un automobiliste se rend de Colmar à Nancy, villes distantes de $150$ km. Au retour, sa vitesse moyenne est supérieure de $25$ km.h$^{-1}$ à celle qu'il a réalisée à l'aller. Déterminer ces deux vitesses sachant qu'il roulé pendant exactement cinq heures.}
\\
On sait que $v=\dfrac{d}{t}$. Notons $t_1$ le temps que l'automobiliste a mis à l'aller et $v_1$ sa vitesse moyenne à l'aller. Comme $v_1=\dfrac{150}{t_1}$ on a $t_1=\dfrac{150}{v_1}$. \\
De plus on a aussi, pour le retour  : $v_1+25=\dfrac{150}{5-t_1}\Longleftrightarrow (v_1+25)(5-t_1)=150\Longleftrightarrow (v_1+25)\left(5-\dfrac{150}{v_1}\right)=150$.\\
Au final on cherche $v_1$ tel que :
$$ (v_1+25)(5-t_1)=150\Longleftrightarrow (v_1+25)\left(5-\dfrac{150}{v_1}\right)=150\Longleftrightarrow 5v_1-150+125-\dfrac{3750}{v_1}=150\Longleftrightarrow 5v_1^2-25v_1-3750=150v_1\Longleftrightarrow 5v_1^2-175v_1-3750=0$$
$\Delta=175^2+4\times 5\times 3750=105625=325^2$ d'où :
$$ v_1=\dfrac{175-325}{10}<0 \text{impossible} \qquad \text{donc } \qquad v_1=\dfrac{175+325}{10}=50$$
Cet automobiliste a donc roulé à $50$ km.h$^{-1}$ à l'aller et $75$ km.h$^{-1}$ au retour.\\
Il lui a donc fallu $3$ heures à l'aller et $2$ heures au retour.
}

\end{document}