  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Suites}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Suite}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Corrigé du devoir maison 7 : Dérivation}

\Exoi{\begin{footnotesize}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$$
\end{footnotesize}
 \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\R$.}
$f$ est écrite sous la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.\\
On a $u(x)=x$ et donc $u'(x)=1$, puis $v(x)=x^2+4$ et donc $v'(x)=2x$, par conséquent pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{x^2+4-x(2x)}{(x^2+4)^2}=\dfrac{x^2+4-2x^2}{(x^2+4)^2}=\dfrac{-x^2+4}{(x^2+4)^2}$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs de $x$, puis en déduire les variations de la fonction $f$.}\\
Le dénominateur de $f$ est un carré, par conséquent pour tout $x\in\R$ on a :
$$ (x^2+4)^2>0$$
$f'$ est donc du signe du numérateur, qui est un trinôme du second degré.\\
Recherchons ses racines en résolvant $-x^2+4=0\Longleftrightarrow x^2=4\Longleftrightarrow x=-2\qquad \text{ou}\qquad x=2$.
\\
On en déduit immédiatement le tableau de signe de $f'$ et le tableau de variation de $f$ :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-2$};
\node at (4*\Lrg,0) {$2$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$0$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\dfrac{1}{4}$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\dfrac{1}{4}$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item{\footnotesize  Donner, s'ils existent, le minimum et le maximum de $f$ sur $[-4;4]$.}\\
Par lecture du tableau de variation précédent on déduit immédiatement que $f$ admet $-\dfrac{1}{4}$ pour minimum sur l'intervalle $[-4;4]$ et $\dfrac{1}{4}$ pour maximum sur ce même intervalle.
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{footnotesize}
On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ par :
$$ h(x)=3x^3+11x^2+5x$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $h'(x)$, etudier le signe de $h'(x)$ en fonction des valeurs de $x$ puis en déduire le sens de variation de $h$.}
Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ h'(x)=9x^2+22x+5$$
$\Delta=b^2-4ac=304$, le trinôme $9x^2+22x+5$ admet deux racines que voici :
$$ x_1=\dfrac{-22-\sqrt{304}}{18}\simeq -2,2\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-22+\sqrt{304}}{18}\simeq -0,3$$
Des racines du trinôme on déduit le signe de $h'$ et par conséquent les variations de $h$ comme suit :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$x_1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$x_2$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$h'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$h(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\simeq 10,3$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$\simeq -0,6$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize En déduire le nombre de solution de l'équation $h(x)=3$.}\\
Par lecture du tableau de variation précédent l'équation $h(x)=3$ admet une première solution sur l'intervalle $]-\infty;x_1]$, puis une seconde sur l'intervalle $[x_1;x_2]$ et enfin une troisième sur l'intervalle $[x_2;+\infty[$.
\item {\footnotesize A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la plus grande des solutions et les valeurs exactes des autres solutions.}\\
A l'aide de la calculatrice on trouve que les trois solutions que nous notons $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont :
$$ \alpha=-3\qquad \text{;}\qquad \beta=-1\qquad \text{et la plus grande}\qquad \gamma=\dfrac{1}{3}\simeq 0,33$$
\item {\footnotesize Résoudre l'inéquation $h(x)>3$.}\\
Par lecture du tableau de variation de $h$ on obtient directement :
$$\mathscr S=]-3;-1[\cup \left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$$
\end{enumerate}}

\Exoi{}
\begin{multicols}{2}
Dans un tronc d'arbre circulaire, on découpe une poutre de forme parallélépipèdique rectangle. La résistance à la flexion de cette poutre varie comme le produit $\ell \times h^2$ où $\ell$ et $h$ sont les dimensions ci-contre :\\
On prend comme unité de longueur le rayon du tronc d'arbre.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.85,-2.39)(2.53,2.06)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.73,0.2)(1.55,0.2)(1.55,0)(1.73,0)
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){2}
\psline(-1.73,1)(1.73,1)
\psline(1.73,1)(1.73,-1)
\psline(1.73,-1)(-1.73,-1)
\psline(-1.73,1)(-1.73,-1)
\psline(0,0)(1.73,1)
\psline(0,0)(1.73,0)
\rput[tl](0.66,0.89){$1$}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.52}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psline{->}(-2.3,0)(-2.3,1)
\psline{->}(-2.3,0)(-2.3,-1)
\rput[tl](-2.6,0.14){$h$}
\psline{->}(0,-2.3)(-1.73,-2.3)
\psline{->}(0,-2.3)(1.73,-2.3)
\rput[tl](-0.05,-2.04){$\ell$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.2,-0.2){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.73,1)
\rput[bl](1.8,1.03){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.73,1)
\rput[bl](-1.9,1.03){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.73,-1)
\rput[bl](-1.9,-1.2){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.73,-1)
\rput[bl](1.8,-1.1){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.73,0)
\rput[bl](0.2,0){\qqwuqq{$\alpha$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $ h^2=4-\ell^2$}
\\
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, par conséquent, d'après le théorème de Pythagore :
$$ AC^2=AB^2+BC^2\Longleftrightarrow 2^2=\ell^2+h^2\Longleftrightarrow h^2=4-\ell^2$$
\item {\footnotesize En déduire que $\ell h^2=-\ell^3+4\ell$.}\\
Puisque $ h^2=4-\ell^2$, en multipliant membre à membre cette égalité par $\ell$ on obtient immédiatement :
$$\ell h^2=-\ell^3+4\ell$$
\item {\footnotesize Soit $f(x)=-x^3+4x$ pour $x\geq 0$. }
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Etudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.}\\
Pour tout $x\in\R^+$ on a :
$$ f'(x)=-3x^2+4$$
Ce trinôme admet deux racines que nous obtenons ne résolvant :
$$ -3x^2+4=0\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{4}{3}\Longleftrightarrow x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\qquad \text{ou}\qquad x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$
Des racines du trinôme on tire successivement le signe de $f'$ et les variations de $f$ :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$\simeq -3,1 $};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\simeq 3,1$};
\node (f4) at (6*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $\R^+$ est donc :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\simeq 3,1$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Comment choisir $\ell$ et $h$ pour que la poutre résiste au mieux à la flexion ?}
\\
Pour que la poutre résiste au mieux à la flexion il faut, d'après l'énoncé, que le produit $\ell h^2$ soit maximal, autrement dit il faut que la fonction $f$ soit maximale. D'après le tableau de variation précédent, $f$ est maximale lorsque $x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$. \\
On choisira ainsi $\ell=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ et par conséquent on choisira :
$$ h=\sqrt{4-\ell^2}=\sqrt{4-\dfrac{12}{9}}=\sqrt{4-\dfrac{4}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}$$
\item {\footnotesize Quel est l'angle $\alpha$ correspondant à $0,1^\circ $ près.}
\\
Dans le triangle rectangle $ACD$ on a :
$$ \sin \alpha =\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{h}{2}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{8}{3}}}{2}=\dfrac{\sqrt{8}}{2\sqrt{3}}$$
Ce qui implique que $$\alpha\simeq 54,7^\circ$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\Exoi{{
}\footnotesize Un industriel doit fabriquer une boîte fermée de volume $1$ dm$^3$ ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur $y$ et dont la base est un carré de côté $x>0$. L'unité de longeur est le décimètre.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Justifier que $y=\dfrac{1}{x^2}$}\\
Le volume du parallélépipède rectangle vaut $1$ donc :
$$ x^2y=1\Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{x^2}$$
\item \begin{footnotesize}
En déduire que l'aire totale de la boîte est :
$$ S(x)=2x^2+\dfrac{4}{x}$$
\end{footnotesize}
\\
Le parallélépipède rectangle est constitué de deux carrés d'aire $x^2$ et de quatre faces d'aire $yx$, par conséquent :
$$ S(x)=x^2+x^2+4yx$$
Or, d'après la première question $y=\dfrac{1}{x^2}$, par conséquent :
$$ S(x)=2x^2+4\times \dfrac{1}{x^2}\times x=2x^2+\dfrac{4}{x}$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour $x>0$ on a :
$$ S'(x)=\dfrac{4(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$$
\end{footnotesize}\\
Pour tout $x>0$ on a :
$$ S'(x)=4x-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{4x^3-4}{x^2}=\dfrac{4(x^3-1)}{x^2}$$
De plus pour tout $x>0$, on a :
$$ (x-1)(x^2+x+1)=x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1$$
On a ainsi pour tout $x>0$ :
$$ S'(x)=\dfrac{4(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $S'$ sur $]0;+\infty[$.}\\
$S'$ est du signe du numérateur puisque le dénominateur est toujours strictement positif sur $]0;+\infty[$.\\
Déterminons dans un premier temps les racines de $x^2+x+1$ :
$$ \Delta=1-4<0$$, ce trinôme n'admet pas de racine et par conséquent $$ x^2+x+1>0$$
Autrement dit $S'$ est du signe de $x-1$, d'où :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$S'(x)$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\b{0*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize En déduire le tableau de variation de $S$ sur $]0;+\infty[$.}\\
De la question précédente on déduit immédiatement :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$0$};
\node at (2*\Lrg,0) {$1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$S'(x)$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$S(x)$};
\node[left] (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node[right] (f2) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$ $};
\node (f3) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$6$};
\node (f4) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
% Doubles Barres
\def\b#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignex-0.1*\HtX) -- (#1,\lignef+0.1*\HtX);}
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef-0.1*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\b{0*\Lrg}
\bb{0*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Donner les dimensions de la boîte d'aire minimale.}\\
En observant le tableau de variation précédent on s'aperçoit que $S$ admet un minimum lorsque $x=1$. Ainsi l'aire est minimale lorsque le carré est de côté $1$. \\
De plus si $x=1$ alors $y=\dfrac{1}{x^2}=1$. Ainsi la boîte est d'aire minimale lorsque celle-ci est un cube de côté de $1$ ; dans ce cas son aire vaut $6$ dm$^2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}
\end{document}