  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Probabilité}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Probabilité}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Surveillé 3}


\Exoi{\hfill (9 points)\\
\begin{footnotesize}
L'un des jeux les plus importants pour les peuples Syldaves et Grolandais est  un jeu de mémoire, nommé $JM$. Afin de se qualifier pour les championnats du monde, Pssgklm le syldave doit réussir les deux épreuves suivantes :
\begin{itemize}
\item La première épreuve consiste à réciter les $10 000$ premières décimales de $\pi$ sans se tromper.
\item La seconde épreuve consiste à énumérer la liste des $1000$ derniers champions du monde de $JM$.
\end{itemize}
Pssgklm sait qu'il a $75\%$ de chances de réussir la première épreuve pour laquelle il est très entraîné, en revanche il n'a qu'une chance sur trois de réussir la seconde. \\
Le gouvernement Syldave décide de récompenser ses athlètes de la manière suivante :
\begin{itemize}
\item $10000$ bonbons syldaves pour un Syldave réussissant les deux épreuves.
\item $ 1000$ bonbons syldaves pour un Syldave réussissant une seule des deux épreuves.
\item et rien pour un Syldave échouant aux deux épreuves.
\end{itemize}
Chaque Syldave doit payer $5000$ bonbons Syldave pour participer au concours.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Décrire par un arbre pondéré cette expérience aléatoire.}
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\\
Notons $G_i$, pour $i=1$ ou $i=2$, l'événement P. (nous le nommerons désormais ainsi) réussit sa $i-$ème figure.
\begin{center}
% Racine en Haut, développement vers le bas
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(-1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(-2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({(0.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$G_1$};
\node[feuille] (Raa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$G_2$};
\node[feuille] (Rab) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{G_2}$};
\node[noeud] (Rb) at ({(2.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$\overline{G_1}$};
\node[feuille] (Rba) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$G_2$};
\node[feuille] (Rbb) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{G_2}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$\dfrac{3}{4}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$\dfrac{1}{3}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\dfrac{2}{3}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$\dfrac{1}{4}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$\dfrac{1}{3}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$\dfrac{2}{3}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Calculer la probabilité que Pssgklm se qualifie pour les championnats du monde.}\\
$$ P(G_1\cap G_2)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}$$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité que Pssgklm réussisse une seule des deux épreuves.}\\
$$ p(G_1\cap \overline{G_2})+p(\overline{G_1}\cap G_2)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{123}$$
\item {\footnotesize On note $G$ la variable aléatoire donnant les gains de Pssgklm en bonbons syldaves.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.}
La probabilité que P. loupe les deux figures est de $\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$, d'où :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
Gain $G$ & $5000$ & $-4000$ & $-5000$ & Total\\\hline
$p(G=x_i)$ & $ \frac{1}{4}$ & $\frac{7}{12}$ & $\frac{1}{6}$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer l'espérance de $G$. Pssgklm a-t-il raison de payer $5000$ bonbons syldaves pour tenter de participer au championnat du monde ?}
$$ E(G)=5000\times \dfrac{1}{4}-4000\times \dfrac{7}{12}-5000\times \dfrac{1}{6}\simeq -1917$$
Il est perdant en moyenne (en bonbons Syldave), mais il est peut-être pas du tout intéressé par les bonbons syldaves et puis s'entraîner des semaines entières (en apprenant des décimales de $\pi$) pour ne pas participer au concours serait un curieux choix$\dots$
\item {\footnotesize Déterminer l'écart-type $\sigma(G)$. Interpréter.}\\
$$ V(G)=E(G^2)-E(G)^2\simeq 5000^2\times \dfrac{1}{4}+4000^2\times \dfrac{7}{12}+5000^2\times \dfrac{1}{6}-(-1916)^2\simeq 16076376$$
Ainsi $\sigma(G)=\sqrt{V(G)}\simeq 4010$.
\\
En moyenne les résultats de $P.$ seront concentrés entre $-1919-4010$ et $-1919+4010$.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Le gouvernement Grolandais propose à notre héros (Pssgklm) la nationalition. En acceptant il multiplierait ses gains en bonbons Syldave par deux, mais devrait donner une participation deux fois plus importante pour s'inscrire aux qualifications.
\\
On note $Y$ la variable aléatoire donnant les gains de Pssgklm en bonbons Syldave offert par le gouvernement Grolandais.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $Y$ en fonction de $G$.}
$$ Y=2G$$
\item {\footnotesize Calculer $E(Y)$ puis $\sigma(Y)$.}
$$ E(Y)=2E(G)\simeq -3833$$
$$ \sigma(Y)=2\sigma(G)\simeq 8020$$
\item {\footnotesize Pssgklm doit-il accepter la nationalisation sachant  qu'il n'a d'intérêt que pour les bonbons syldaves ?}
\\
Au regard de l'espérance P. n'a pas intérêt à accepter les bonbons syldaves mais si véritablement il n'a d'intérêt que pour les bonbons syldaves, alors compte tenu du risque très élevé (cela signifie qu'en plus de risquer perdre beaucoup il risque de gagner pas mal), P. devrait sérieusement hésité.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $2$ ; $5$ ; $7$ et $9$. Soit $a$ un réel appartenant à l'intervalle $[0;1]$. La loi de probabilité de $X$ est résumée dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline 
$x_i$ & 2 & 5 & 7 & 9 \\\hline
$p(X=x_i)$ & $\dfrac{1}{5}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{10}$ & $a$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer $a$.}
\\On a :
$$ a+\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}=1\Longleftrightarrow a=1-\dfrac{2}{10}-\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$$
\item {\footnotesize En utilisant la calculatrice, donner l'espérance et l'écart-type de $X$.}\\
On trouve $E(X)=6,2$ et $\sigma(X)\simeq 2,7$.
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
Une usine produit des pièces électroniques. L'ensemble de la production est vendue. Une pièce est vendue $15$ \euro. \\
On sait que :
\begin{itemize}
\item chaque pièce coûte $7$ euros à produire et à tester ;
\item il faut compter $4$ euros supplémentaires pour réparer une pièce.
\end{itemize}
En moyenne on observe, pour un échantillon de $2000$ pièces prélevées au hasard, les proportions données par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
pièce défectueuses & pièces non défectueuses & Total \\\hline
$60$ & $1940$ & $2000$\\\hline
\end{tabular}
\end{center} 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain par pièce vendue.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
Gain $x_i$ & 4 & 8 \\\hline
$p(X=x_i)$ & $\dfrac{60}{2000}$ & $\dfrac{1940}{2000}$\\\hline
\end{tabular}
\end{center} 
\item {\footnotesize Calculer le gain moyen par pièce vendue.}
$$ 4\dfrac{60}{2000}+8\times \dfrac{1940}{2000}\simeq 7,88$$
Le gain moyen par pièce vendue est de $7,88$ \euro.
\item {\footnotesize Sachant que les ateliers fabriquent $30000$ pièces par an. Estimer le gain annuel en euros de l'entreprise. }
\\
$$ 7,88\times 30 000=236400$$
On s'attends à un gain annuel autour de $236400$ \euro{}.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Le PDG de cette entreprise envisage d'éliminier les pièces défectueuses sans les réparer et de vendre $20$ \euro les pièces non défectueuses. Cette stratégie est-elle rentable pour l'entreprise ?}
$$ -7\dfrac{60}{2000}+13\times \dfrac{1940}{2000}\simeq 12,4$$
Cette stratégie est rentable pour l'entreprise.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Un sac contient $100$ boules. Sur chacune des ces boules est inscrit l'un des numéros $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$. Le tableau ci-dessous donne la répartition de ces boules suivant leur numéro :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Numéro Inscrit & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline
Nombre de boules & 30 & 25 & 20 & 15 & 10\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Un joueur joue à un jeu dont la règle suit l'algorithme suivant :
\Algo[Tirer une boule]{12.5cm}{
\Entree{ 
 $n$ est un nombre entier compris entre $0$ et $4$\\
$Gain$ est un entier.}
%\Deb{
\\
$n$ prend une valeur entière, au hasard, entre $0$ et $4$.\\
  \IfThenElse{ $n$ est pair }
    {$Gain:=n$ }
      {$Gain:=-n$}\\
      Afficher \og Vous avez gagné \fg{} $Gain$ \og euros \fg.
%}
}
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque numéro de boule tirée, associe le gain du joueur.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quelles sont les valeurs prise par $X$ ?}\\
$X$ prends les valeurs $0$, $-1$, $2$, $-3$ et $4$.
\item {\footnotesize Déterminer la loi de probabilité de $X$. }
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ & 0 & -1 & 2 & -3 & 4\\\hline
$p(X=x_i)$ & 0,30 & 0,25 & 0,20 & 0,15 & 0,10\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Calculer l'espérance $E(X)$. Le jeu est-il avantageux pour le joueur ?}
$$ E(X)=0\times 0,3-0,25+0,4-0,45+0,4=0,1$$
Le jeu est très légèrement avantageux pour le joueur.
\end{enumerate}
}
\Exoi{\hfill\textbf{Question Cactus}\\
\begin{footnotesize}
Venus en France en $1665$, Christiaan Huygens a étudié des problèmes traités et proposés par Fermat et Pascal.
\\
\textit{Enoncé de l'un des problèmes} : On a un jeu de $40$ cartes contenant $10$ cartes de $4$ couleurs différentes. \\
On tire $4$ cartes de ce jeu.\\
Huygens veut connaître la probabilité d'avoir tiré une carte de chaque couleur.
\end{footnotesize}
On note $D$ l'événement : \og la carte tirée n'est pas de la même couleur que les précédentes \fg{}.
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.6666666666666665)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(3)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauD{(4)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$Carte quelconque$};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(1)*\InterFeuilles}) {$D$};
\node[noeud] (Raa) at ({\NiveauC},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$D$};
\node[feuille] (Raaa) at ({\NiveauD},{(0)*\InterFeuilles}) {$D$};
\node[feuille] (Raab) at ({\NiveauD},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{D}$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$\overline{D}$};
\node[feuille] (Rb) at ({\NiveauB},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{D}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$\dfrac{30}{39}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$\dfrac{20}{38}$};
\draw[fleche] (Raa)--(Raaa) node[etiquette] {$\dfrac{10}{37}$};
\draw[fleche] (Raa)--(Raab) node[etiquette] {$\dfrac{27}{38}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\dfrac{18}{38}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$\dfrac{9}{39}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
$$ 1\times \dfrac{30}{39}\times \dfrac{20}{38}\times \dfrac{10}{37}=\dfrac{1000}{9139}$$
La probabilité d'avoir tiré une carte de chaque couleur est $ \dfrac{1000}{9139}$, soit un peu moins d'une chance sur neuf.
}

\end{document}