  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les fonctions de référence}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Les fonctions de référence}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir surveillé 1}
\\
\Exoi{\hfill (7 points)\\
\partieBac{Fonction affine}
\begin{footnotesize}
Dans un repère orthonormal $(O;I,J)$, on considère les points $A(-3;1)$ et $B(1;-3)$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la droite $(AB)$.}\\
$(AB)$ est une droite dont l'équation est du type :
$$ y=ax+b$$
A l'aide des coordonnées de $A$ et $B$, déterminer $a$ et $b$ :
$$\left\{ \begin{array}{l} 1=-3a+b\\ -3=a+b \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=1+3a\\ 4=-4a\Longrightarrow a=-1 \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=1-3=-2\\ a=-1 \end{array} \right.$$
Ainsi :
$$ (AB) \quad :\quad y=-x-2$$
\item {\footnotesize Le point $D(2;-4)$ est-il un point de $(AB)$ ?}\\
$D\in(AB)\Longleftrightarrow y_D=-x_D-2$, or $-2-2=-4$ donc les coordonnées de $D$ vérifient bien l'équation de la droite $(AB)$.
$$ D\in(AB)$$
\end{enumerate}
\partieBac{Fonction polynôme de degré $2$.}
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=x^2-x-6$$
On note $\mathscr C$ sa représentation graphique dans le repère orthonormal $(O;I,J)$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer les antécédents de $-6$ par $P$.}
\\
On cherche les réels $x$ tels que $P(x)=-6$.\\
\begin{eqnarray*}
& &P(x)=-6\\
&\Longleftrightarrow & x^2-x-6=-6\\
&\Longleftrightarrow & x^2-x=0\\
&\Longleftrightarrow &x(x-1)=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0\qquad \text{ou}\qquad x=1
\end{eqnarray*}
$6$ admet deux antécédents par $P$, $0$ et $1$.
\item {\footnotesize Donner l'équation de l'axe de symétrie de $P$.}\\
Puisque $P$ est une fonction polynôme de degré $2$, $\mathscr C$ est une parabole qui admet un axe de symétrie d'équation :
$$ x=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$$
\item {\footnotesize Déterminer la forme canonique de la fonction $P$.}\\
$P\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}-6=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-6=-\dfrac{1}{2}-6=-\dfrac{13}{2}$, par conséquent :
$$ P(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{13}{2}$$
\item {\footnotesize Etablir le tableau de variation de $P$.}\\
D'après la question précédente, comme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a=1>0$ on obtient le tableau de variation suivant :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{P(x)}&&\fd&\txb{-\dfrac{13}{2}}&\fm&\cr
}$$
\end{enumerate}
\partieBac{Représentation graphique et position relative}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Représenter dans un même graphique $\mathscr C$ et $(AB)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.84,-7.4)(7.9,5.12)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.84,-7.4)(7.9,5.12)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-5.840000000000003}{7.8999999999999995}{x^2-x-6}
\psplot[linecolor=ccqqqq]{-5.84}{7.9}{(-2-1*x)/1}
\rput[tl](4.33,-5.15){$\ccqqqq{y=-x-2}$}
\rput[tl](3.58,2.36){$\qqqqzz{\mathscr C : y=x^2-x-6}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](-3,1)
\rput[bl](-2.87,1.18){$A$}
\psdots[dotstyle=*](1,-3)
\rput[bl](1.12,-2.81){$B$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer par le calcul l'intervalle sur lequel $(AB)$ est au dessus de $\mathscr C$. \\}
{\footnotesize \textit{Indication : On pourra étudier le signe de\qquad \qquad  $P(x)-(-x-2)$.}}\\
$P(x)-(-x-2)=P(x)+x+2=x^2-x-6+x+2=x^2-4$.\\
$(AB)$ est au dessus de $\mathscr P$ dès lors que $P(x)-(-x-2)<0$, or $x^2-4<0\Longleftrightarrow -2<x<2$.
$$ \mathscr S=]-2;2[$$
Lorsque $x=2$ ou lorsque $x-2$, $\mathscr C$ et $(AB)$ sont confondues.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
La vitesse du son dans l'air, exprimée en km.h$^{-1}$, en fonction de la température $T$, exprimée en degré celcius, est donnée par la formule suivante :
$$ v(T)=3,6\times \sqrt{\dfrac{11,63(T+273)}{0,029}}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Rappeler le tableau de variation de la fonction $f$ où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{x}$}
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,Variations/1.5}{$0$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- /$0$, +/ }
%\tkzTabLine{,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize A quelle vitesse, à $1$ km.h$^{-1}$ près, vole un avion qui franchit le \og mur du son \fg, c'est-à-dire lorsque sa vitesse atteint la vitesse du son, à $15^\circ$ C ?} \footnote{On dit qu'il vole à Mach 1}\\
On calcule $v(15)$ :
$$ v(15)=3,6\sqrt{\dfrac{11,63(15+273)}{0,029}}\simeq 1223 \quad  \text{km.h}^{-1}$$
\item
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer l'implication suivante :
$$ -273\leq t<t'\Longrightarrow v(t)<v(t')$$
\end{footnotesize}
On cherche à montrer :
$$ -273\leq t<t'\Longrightarrow v(t)<v(t')$$
\begin{eqnarray*}
& & -273\leq t<t'\\
& \Longleftrightarrow &  0\leq t+273<t'+273\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq 11,63(t+273)<11,63(t'+273)\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq \dfrac{11,63(t+273)}{0,029}< \dfrac{11,63(t'+273)}{0,029}\\
& \Longleftrightarrow & 0 \leq  \sqrt{\dfrac{11,63(t+273)}{0,029}} < \sqrt{\dfrac{11,63(t'+273)}{0,029}}\qquad \qquad \text{car la fonction $x\longmapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$}
\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq 3,6\sqrt{\dfrac{11,63(t+273)}{0,029}} < 3,6\sqrt{\dfrac{11,63(t'+273)}{0,029}}\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq v(t)<v(t')\\
\end{eqnarray*}
\item {\footnotesize Qu'a t-on démontré à la question précédente. }\\
Ainsi image et antécédent sont rangés dans le même ordre, la fonction $v$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-273;+\infty[$.
\item {\footnotesize En déduire le tableau de variation de la fonction $v$.}\\
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,Variations/1.5}{$-273$,$+\infty$}
\tkzTabVar{- /$0$, +/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate} 
\item {\footnotesize Un jour d'orage, la température est de $30^\circ$ C. Sami observe qu'il s'écoule $8$ secondes entre l'éclair et le coup de tonnerre. En considérant que la propagation de la lumière est instantannée, à quelle distance de Sami la foudre est-elle tombée ?}
\\
On sait que $v=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow d=v\times t$.\\
Or, $$v(30)=3,6\sqrt{\dfrac{11,63(30+273)}{0,029}}\simeq 1255 \quad  \text{km.h}^{-1}\simeq \dfrac{1255}{3600}\simeq 0,3486 \quad  \text{km.s}^{-1}$$
Ainsi :
$$ d=0,3486*8\simeq 2,8 \quad km$$
La foudre entendue par Sami est tombée à un peu moins de $3$ km.
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\hfill (8 points)\\
\begin{footnotesize}
Maurice est un homme très jaloux. Amoureux de Gertrude, il ne peut supporter que celle-ci se retrouve trop proche d'Alexandre et de Louis, enfin tout du moins dans des conditions très spéciale. Maurice, Gertrude, Alexandre et Louis vivent dans un monde a une dimension, que nous représentons de la manière suivante :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-10.57,-0.74)(7.94,0.63)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10.57,-0.74)(7.94,0.63)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,labels=x,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10.57,-1.49)(7.94,1.25)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-10,0)
\rput[bl](-9.88,0.2){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.14,0.2){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,0)
\rput[bl](7.15,0.2){\blue{$L$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Ci-dessus $A$ représente la position d'Alexandre, $M$ celle de Maurice et $L$ celle de Louis. Les trois hommes, trop vieux, ne sont plus en capacité de se déplacer.\\
Plus en forme Gertrude, dont la position est donné par le point $G$ d'abscisse $x$, est encore capable de se déplacer. \\
Gertrude, amoureuse cachée de Maurice, a constaté que ce dernier ne souffrait pas du tout dès que les deux conditions suivantes ont lieu en même temps (et qu'il souffrait sinon) : 
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item[\textit{Condition 1 :}] $GL\geq GM$.
\item[\textit{Condition 2 :}] $GA\geq 2GM$.
\end{itemize}
\end{multicols}
Le but du problème est de déterminer les positions où peut se trouver Gertrude sans que Maurice ne souffre.\\
\end{footnotesize}
\partieBac{Modélisation du problème}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que Gertrude ne peut pas se trouver en $T$ le point d'abscisse $x=-3$ sans que Maurice ne souffre.}\\
Dans ce cas on a $TM=4$ et $TL=10$, ainsi la condition 1 est satisfaite. En revanche $TA=7$ et $2TM=8$ donc la condition 2 n'est pas satisfaite et Maurice souffre dès lors que Gertrude va en $T$.
\item {\footnotesize Gertrude peut-elle se trouver en $T'$ le point d'abscisse $x=3$ sans que Maurice ne souffre ?}\\
$T'M=2$ et $T'L=4$, la condition 1 est donc satisfaite. De plus $T'A=13$ et $2T'M=4$, par conséquent les deux conditions sont satisfaites, il suit que Gertrude peut se déplacer en $T'$ sans provoquer la souffrance de Maurice.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer les distances $GL$, $GM$ et $GA$ en fonction de $x$ en utilisant des valeurs absolues.}
On a :
$$ GL=d(G;L)=|x-7|\qquad \text{;}\qquad GM=d(G;M)=|x-1|\qquad \text{et}\qquad GA=d(G;A)=|x-(-10)|=|x+10|$$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude de fonctions défnies par des valeurs absolues}
\begin{footnotesize}
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=|7-x|\qquad \text{;}\qquad g(x)=|x-1|\qquad \text{et}\qquad h(x)=|x+10|$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Ecrire $f(x)$ sans utiliser les valeurs absolues, en distinguant les cas $x\geq 7$ et $x\leq 7$.}
$$ f(x)=|7-x| =\left\{ \begin{array}{l} 7-x\qquad \text{lorsque}\quad 7-x\geq 0\\x-7 \qquad \text{lorsque} \quad 7-x\leq 0 \end{array} \right. =\left\{ \begin{array}{l} 7-x\qquad \text{lorsque}\quad x\leq 7\\x-7 \qquad \text{lorsque} \quad x\geq 7 \end{array} \right. $$
\item {\footnotesize Ecrire $g(x)$ sans utiliser les valeurs absolues, en distinguant deux cas.}
$$ g(x)=|x-1| =\left\{ \begin{array}{l} x-1\qquad \text{lorsque}\quad x-1\geq 0\\1-x \qquad \text{lorsque} \quad x-1\leq 0 \end{array} \right. =\left\{ \begin{array}{l} x-1\qquad \text{lorsque}\quad x\geq 1\\1-x \qquad \text{lorsque} \quad x\leq 1 \end{array} \right. $$
\item {\footnotesize Ecrire $h(x)$ sans utiliser les valeurs absolues.}
$$ h(x)=|x+10| =\left\{ \begin{array}{l} x+10\qquad \text{lorsque}\quad x+10\geq 0\\-x-1 \qquad \text{lorsque} \quad x+10\leq 0 \end{array} \right. =\left\{ \begin{array}{l} x+10\qquad \text{lorsque}\quad x\geq -10\\-x-10 \qquad \text{lorsque} \quad x\leq -10 \end{array} \right. $$
\item {\footnotesize Représenter graphiquement dans un même repère les courbes des fonctions $f$ et $g$, puis résoudre (graphiquement) l'inéquation $f(x)\geq g(x)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-18.32,-3.93)(19.93,15.15)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-18.32,-3.93)(19.93,15.15)
\psplot[linecolor=qqzzqq,plotpoints=200]{-18.319999999999993}{19.92999999999999}{abs(7-x)}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{-18.319999999999993}{19.92999999999999}{abs(x-1)}
\rput[tl](-15.67,12){$\zzqqqq{\mathscr C_g : y=|x-1|}$}
\rput[tl](11.43,4.4){$\qqzzqq{\mathscr C_f : y=|7-x|}$}
\rput[tl](0.8,17.54){$\qqqqzz{\mathscr C_h : y=|x+10|}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Graphiquement on constate que $f(x)\geq g(x)$ pour $x\leq 4$.
\item {\footnotesize Représenter graphiquement dans un même repère les courbes des fonctions $h$ et $k$ où $k(x)=2|x-1|$, puis résoudre (graphiquement) l'inéquation $h(x)\geq k(x)$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\psset{xunit=.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-12.1,-1.24)(16.26,24.09)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12.1,-1.24)(16.26,24.09)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-12.100323651056035}{16.25823212193028}{abs(x+10)}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{-12.100323651056035}{16.25823212193028}{2*abs(x-1)}
%\rput[tl](-15.67,11.89){$\zzqqqq{\mathscr C_g : y=|x-1|}$}
\rput[tl](11.42,4.28){$\qqzzqq{\mathscr C_f : y=|7-x|}$}
\rput[tl](0.82,17.41){$\qqqqzz{\mathscr C_h : y=|x+10|}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](12,22)
\rput[bl](12.15,22.21){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-2.67,7.33)
\rput[bl](-2.54,7.56){\darkgray{$B$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
$\mathscr C_h$ est au dessus de $\mathscr C_k$ dès lors que $x\in[-2,3;11]$ à l'erreur graphique près.
\item {\footnotesize Conclure.}
\\
Gertrude doit se trouver entre le point d'abscisse $2,3$ et le point d'abscisse $4$ pour éviter la souffrance de Maurice :
$$ -2,3\leq x \leq 4$$
\end{enumerate}
\partieBac{Résolution du problème de Gertrude par calcul}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Résoudre l'inéquation : $|7-x| \geq |x - 1|$, en vous servant des résultats de la partie B., dans chacun des 
cas suivants : 
\end{footnotesize}
%\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  lorsque $x\leq 1$}
\\
Lorsque $x\leq 1$, on a $|7-x|=7-x$ et $|x-1|=1-x$. Par conséquent on cherche les réels $x$ inférieur à $1$ vérifiant :
\begin{eqnarray*}
& & |7-x| \geq |x - 1|\\
& \Longleftrightarrow & 7-x\geq 1-x\\
&\Longleftrightarrow & 7\geq 1 \qquad \text{ce qui est toujours vraie}
\end{eqnarray*}
Ainsi tous les réels à $1$ sont tels que $|7-x| \geq |x - 1|$.
\item {\footnotesize lorsque $1\leq x\leq 7$}
\\
Lorsque $1\leq x\leq 7$, on a $|7-x|=7-x$ et $|x-1|=x-1$. Par conséquent on cherche les réels $x$ compris entre  $1$ et $7$ vérifiant :
\begin{eqnarray*}
& & |7-x| \geq |x - 1|\\
& \Longleftrightarrow & 7-x\geq x-1\\
&\Longleftrightarrow & 8\geq 2x\\
&\Longleftrightarrow & 4\geq x
\end{eqnarray*}
Ainsi :$$ \mathscr S=[1;4]$$
\item {\footnotesize lorsque $x\geq 7$.}
\\
Lorsque $x\geq 7$, on a $|7-x|=x-7$ et $|x-1|=x-1$. Par conséquent on cherche les réels $x$ supérieur à $7$ vérifiant :
\begin{eqnarray*}
& & |7-x| \geq |x - 1|\\
& \Longleftrightarrow & x-7\geq x-1\\
&\Longleftrightarrow & -7\geq -1 \qquad \text{ce qui n'est jamais vraie}
\end{eqnarray*}
Ainsi :$$ \mathscr S=\emptyset$$
\end{enumerate}
\underline{Bilan} : $|7-x| \geq |x - 1|$ pour $x\in]-\infty;4]$.
%\end{multicols}
\item {\footnotesize Résoudre l'inéquation : $|x+10|\geq 2|x-1|$, dans chacun des cas suivants :}
%\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize lorsque $x\leq -10$}
\\
Lorsque $x\leq -10$, on a $|x+10|=-x-10$ et $2|x-1|=-2x+2$. Par conséquent on cherche les réels $x$ inférieur à $-10$ vérifiant :
\begin{eqnarray*}
& & |x+10| \geq 2|x - 1|\\
& \Longleftrightarrow & -x-10\geq -2x+2\\
&\Longleftrightarrow & x\geq 12
\end{eqnarray*}
Ainsi :$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item {\footnotesize lorsque $-10\leq x\leq 1$}
\\
Lorsque $-10\leq x\leq 1$, on a $|x+10|=x+10$ et $2|x-1|=-2x+2$. Par conséquent on cherche les réels $x$ compris entre  $-10$ et $1$ vérifiant :
\begin{eqnarray*}
& & |x+10| \geq 2|x - 1|\\
& \Longleftrightarrow & x+10\geq -2x+2\\
&\Longleftrightarrow & 3x\geq -8\\
&\Longleftrightarrow & x\geq -\dfrac{8}{3}
\end{eqnarray*}
Ainsi :$$ \mathscr S=\left[-\dfrac{8}{3};1\right]$$
\item {\footnotesize lorsque $x\geq 1$.}
\\
Lorsque $x\geq 1$, on a $|x+10|=x+10$ et $2|x-1|=2x-2$. Par conséquent on cherche les réels $x$ supérieur à $1$ vérifiant :
\begin{eqnarray*}
& & |x+10| \geq 2|x - 1|\\
& \Longleftrightarrow & x+10\geq 2x-2\\
&\Longleftrightarrow & 12\geq x
\end{eqnarray*}
Ainsi :
$$ \mathscr S=[1;12]$$
\end{enumerate}
\underline{Bilan} : $|x+10| \geq 2|x - 1|$ pour $x\in \left[-\dfrac{8}{3};12\right]$.
\item {\footnotesize Conclure.}\\
On a vu que $|x+10| \geq 2|x - 1|$ pour $x\in \left[-\dfrac{8}{3};12\right]$ et que $|7-x| \geq |x - 1|$ pour $x\in]-\infty;4]$, on conclut que :
$$ x\in \left[-\dfrac{8}{3};4\right]$$
\end{enumerate}
}



\end{document}