  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Géométrie Plane et Intervalle}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Géométrie Plane et Intervalle}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir surveillé 1}

\Exoi{\textit{Les ensembles de nombres}\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
Relier les phrases suivantes :
\end{footnotesize}%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels
\item $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels
\item $\Q$ désigne l'ensemble des nombres rationnels
\item $\Z$ désigne l'ensemble des nombres entiers relatifs
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
\textbf{Protocole de construction} :
\begin{enumerate}
\item Tracer un segment $[AB]$.
\item A l'aide de votre règle (non graduée) et de votre compas, diviser ce segment en trois parties égales.
\end{enumerate}
\end{footnotesize}}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.88,-0.1)(3.86,5.48)
\psline(-2.2,1.12)(1.74,1.42)
\psline(-2.2,1.12)(-1.78,2.22)
\pscircle(-1.78,2.22){1.18}
\psplot{-2.2}{3.86}{(--2.89--1.1*x)/0.42}
\pscircle(-1.36,3.32){1.18}
\psline(-0.94,4.42)(1.74,1.42)
\psplot{-3.88}{3.86}{(--4.82-3*x)/2.68}
\psplot{-3.88}{3.86}{(--0.61-3*x)/2.68}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-2.2,1.12)
\rput[bl](-2.46,0.9){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.74,1.42)
\rput[bl](1.82,1.5){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.78,2.22)
\rput[bl](-2.14,2){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.36,3.32)
\rput[bl](-1.24,3.32){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-0.94,4.42)
\rput[bl](-0.8,4.46){$E$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Exoi{\textit{Intervalle}\hfill (2 points)\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize A quel intervalle de $\R$, $x$ appartient-il dans chacun des cas suivants :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x-3<5-2x\Longleftrightarrow 5x<8\Longleftrightarrow x<\dfrac{8}{5}\Longleftrightarrow x\in \left]-\infty;\dfrac{8}{5}\right[$
\item $ 3<-3x+1\leq 7\Longleftrightarrow 2<-3x\leq 6\Longleftrightarrow -\dfrac{2}{3}>x\geq -2\Longleftrightarrow x\in \left[-2;-\dfrac{2}{3}\right[$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item {\footnotesize Dans chacun des cas suivants, traduire par une inégalité le fait que :}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x\in[1;7[\Longleftrightarrow 1\geq x<7$
\item $x\in ]-1;+\infty[\Longleftrightarrow x>-1$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exoi{Résolution d'équation \hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
Résoudre les équations suivantes :
\end{footnotesize}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x-7=10\Longleftrightarrow 3x=17\Longleftrightarrow x=\dfrac{17}{3}$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{17}{3}\right\}$$
\item $5x+3=-2x+19\Longleftrightarrow 7x=16\Longleftrightarrow x=\dfrac{16}{7}$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{16}{7}\right\}$$
\item $(1-x)(2+x)+(1-x)(6-2x)=0\Longleftrightarrow (1-x)[(2+x)+(6-2x)]=0\Longleftrightarrow (1-x)(2+x+6-2x)=0\Longleftrightarrow (1-x)(8-x)=0$
\\
Dire qu'un produit est nul revient à dire que l'un ou l'autre des facteurs est nul, par conséquent :
$$ 1-x=0 \qquad \text{ou}\qquad x-8=0\Longleftrightarrow x=1\qquad \text{ou}\qquad x=8$$
$$ \mathscr S=\left\{1;8\right\}$$
\item $(x+1)^2=(x-1)^2\Longleftrightarrow x^2+2x+1=x^2-2x+1\Longleftrightarrow 2x=-2x \Longleftrightarrow 4x=0\Longleftrightarrow x=0$
$$ \mathscr S=\left\{0\right\}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{\textit{Inéquation et problème} \hfill (3 points)\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre l'inéquation (on donnera l'intervalle auquel appartient le réel $x$ vérifiant) :}
$$ 50+0,42x>40+0,5x\Longleftrightarrow 10>0,08x \Longleftrightarrow \dfrac{10}{0,08}>x\Longleftrightarrow 125>x$$
Ainsi $x\in ]-\infty;125[$.
\item \begin{footnotesize}
Voici les tarifs pratiqués par deux agences de location de voitures pour des véhicules identiques (tarifs 
journaliers, assurance comprise) :
\begin{itemize}
\item \fbox{AGENCE A : Forfait : $50\euro$ \qquad plus $0,42 \euro $ par km}
\item \fbox{AGENCE B : Forfait : $40\euro$ \qquad plus $0,50 \euro $ par km}
\end{itemize}
Quelle est l'agence la plus avantageuse (du point de vue financier) selon que l'on doit effectuer dans la journée 
un parcours de 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item 50 km ?
\item 150 km ?
\item $x$ km ?
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{footnotesize}
Pour un total de $x$ km, on paye avec l'agence $A$ : $50+0,42x$ et avec l'agence $B$ $40+0,5x$. Ainsi l'agence $B$ est plus avantageuse que l'agence $A$ si et seulement si $50+0,42x>40+0,5x$ ce qui d'après la première question est vraie pour $x<125$.\\
On conclut donc que l'agence $B$ est plus avantageuse pour une distance inférieure à $125$ km, moins avantageuse pour une distance supérieure à $125$ km et aussi avantageuse que $A$ pour une distance égale à $125$ km.
\end{enumerate}}

\Exoi{\textit{Un problème} \hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
Un père de trois enfants laisse en héritage 1600 couronnes. Le testament précise que l'aîné doit recevoir 200 
couronnes de plus que le deuxième, le deuxième 100 couronnes de plus que le dernier. De quelle somme hérite 
chacun des enfants ? 
\end{footnotesize}
Notons $x$ l'héritage que reçoit le dernier enfant. Alors, le second reçoit $x+100$, et l'aîné reçoit $x+100+200$, on conclut que :
$$ x+x+100+x+100+200=1600\Longleftrightarrow 3x+400=1600\Longleftrightarrow 3x=1200\Longleftrightarrow x=400$$
L'aîné reçoit donc $700$ couronnes, le second $500$ et le dernier $400$.
}

\pagebreak



\Exoi{\textit{Calcul} \hfill (2 points)\\
Calculer et mettre sous la forme la plus simple possible :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{7+\dfrac{1}{3}}{6-\dfrac{13}{4}}=\dfrac{\dfrac{21+1}{3}}{\dfrac{24-13}{4}}=\dfrac{\dfrac{22}{3}}{\dfrac{11}{4}}=\dfrac{22}{3}\times \dfrac{4}{11}=\dfrac{2\times 11\times 4}{3\times 11}=\dfrac{8}{3}$
\item $\left(\sqrt{3}-4\right)^2+\sqrt{3}\left(9+\sqrt{3}\right)=3-8\sqrt{3}+16+9\sqrt{3}+3=22+\sqrt{3}$
\item $\sqrt{72}+\sqrt{36}-6\sqrt{8}=\sqrt{2\times 36}+6-6\sqrt{4\times 2}=6\sqrt{2}+6-12\sqrt{2}=-6\sqrt{2}+6$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{\textit{Géométrie et Racine Carrée}\hfill (3 points)\\
{\footnotesize  On veut construire à la règle et au compas un segment de longueur : $\sqrt{11}$ cm}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}\begin{footnotesize}
\item Construire un segment $[BH]$ de longueur $1$ cm.
\item Sur la demi-droite $[BH)$, placer le point $C$ tel que $HC=11$ cm.
\item Construire un demi-cercle de diamètre $[BC]$.
\item Construire la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $H$. Elle coupe le demi-cercle en $A$.
\end{footnotesize}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.49,-2.45)(11.52,7.93)
\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1*6*cos(t)+0*6*sin(t)+5|0*6*cos(t)+1*6*sin(t)+0}
\psline(-1,0)(11,0)
\psline(0,-2.45)(0,7.93)
\psline(-1,0)(0,3.32)
\psline(0,3.32)(11,0)
\rput[tl](4.87,-0.12){$11$}
\rput[tl](-0.65,-0.05){$1$}
\rput[tl](0.12,2.1){$ \sqrt{11} $}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1,0)
\rput[bl](-1.31,-0.16){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](0.19,0.04){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](11,0)
\rput[bl](11.1,0.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,3.32)
\rput[bl](-0.34,3.23){$A$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.}\\
Le triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle dont l'un de ses côtés est un diamètre (le côté $[BC]$), par conséquent il est rectangle en $A$.
\item {\footnotesize Ecrire l'égalité de Pythagore dans les triangles $ABC$, $AHC$ et $AHB$.}\\
D'après la question le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore on a :
$$ BC^2=AB^2+AC^2$$
Par construction les triangles $AHC$ et $AHB$ sont rectangles en $H$, ainsi on a d'après Pythagore :
$$ AB^2=BH^2+AH^2\qquad \text{et}\qquad AC^2=AH^2+HC^2$$
\item {\footnotesize En déduire que $AH^2=11$, conclure.}\\
D'après la question précédente on sait que $BC^2=AB^2+AC^2$, en utilisant les deux autres égalités que donnent le théorème de Pythagore on obtient :
$$ BC^2=HB^2+AH^2+AH^2+HC^2$$
Ainsi :
$$ BC^2=1+2AH^2+121$$
Par conséquent :
$$ 2AH^2=12^2-122=144-122=22$$
On en déduit :
$$ AH^2=11\Longrightarrow AH=\sqrt{11}$$
Ainsi, à l'aide de la règle et du compas on a construit un segment de longueur $\sqrt{11}$ cm, en l'occurence il s'agit du segment $[AH]$.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\textit{Le nombre d'or}\hfill (2 points)\\
On considère l'équation suivante : $x^2 – x – 1 = 0$.\\
Le nombre $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est-il une solution de l'équation ? (détailler les calculs)\\
$$ \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\dfrac{(1+\sqrt{5})^2}{4}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5-2(1+\sqrt{5})-4}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-4}{4}=0$$
Ainsi le nombre d'or est bien solution de l'équation $x^2-x-1=0$.}

\Exoi{\textit{Système}\hfill (2 points)\\
\begin{footnotesize}
On note $J$  le jour de ta date de naissance. 
Par exemple, si tu es né le 25 Avril 1982, alors $J = 25$. 
Résoudre le système suivant : 
$$\left\{ \begin{array}{l}4x+3y=J\\ 3x+2y=0\\ \end{array}\right.$$
\end{footnotesize}
$$\left\{ \begin{array}{l}4x+3y=J\\ 3x+2y=0\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x+9y=3J\\ 12x+8y=0\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=3J\\ 3x+2y=0\Longrightarrow 3x=-6J\Longrightarrow x=-2J\\ \end{array}\right.$$
Ainsi, si $J=25$ alors $$ \mathscr S=\left\{x=-50;y=75\right\}$$
De même si $J=13$, par exemple :
$$ \mathscr S=\left\{x=-26;y=39\right\}$$}
\Exoi{\hfill\textbf{Question Cactus}\\
\begin{footnotesize}
Je suis un polygone dont le nombre de diagonales est égal 
à $13$ fois le nombre de côtés. \\
Combien ai-je de côtés ? 
\end{footnotesize}
\textbf{Une solution proposée par J.C, élève de 2nde 8} : 
En regardant les premiers polygone on s'aperçoit qu'un triangle n'a pas de diagonale, un quadrilatère en a $2$, un pentagone en a $5$, un hexagone en a $9$, ect$\dots$\\
Dans un polygone chaque sommet a une diagonale qui rejoint les autres sommets, sauf, lui-même et les deux sommets avec qui il partage un côté. 
Ainsi si $c$ désigne le nombre de côté de notre polygone, il y a $c-3$ diagonale par sommet. Mais attention, cela ne se répète pas à chaque sommet, sinon on compte plusieurs fois la même diagonale (deux fois, puisqu'une diagonale relie deux sommets).\\
Comme il y a $c$ sommet, chaque polygone a donc $(c-3)\times \dfrac{c}{2}$ diagonales, soit $\dfrac{c^2-3c}{2}$. On cherche $c$ tel que :
$$ \dfrac{c^2-3c}{2}=13c\Longleftrightarrow c^2-3c=26c\Longleftrightarrow c^2=29c\Longleftrightarrow c=29 \qquad \text{puisque } c\neq 0$$
Un polygone à 29 côtés a donc $377$ diagonales, c'est-à-dire $13$ fois plus de diagonales que de côtés.
}
\end{document}